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Mensaje |
sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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Bueno, estuvimos viendo este problema con mis compañeros de estudio (que andan dando vueltas por aca, jeje) pero no me quedó claro y no me volvió a salir, asi que acá vamos.
Dadas f y g continuas periódicas de período T, se define:
(t)=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{-T}{2}}f(t)g(x-t)dt[/tex]](images/latex/1eb66a3e318ce8f37c2c1fa0118d148033ef62ea_0.png "[tex](f*g)(t)=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{-T}{2}}f(t)g(x-t)dt[/tex]")
a) Pruebe que f*g es T-periodica de periodo T, acotada y absolutamente integrable, y que sus coeficientes de la serie exponencial de fourier estan dados por el producto de de los coeficientes de forurier de f y g.
b) Muestre que si ![[tex]h(t)=Ch(2t)[/tex]](images/latex/e52eec7e29419f88f9e072373ea25aa62e4ff883_0.png "[tex]h(t)=Ch(2t)[/tex]") en ![[tex][\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/tex]](images/latex/fd3e4834cb713d1407ec2ee4e86f32aa131b4b92_0.png "[tex][\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/tex]") extendida por periodicidad, entonces utilizando que los coef de fourier de su serie exponencial son ![[tex]h(n)=\frac{(1)^n Sh(\pi)}{2\pi (1+n^2)}[/tex]](images/latex/9f1ae27a42a8feeaa6354cbe6ee42854239d912b_0.png "[tex]h(n)=\frac{(1)^n Sh(\pi)}{2\pi (1+n^2)}[/tex]") , y la convolucion definida en a), estudie la convergencia de ![[tex]\sum \frac{1}{(1+n^2)^2}e^{i2nt}[/tex]](images/latex/c51505604afe5f85e5e13d7f60a678fb75be2c16_0.png "[tex]\sum \frac{1}{(1+n^2)^2}e^{i2nt}[/tex]") y encuentre el valor de la suma.
c) Se define para ![[tex]x(t)[/tex]](images/latex/47d82177ef42aecc023d8a457669ad84b1c19044_0.png "[tex]x(t)[/tex]") continua y ![[tex]\pi - Periodica[/tex]](images/latex/1b5c0c69ed91f1c611a319a34d736064024cbe81_0.png "[tex]\pi - Periodica[/tex]")
![[tex]T \ x(t) \rightarrow y(t)=\sum \frac{C_n}{(1+n^2)^2}e^{i2nt}[/tex]](images/latex/b3ab524fdbbc79789fd5565da84e5ef72b417229_0.png "[tex]T \ x(t) \rightarrow y(t)=\sum \frac{C_n}{(1+n^2)^2}e^{i2nt}[/tex]") donde ![[tex]C_n[/tex]](images/latex/b45ea5c7d7d6f25867b073dfba7f24292ba97e43_0.png "[tex]C_n[/tex]") es el n-esimo coef de fourier de resulta ![[tex]h(t)=[/tex]](images/latex/3ef0b8758d75d80733b08652335c31604b3aae18_0.png "[tex]h(t)=[/tex]") ........ (Responder).
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Lo primero es probar las condiciones de Dirichlet, pero por como viene definida no me queda claro como hacerlo. Y lo siguiente ni siquiera me queda muy claro.
Saludos y Gracias.
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