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Mensaje |
manu12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 05 May 2010
Mensajes: 25
Carrera: Industrial
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Sean los subespacios S= {AeR^(2x2) / a11+a22=a21+a12=0} y
T={ XeR^(2x2)/ X= (matriz formada en f1: a a y en f2: b b) con a y b e R}
Encontrar si es posible, dos maneras distintas de escribir a (matriz= f1: 0 1 y f2: 0 1) como suma de una matriz de S t un matriz de T.
Ni idea como encararlo..
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Qué quiere decir "como suma de una matriz de S t un matriz de T" ??!!
No será "como suma de una matriz de S más un matriz de T" ??
Sí es así, no es muy complicado...
![[tex]S = \{ A \in \Re^{2x2} / a_{11}+a_{22}=a_{21}+a_{12}=0 \} [/tex]](images/latex/92727c4a842d64b4345fd0d5163a88be7cd84a6a_0.png "[tex]S = \{ A \in \Re^{2x2} / a_{11}+a_{22}=a_{21}+a_{12}=0 \} [/tex]")
![[tex]T = \{ X \in \Re^{2x2} / X =\left( \begin{array}{cc} a & a \\ b & b\end{array} \right), a \wedge b \in \Re \} [/tex]](images/latex/fb5c8048b31c7155541d695f91ecdb52c9f2b3bd_0.png "[tex]T = \{ X \in \Re^{2x2} / X =\left( \begin{array}{cc} a & a \\ b & b\end{array} \right), a \wedge b \in \Re \} [/tex]")
Si acomodamos un poco la cosa:
Subespacio S
Las matrices de este subespacio, tienen esta pinta:
![[tex]\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)[/tex]](images/latex/275db8e0afd94fb6a0b145d3d2ac402060b1b25d_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)[/tex]")
Como se sabe que:
![[tex]a_{11}+a_{22}=0 \Rightarrow a_{22}=-a_{11}[/tex]](images/latex/e35298717de0db82e4c6be2bfc17bf77f0cb732b_0.png "[tex]a_{11}+a_{22}=0 \Rightarrow a_{22}=-a_{11}[/tex]")
Y
![[tex]a_{21}+a_{12}=0 \Rightarrow a_{21}=-a_{12}[/tex]](images/latex/0c6a3b217de8f133eedc81113472ac5aa6977ade_0.png "[tex]a_{21}+a_{12}=0 \Rightarrow a_{21}=-a_{12}[/tex]")
Reemplazando en la matriz anterior:
![[tex]\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ -a_{12} & -a_{11} \end{array} \right)[/tex]](images/latex/04c761cabdb5ffd8c6652fdaccb3d053e5be375d_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ -a_{12} & -a_{11} \end{array} \right)[/tex]")
Por otro lado, en el subespacio T, se tiene que sus matrices son de la forma:
![[tex]\left( \begin{array}{cc} a & a \\ b & b \end{array} \right)[/tex]](images/latex/de54436834ab92dffaffa44c66a1501b15b5ac1e_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} a & a \\ b & b \end{array} \right)[/tex]")
Entonces, tenés que pedir que:
![[tex]\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ -a_{12} & -a_{11} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} a & a \\ b & b \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/5c7e6e27d154fce6c5e7653212cbe3602ed2ecd3_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ -a_{12} & -a_{11} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} a & a \\ b & b \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]")
De donde:
![[tex]\left\{\begin{array}{llll}a_{11}+a=0\\a_{12}+a=1\\b-a_{12}=0\\b-a_{11}=1 \end{array}\right.[/tex]](images/latex/9f7168b35a3a0f7d7d4ba76c290ba54e765d74dc_0.png "[tex]\left\{\begin{array}{llll}a_{11}+a=0\\a_{12}+a=1\\b-a_{12}=0\\b-a_{11}=1 \end{array}\right.[/tex]")
En éste sistema, tenés todas las soluciones posibles. Podrias tomarlo como tal, triangularlo y sacar todas las soluciones. Elijamos una solución particular, supongamos ![[tex]a=1[/tex]](images/latex/af75354bca522ad7ab824b11c469cd45c83dc703_0.png "[tex]a=1[/tex]") por decir algo, entonces:
![[tex] \left \{ \begin{array}{llll} a_{11} + 1 = 0 \Rightarrow a_{11} = -1 \\ a_{12} + 1 = 1 \Rightarrow a_{12} = 0 \\ b - 0 = 0 \Rightarrow b = 0 \\ 0 - ( - 1 ) = 1 \end{array}\right.[/tex]](images/latex/35ac755042a16c28ab2147a2fa81e2536a60245d_0.png "[tex] \left \{ \begin{array}{llll} a_{11} + 1 = 0 \Rightarrow a_{11} = -1 \\ a_{12} + 1 = 1 \Rightarrow a_{12} = 0 \\ b - 0 = 0 \Rightarrow b = 0 \\ 0 - ( - 1 ) = 1 \end{array}\right.[/tex]")
Entonces, para comprobar, reemplazamos en la ecuación original:
![[tex]\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & - ( - 1 ) \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/e4f1d046378fc4c5074f3a3558a08e3da36f474f_0.png "[tex]\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & - ( - 1 ) \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]")
Y finalmente queda que:
![[tex]\underbrace{\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)}_{\mbox{Matriz de S}}+\underbrace{\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)}_{\mbox{Matriz de T}}=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]](images/latex/6cfe507525c0f2303bc39be4f124596005fb30f0_0.png "[tex]\underbrace{\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)}_{\mbox{Matriz de S}}+\underbrace{\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)}_{\mbox{Matriz de T}}=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex]")
Reemplazando en el sistema de ecuaciones los valores de los parámetros, te dan todas las soluciones posibles, sino como antes te dije, lo podés triangular y sacar todas las soluciones.
Un saludo.
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manu12
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| muchas gracias! no era tan complicado!! Saludos
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