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Mensaje |
Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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a) Hallar todas las raíces sabiendo que la suma de tres de sus raíces da 3/2 y el producto de las mismas da 2.
p(x)= 2x^5 - 11x^4 + 12x^3 + 21x^2 -34x -20
Ahi trate de resolverlo por Gauss, pero desp de encontrar raiz -1/3, no me daban mas raices reales (creo).. y no se me ocurrio nada para usar el dato que te dan.
b) En R^3 los subespacios S(X E R^3/ X1 +X2 -X3 =0) y T( (1,-3,0). (1, -1 ,-2) ). Hallar B de R^3 tal que:
I) coordenadas en B de S tengan la forma (a,b,0)
II) coordenadas en B de T tengan la forma (0,c,d)
III) coordenadas en b de (1,3,2) son (2,-1,1)
Gracias....
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Amadeo
Nivel 9
Registrado: 20 Oct 2008
Mensajes: 1436
Carrera: No especificada
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Para resolver el primero tenes que usar un "truquito" que dice:
Siendo ![[tex]a_{n}[/tex]](images/latex/6d57ae46235a15553e4233df44e946dc0d55e528_0.png "[tex]a_{n}[/tex]") el coeficiente principal del polinomio, ![[tex]a_{n-1}[/tex]](images/latex/548f2c9a30a87a343302f9c797e0b4be4d482b22_0.png "[tex]a_{n-1}[/tex]") el anteúltimo, y ![[tex]a_{0}[/tex]](images/latex/365d2836e63831a692a6a6045713af20796118d3_0.png "[tex]a_{0}[/tex]") el término independiente:
-![[tex]a_{n}(x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) = a_{n-1}[/tex]](images/latex/1fc3be9034a943ba929924a0556e9a878e10da2d_0.png "[tex]a_{n}(x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) = a_{n-1}[/tex]")
(con ![[tex]x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}[/tex]](images/latex/a9611bebcdf6985a764824ab3be8a1fbc081ee27_0.png "[tex]x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}[/tex]") raíces del polinomio)
Y después:
^{n} a_{n} (x_{1}. x_{2}. x_{3}.. .x_{n}) = a_{0} [/tex]](images/latex/692ff2be80fc3b1013c0745a297d23cb7d611e87_0.png "[tex](-1)^{n} a_{n} (x_{1}. x_{2}. x_{3}.. .x_{n}) = a_{0} [/tex]")
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fiw
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 25 Mar 2010
Mensajes: 195
Carrera: Electrónica
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Che y como lo usas puntualmente en el primero?
Estoy trabado en estos jaja
Gracias!
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La razón acabará por tener razón
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Para los que todavía no hayan podido resolver el del polinomio.
El polinomio es de grado 5, así que habrá 5 raíces complejas (reales o imaginarias). Llamémoslas ![[tex]\textstyle x_1, x_2, x_3, x_4 \mbox{ y } x_5[/tex]](images/latex/bf8061c224d86343f00fabd92fe93bd116262f02_0.png "[tex]\textstyle x_1, x_2, x_3, x_4 \mbox{ y } x_5[/tex]") . Supongamos que las tres primeras son las que satisfacen las condiciones del enunciado. O sea:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_1 + x_2 + x_3 = \frac{3}{2} \\x_1 x_2 x_3 = 2\end{array} \right . [/tex]](images/latex/f2f12807683422a2e37028072bfa254ab2518bd1_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_1 + x_2 + x_3 = \frac{3}{2} \\x_1 x_2 x_3 = 2\end{array} \right . [/tex]")
Usando los trucos de Amadeo, con ![[tex]\textstyle a_n = 2, a_{n-1} = -11 \mbox{ y } a_0 = -20[/tex]](images/latex/fe5b4c20391a8fb88bd3690821f7747dcb6e4347_0.png "[tex]\textstyle a_n = 2, a_{n-1} = -11 \mbox{ y } a_0 = -20[/tex]") :
