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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
Mensajes: 163
Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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| Si yo tengo una DVS de una matriz A, entonces me puedo fabricar una DVS reducida, sacando los 0 de la matriz del medio y haciendo cosas parecidas con la matriz U y V^h?? No se si me entienden mas o menos a lo que me refiero
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Uno entiende un tema no cuando lo sabe resolver, sino cuando sabe hacerlo para que otro lo resuelva y le de un resultado lindo.
Le dijo Einstein a Chaplin. Lo que he admirado siempre de usted es que su arte es universal, todo el mundo le comprende y lo admira'. A lo que Chaplin respondió: -'Lo suyo es mucho más digno de respeto: todo el mundo lo admira y prácticamente nadie lo comprende'.
La Fiuba es como la jungla, se cruza a machetazos!!!
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| pepitoo escribió:
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Si yo tengo una DVS de una matriz A, entonces me puedo fabricar una DVS reducida, sacando los 0 de la matriz del medio y haciendo cosas parecidas con la matriz U y V^h?? No se si me entienden mas o menos a lo que me refiero
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A esto te referís?
![[tex]A=U. \Sigma .V^T[/tex]](images/latex/b68c5f069753c41acb7aa2a4303be27661f3e613_0.png "[tex]A=U. \Sigma .V^T[/tex]") . Por ejemplo, con una matriz ![[tex]A\in R^{3 \times 2}[/tex]](images/latex/7e2b5ebc112870b5361e082b67c5ca44f14ae064_0.png "[tex]A\in R^{3 \times 2}[/tex]")
![[tex]A =\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}\sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \\0 & 0\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}w_1 & z_1 \\ w_2 & z_2 \\\end{array} \right)^T[/tex]](images/latex/fc16b150cb2245c5c9139476b2c903c996dc078f_0.png "[tex]A =\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}\sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \\0 & 0\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}w_1 & z_1 \\ w_2 & z_2 \\\end{array} \right)^T[/tex]")
Donde [/tex]](images/latex/adc3986e7589d5f500983221b552e0372e10b5e1_0.png "[tex](w_1,w_2)[/tex]") y [/tex]](images/latex/e20d0ea904223148bd7bfca77861b777965b55ef_0.png "[tex](z_1,z_2)[/tex]") son los autovectores (normalizados) asociados a los autovalores de la matriz ![[tex]A^TA[/tex]](images/latex/73a207fca8da32d5d08d8ef409213648dfcd238f_0.png "[tex]A^TA[/tex]") .
Y las columnas de la matriz U son ![[tex]u_i=\frac{A.v_i}{\sigma_i}[/tex]](images/latex/dd4eda65fbf0210a71e6b11a6a053f5190847cb3_0.png "[tex]u_i=\frac{A.v_i}{\sigma_i}[/tex]") donde los ![[tex]v_i[/tex]](images/latex/8c21b2868002e3072bcc576760baaa680e364477_0.png "[tex]v_i[/tex]") son los vectores (normalizados) de una base de, en este caso, ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") formada por los autovectores antes mencionados y un tercer verctor ortogonal a esos dos.
Y la forma reducida sería:
![[tex]A =\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \\\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}\sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \\\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}w_1 & z_1 \\ w_2 & z_2 \\\end{array} \right)^T[/tex]](images/latex/ee4869661cdbb89d32cf4c51c0955a83f3ace2ce_0.png "[tex]A =\left( \begin{array}{cccc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \\\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}\sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \\\end{array} \right).\left( \begin{array}{cccc}w_1 & z_1 \\ w_2 & z_2 \\\end{array} \right)^T[/tex]")
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leandrob_90
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pepitoo
Nivel 5
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Carrera: Alimentos
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exacto, estaria bien hacer lo que dijiste vos???.
Por otro lado como eran esas operaciones entre matrices cuando intercambiabas filas dee una matriz como cambiaba la matriz de al lado
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leandrob_90
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| pepitoo escribió:
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exacto, estaria bien hacer lo que dijiste vos???.
Por otro lado como eran esas operaciones entre matrices cuando intercambiabas filas dee una matriz como cambiaba la matriz de al lado
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Sí, está bien hacer eso.
No entendí eso de las operaciones entre matrices... 
