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Mensaje |
lizabe
Nivel 2
Registrado: 07 Sep 2009
Mensajes: 11
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Hola, por favor, alguien me podría ayudar a resolver este ejercicio? Gracias!
4. Sea X una variable aleatoria cuya densidad de probabilidades pertenece a la familia param´etrica
{fn(x) : n = 2, 3, 4}, donde para cada n = 2, 3, 4 vale que
fn(x) = n*x^(n-1) si 0 <= x <= 1, 0 en otro caso.
En una muestra aleatoria se observaron los siguientes valores: 0.59, 0.24, 0.37, 0.45 y 0.68. Hallar el estimador de m´axima verosimilitud para la esperanza de X.
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Gualicho
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 715
Ubicación: En el templo de Momo...
Carrera: Informática
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Ayer no me anime a contestarlo, asi que hoy lo pregunte por las dudas.
La maxima Verosimilitud esta dada por:
![[tex]L_n(X_1,...,X_n)=\prod_{i=1}^n F(x_i)[/tex]](images/latex/3d037d465d045559027802173d9d77d391263289_0.png "[tex]L_n(X_1,...,X_n)=\prod_{i=1}^n F(x_i)[/tex]")
Como no se trata de ser una familia regular por no ser abierta (como podes observar n solo puede ser 2,3,4), debemos tratarlo como caso patologico y pensarlo por definicion.
Escribi las tres ecuaciones y graficalas para entender mas o menos cual es su distribucion.
![[tex]f_2(x)=2x[/tex]](images/latex/57c76d8b006207bae2093f44b6f937ad04367a94_0.png "[tex]f_2(x)=2x[/tex]")
![[tex]f_3(x)=3x^2[/tex]](images/latex/8ca3fc55c75379f7c8d99f8ba33cf7f1972efc3e_0.png "[tex]f_3(x)=3x^2[/tex]")
![[tex]f_4(x)=4x^3[/tex]](images/latex/21234f6d3cf4b1d341aebdf24aff8b9f5db0166b_0.png "[tex]f_4(x)=4x^3[/tex]")
Ahora, lo que nostros queremos es maximizar la funcion de verosimilutud. Vamos a elegir aquella funcion que sea mas probable que arroje los valores de la muestra observada. Por lo tanto calculamos.
![[tex]L_2(X_1,...,X_5)=\prod_{i=1}^5 F(x_i)=\prod_{i=1}^5 2 (X_i) = 3^5 (0,59*0.24*...*0.68 ) [/tex]](images/latex/f69e93cd934c9fb14e570ee84ac547416be805f3_0.png "[tex]L_2(X_1,...,X_5)=\prod_{i=1}^5 F(x_i)=\prod_{i=1}^5 2 (X_i) = 3^5 (0,59*0.24*...*0.68 ) [/tex]")
![[tex]L_3(X_1,...,X_5)=\prod_{i=1}^5 F(x_i)=\prod_{i=1}^5 3 (X_i)^2 = 3^5 (0,59^2*0.24^2*...*0.68^2)[/tex]](images/latex/2fdb2f95286c02b31cbaa41dd477dc5aad245615_0.png "[tex]L_3(X_1,...,X_5)=\prod_{i=1}^5 F(x_i)=\prod_{i=1}^5 3 (X_i)^2 = 3^5 (0,59^2*0.24^2*...*0.68^2)[/tex]")
![[tex]L_4(X_1,...,X_5)=\prod_{i=1}^5 F(x_i)=\prod_{i=1}^5 4 (X_i)^3 = 4^5 (0,59^3*0.24^3*...*0.68^3)[/tex]](images/latex/c414306f7d4df7125a7997ceeaf68a4fa7b51c4f_0.png "[tex]L_4(X_1,...,X_5)=\prod_{i=1}^5 F(x_i)=\prod_{i=1}^5 4 (X_i)^3 = 4^5 (0,59^3*0.24^3*...*0.68^3)[/tex]")
No tengo aca los numeros que daba, pero te daba que la probabilidad mas grande era con n=2. Daba 0,51 o algo asi... Este n que te da, esta bueno tratar de verlo graficamente. Fijate que en el grafico, podes observar que un numero chiquito es mas probable en el caso de n=2... y bastantes elementos en la muestra pequeños.
Pero a vos lo que te pide igual el estimador de maxima verosimilitud para la esperanza de X.
La esperanza de X es...
![[tex]\mu= \int_0^1 x f_n(x) dx=[/tex]](images/latex/a02ddec390aa18d0a900c566a380a938d69bfbc5_0.png "[tex]\mu= \int_0^1 x f_n(x) dx=[/tex]")
Resolviendo esto, creo que te quedaba que
![[tex]\mu=\frac{n}{n+1}[/tex]](images/latex/a41551fced9b8f3d1e8d1ee57bf58b3e803a522b_0.png "[tex]\mu=\frac{n}{n+1}[/tex]")
Por el principio de invarianza, podemos decir que si remplazamos el estimador de ![[tex]n [/tex]](images/latex/c96e885266c997002bbe1e6ac1af53f22aa185e0_0.png "[tex]n [/tex]") por , entonces del otro lado de la ecuacion nos queda el estimador de maxima verosimilitud para la esperanza de x. El resultado termina siendo 2/3.... que igual ya te lo podias imaginar por el grafico.
Creo que seria asi... Perdon que no puse todas las cuentas pero no las tengo a mano...
Saludos.
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"Por eso te pido (amigo desconocido), si ves a mi rock perdido, lo traigas por aqui!"
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lizabe
Nivel 2
Registrado: 07 Sep 2009
Mensajes: 11
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psico_killer
Nivel 1
Registrado: 03 Feb 2010
Mensajes: 4
Carrera: Sistemas
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no hice las cuentas pero me parece que el n que maximiza la función de máxima verosimilutud es n=1
fijate que son números entre cero y uno elevados a potencias cada vez mas grandes
creo que el resultado sería 1/2 y no 2/3
Saludos.
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El lujo es vulgaridad
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Gualicho
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 715
Ubicación: En el templo de Momo...
Carrera: Informática
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| psico_killer escribió:
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no hice las cuentas pero me parece que el n que maximiza la función de máxima verosimilutud es n=1
fijate que son números entre cero y uno elevados a potencias cada vez mas grandes
creo que el resultado sería 1/2 y no 2/3
Saludos.
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Las opciones eran n=2, 3 o 4.
Saludos.
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psico_killer
Nivel 1
Registrado: 03 Feb 2010
Mensajes: 4
Carrera: Sistemas
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uh tenes razón...
mil disculpas
Gracias !!!!
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El lujo es vulgaridad
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