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}-2(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = -2(\frac{3}{2} + x_4 + x_5) = -11 \\(-1)^5 \cdot 2 x_1x_2x_3x_4x_5 = -2 \cdot 2x_4x_5 = -20\end{array} \right . [/tex]](images/latex/95b35889efd7d08960c8ee9fcf3387ba9a8d1563_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}-2(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = -2(\frac{3}{2} + x_4 + x_5) = -11 \\(-1)^5 \cdot 2 x_1x_2x_3x_4x_5 = -2 \cdot 2x_4x_5 = -20\end{array} \right . [/tex]")
O sea:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_4 + x_5 = 4 \\x_4x_5 = 5\end{array} \right . [/tex]](images/latex/cb1c499d746800b61a5b07981dd7c5e79d385275_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_4 + x_5 = 4 \\x_4x_5 = 5\end{array} \right . [/tex]")
Multiplicando la primera ecuación por ![[tex]\textstyle x_4[/tex]](images/latex/5610d8c61961b776003cbb109fb9275bcf889e54_0.png "[tex]\textstyle x_4[/tex]") , y usando la segunda, queda el siguiente sistema:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_4^2 - 4x_4 + 5 = 0 \\x_5 = 4 - x_4\end{array} \right . [/tex]](images/latex/cfa0c4b4210cb2b963bb730bfa8afe52010d8f7b_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_4^2 - 4x_4 + 5 = 0 \\x_5 = 4 - x_4\end{array} \right . [/tex]")
Cuyas soluciones son ![[tex]\textstyle x_4 = 2 + i \mbox{ y } x_5 = 2 - i[/tex]](images/latex/939a8eb2251be9813f341ca65e732ff660bd099c_0.png "[tex]\textstyle x_4 = 2 + i \mbox{ y } x_5 = 2 - i[/tex]") , lo cual implica que el polinomio inicial es divisible por ![[tex]\textstyle (x - 2 - i)(x - 2 + i) = x^2 - 4x + 5[/tex]](images/latex/d172662a57d4840e63891e38f5b0d68ef5e7cf4b_0.png "[tex]\textstyle (x - 2 - i)(x - 2 + i) = x^2 - 4x + 5[/tex]") (justamente  ). Haciendo la división de polinomios:
Las raíces faltantes son entonces las de ![[tex]\textstyle 2x^3-3x^2-10x-4[/tex]](images/latex/4b573cd07f3f96cc2b9ad8e92c767be19745274c_0.png "[tex]\textstyle 2x^3-3x^2-10x-4[/tex]") . Haciendo eso de combinar divisores de ![[tex]\textstyle a_n \mbox{ y de } a_0[/tex]](images/latex/2ccb6e697f3c90c7c62f8c93a99dc4a3c1719e7d_0.png "[tex]\textstyle a_n \mbox{ y de } a_0[/tex]") (¿eso era Gauss?) sale que -1/2 es una raíz (digamos, ![[tex]\textstyle x_3[/tex]](images/latex/e06a5b09ec3266fffc5ecb3332cdcdd373e532ac_0.png "[tex]\textstyle x_3[/tex]") ), así que este polinomio es divisible por x + 1/2. Otra vez haciendo división de polinomios:
Así que las raíces faltantes son las de ![[tex]\textstyle x^2-2x-4 \mbox{, que son } x_1 = 1 + \sqrt{5} \mbox{ y } x_2 = 1 - \sqrt{5}[/tex]](images/latex/63ef2165e53fc5ae719cf224d3d7659413223e93_0.png "[tex]\textstyle x^2-2x-4 \mbox{, que son } x_1 = 1 + \sqrt{5} \mbox{ y } x_2 = 1 - \sqrt{5}[/tex]") .
En otras palabras, las raíces del polinomio de grado 5 son ![[tex]\textstyle 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}, -\frac{1}{2}, 2 + i \mbox{ y } 2 - i[/tex]](images/latex/431fc47bb658b8908148f260edd4bf6814c44cc3_0.png "[tex]\textstyle 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}, -\frac{1}{2}, 2 + i \mbox{ y } 2 - i[/tex]") . Se puede ver que, efectivamente, la suma de las tres primeras es 3/2, y su producto, 2.
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![[tex]2x^5 - 11x^4+12x^3+21x_2-34x-20 = (x^2 - 4x + 5)(2x^3-3x^2-10x-4)[/tex]](images/latex/f37db20b93423326e52fee6411fed649fbacec4a_0.png "[tex]2x^5 - 11x^4+12x^3+21x_2-34x-20 = (x^2 - 4x + 5)(2x^3-3x^2-10x-4)[/tex]")
![[tex]2x^3-3x^2-10x-4 = \left (x + \frac{1}{2} \right )(x^2-2x-4)[/tex]](images/latex/50bc5743bb9de73d596193eca797d97c45d57307_0.png "[tex]2x^3-3x^2-10x-4 = \left (x + \frac{1}{2} \right )(x^2-2x-4)[/tex]")