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leandrob_90
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Aprovecho para preguntar algo... cuando la matriz A es compleja, los valores singulares se sacan de ![[tex]A^{T}A[/tex]](images/latex/40a11d82c16dc037962b62f04f27f126db39807e_0.png "[tex]A^{T}A[/tex]") o de ![[tex]A^{H}A[/tex]](images/latex/b5830f4e2333ba64637333b651625e392159de60_0.png "[tex]A^{H}A[/tex]") ?? Y cuando tengo V, entonces queda ![[tex]A=U \Sigma V^{T}[/tex]](images/latex/9f76bbe53395bafa391a9285b1100fafb3f7d2b7_0.png "[tex]A=U \Sigma V^{T}[/tex]") o ![[tex]A=U \Sigma V^{H}[/tex]](images/latex/5e411a70ac61b924ec76a82fe5a99f860506e7b1_0.png "[tex]A=U \Sigma V^{H}[/tex]") ??
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Jona.
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 09 Jun 2007
Mensajes: 1505
Ubicación: Lago del Terror / Ciudad Frito
Carrera: Industrial
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| leandrob_90 escribió:
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No entendí eso de las operaciones entre matrices.
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Creo que se refiere a esa especie de "reordenamiento" de la matriz que te enseñan, la verdad mucho no recuerdo y mi carpeta la presté.
Pero por lo que me acuerdo de cuando la cursé, podias ir intercambiando filas/columnas de una matriz de las que componen la DVS, lo que producia un reordenamiento en las filas/columnas de las demas matrices que la componen.
No me acuerdo bien como era el método, alguien que tenga mas fresca la materia seguramente te puede ayudar mejor.
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valle
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 09 Mar 2009
Mensajes: 145
Carrera: Civil
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| loonatic escribió:
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Aprovecho para preguntar algo... cuando la matriz A es compleja, los valores singulares se sacan de o de ?? Y cuando tengo V, entonces queda o ??
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uh empiezo a dudar ... creo q no vi ningun ejemplo con una matriz compleja.
una duda que tengo es: los vectores de la matriz V, van ordenados según los valores singulares no??
Y cuando calculo A+ , al usar D^-1 tendría que reordenar los valores singulares y tambien cambiar de lugar los vectores de V?
los vectores de U son afectados por el orden??
grande Jona! haha
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Ajax08
Nivel 5
Registrado: 30 Dic 2008
Mensajes: 168
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| Vale tambien para los complejos, los avas de Ahermítica*A son reales mayores que 0 (notar que Ahermitica*A es hermítica y preserva todas las propiedades de avas y aves para matrices hermíticas).
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Ajax08
Nivel 5
Registrado: 30 Dic 2008
Mensajes: 168
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| Ajax08 escribió:
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Vale tambien para los complejos, los avas de Ahermítica*A son reales mayores que 0 (notar que Ahermitica*A es hermítica y preserva todas las propiedades de avas y aves para matrices hermíticas).
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Rectifico, los avas son Mayores o Iguales a 0, pueden ser 0.
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Tengo otra pregunta, al principio de la materia vimos que ![[tex]A^{+}={(A^{H}A)}^{-1}A^{H}[/tex]](images/latex/6b551dba622b91c15128fa38f440b90e8d6896e3_0.png "[tex]A^{+}={(A^{H}A)}^{-1}A^{H}[/tex]") . Y vimos que ![[tex]A^{+}A=Id[/tex]](images/latex/93909a68bf8152553fca628973ae282c25430d5b_0.png "[tex]A^{+}A=Id[/tex]") y además ![[tex]AA^{+}b=P_{Col(A)}(b)[/tex]](images/latex/8cca63cea289962e5893c0da7de84ff4164def09_0.png "[tex]AA^{+}b=P_{Col(A)}(b)[/tex]") .
Pero despues con DVS vimos que ![[tex]A^{+}={V_{r}} {\Sigma_{r}}^{-1}{U_{r}}^{T}[/tex]](images/latex/49f5d27744933ed868798705bd6bc7388354beb7_0.png "[tex]A^{+}={V_{r}} {\Sigma_{r}}^{-1}{U_{r}}^{T}[/tex]") . Mi pregunta es: esta matriz y la que puse antes son las mismas, no? Osea, cuando quiero calcular la pseudoinversa de A, puedo usar indistintamente cualquiera de estos dos métodos, no?
Y otra cosa, también tengo anotado en la carpeta (en la parte de DVS) que ![[tex]A^{+}A=P_{Fil(A)}[/tex]](images/latex/466d53118b170b2fd48794f0a8165c958570af24_0.png "[tex]A^{+}A=P_{Fil(A)}[/tex]") y ![[tex]AA^{+}=P_{Col(A)}[/tex]](images/latex/299e14a64c073a3a98a3f9d65198f50139cd9118_0.png "[tex]AA^{+}=P_{Col(A)}[/tex]") . Lo que no entiendo es porqué la definicion de ![[tex]A^{+}A[/tex]](images/latex/7d62bd093261053df1f01e1244333b30b06564f7_0.png "[tex]A^{+}A[/tex]") son distintas??
Gracias
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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Para calcular A+ la forma mas facil es la version reducida, la otra ni te la estudies porq no vale la pena.
Sino tambien esta A+ = Vr E+ Ur^t donde E+ es E^-1 traspuesta
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Bimba
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Sep 2007
Mensajes: 587
Carrera: Química
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| loonatic escribió:
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Tengo otra pregunta, al principio de la materia vimos que . Y vimos que y además .
Pero despues con DVS vimos que . Mi pregunta es: esta matriz y la que puse antes son las mismas, no? Osea, cuando quiero calcular la pseudoinversa de A, puedo usar indistintamente cualquiera de estos dos métodos, no?
Y otra cosa, también tengo anotado en la carpeta (en la parte de DVS) que y . Lo que no entiendo es porqué la definicion de son distintas??
Gracias
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Estás hablando de dos cosas distintas.
La primera matriz a la que hacés referencia es ![[tex]A^{\#}[/tex]](images/latex/c18aa8b181e5d3c829d4d028899c9447f796a812_0.png "[tex]A^{\#}[/tex]") , que es la Pseudoinversa de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") , y como decís se ve en la primer parte con cuadrados mínimos.
Esa es entonces ![[tex]A^{\#}={(A^{H}A)}^{-1}A^{H}[/tex]](images/latex/f9b292e71845055f0a65525629b1872bd8517546_0.png "[tex]A^{\#}={(A^{H}A)}^{-1}A^{H}[/tex]") y cumple ![[tex]A^{\#}A=Id[/tex]](images/latex/283ed2f4af2fc99d71af06f22c3790d728bf63f5_0.png "[tex]A^{\#}A=Id[/tex]") y ![[tex]AA^{\#}b=P_{Col(A)}(b)[/tex]](images/latex/c10236433cd766887362b74dc1f3e2a77bb12256_0.png "[tex]AA^{\#}b=P_{Col(A)}(b)[/tex]") .
Por otro lado está la Pseudoinversa de Moore Penrose, que es ![[tex]A^{+}[/tex]](images/latex/78cfd75ac4ebfa313af1f30a9f880ef7b951e56a_0.png "[tex]A^{+}[/tex]") , con las propiedades que vos mencionás.
Hay un caso particular en el que ![[tex]A^{+} = A^{\#}[/tex]](images/latex/bf53b049af0f86e2563af35cffdb6cb45c04fcb4_0.png "[tex]A^{+} = A^{\#}[/tex]") y es cuando ![[tex]rg=n[/tex]](images/latex/bd751ed6073a30c2fdd1fa827fcfb8406e27fb7b_0.png "[tex]rg=n[/tex]") con ![[tex]A \in R^{m*n}[/tex]](images/latex/f0ee519cbeda517e3776b6a5540827eaabbed111_0.png "[tex]A \in R^{m*n}[/tex]") . Tenés:
![[tex]A={U_{n}} {D_{n}}{V_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/1bbbfa53ef721c29459e9bc0531487d27b9644c5_0.png "[tex]A={U_{n}} {D_{n}}{V_{n}}^{T}[/tex]") ; ![[tex]A^{+}={V_{n}} {D_{n}}^{-1}{U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/61a3e2fa79f27361b546fb995f52a5992187efa9_0.png "[tex]A^{+}={V_{n}} {D_{n}}^{-1}{U_{n}}^{T}[/tex]") ; ![[tex]A^{T}={V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/9f3ac52c67c5e4a9a280501a201b1dc2a72aa3f8_0.png "[tex]A^{T}={V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]") ; con ![[tex]U[/tex]](images/latex/9817e7675b6edb3a5d569b307744275351d202b2_0.png "[tex]U[/tex]") y ![[tex]V[/tex]](images/latex/7876671d1a34e42c976a8c88802554c9b286ae2a_0.png "[tex]V[/tex]") matrices ortogonales.
![[tex]= {({V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}{U_{n}} {D_{n}}{V_{n}}^{T})}^{-1}{V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/b44efc0886485dbef04fd33f6dea69b9dab9c584_0.png "[tex]= {({V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}{U_{n}} {D_{n}}{V_{n}}^{T})}^{-1}{V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]")
![[tex]= {({V_{n}} {D_{n}^2}{V_{n}}^{T})}^{-1}{V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/79fb76f9a9a957010a45c2a3e2c730407c3ae88e_0.png "[tex]= {({V_{n}} {D_{n}^2}{V_{n}}^{T})}^{-1}{V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]")
![[tex]= {V_{n} ({D_{n}^2})}^{-1}{V_{n}}^{T}{V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/100d386b616d1cdbe10e2d9349cca5da18461ec3_0.png "[tex]= {V_{n} ({D_{n}^2})}^{-1}{V_{n}}^{T}{V_{n}} {D_{n}}{U_{n}}^{T}[/tex]")
![[tex]= V_{n} {(D_{n})}^{-1} {(D_{n})}^{-1} D_{n} {U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/52440bb2a85ffe0b43cdc5aa7b819e8e0fa23336_0.png "[tex]= V_{n} {(D_{n})}^{-1} {(D_{n})}^{-1} D_{n} {U_{n}}^{T}[/tex]")
![[tex]= {V_{n} ({D_{n}})}^{-1}{U_{n}}^{T}[/tex]](images/latex/a8001080deb7d825896077e48803fc49c46803bc_0.png "[tex]= {V_{n} ({D_{n}})}^{-1}{U_{n}}^{T}[/tex]")
![[tex]\Rightarrow A^{\#} = A^{+}[/tex]](images/latex/2ba777e7648b8f452354c221e9ecb146aaa6b385_0.png "[tex]\Rightarrow A^{\#} = A^{+}[/tex]")
Yo tengo una duda con cómo demostrar que ![[tex]A^{+}A=I \Leftrightarrow rg(A)=n[/tex]](images/latex/ed00c04cd6f68804ff19478e645ca553d183e061_0.png "[tex]A^{+}A=I \Leftrightarrow rg(A)=n[/tex]") con . No sé si se desprende de la demostración anterior.
Pero sin verlo por ese lado, para ![[tex]rg(A)=k < n[/tex]](images/latex/90c972e50afa812cd362c39e34085571192e334a_0.png "[tex]rg(A)=k < n[/tex]") tengo:
![[tex]A^{+}A = {V_{k}} {D_{k}}^{-1}{U_{k}}^{T} {U_{k}} {D_{k}}{V_{k}}^{T}[/tex]](images/latex/cb3907a7bc570de57d509568227ab6dbb137010f_0.png "[tex]A^{+}A = {V_{k}} {D_{k}}^{-1}{U_{k}}^{T} {U_{k}} {D_{k}}{V_{k}}^{T}[/tex]")
![[tex]A^{+}A = {V_{k}} {V_{k}}^{T} = P_{Fil(A)}[/tex]](images/latex/3a301b5d487e24231cbf04ca3d3c4bb00d9e4b3e_0.png "[tex]A^{+}A = {V_{k}} {V_{k}}^{T} = P_{Fil(A)}[/tex]")
Luego: ![[tex]rg(A)=n \Rightarrow V_{n}[/tex]](images/latex/b1d11013714b9f93dcac88caee44224d66c9d1ce_0.png "[tex]rg(A)=n \Rightarrow V_{n}[/tex]") , formada por una BON de ![[tex]Fil(A)[/tex]](images/latex/596ea5c55105c6fffce6bfcc4231a2f0c57f0149_0.png "[tex]Fil(A)[/tex]") , autovectores de .
No veo por qué: ![[tex]A^{+}A = {V_{n}} {V_{n}}^{T} = I[/tex]](images/latex/d945edcdc0cd8ed2e0260ab6b5ac8e5038002d9d_0.png "[tex]A^{+}A = {V_{n}} {V_{n}}^{T} = I[/tex]")
Toda explicación es bienvenida 
Gracias y Suerte!
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