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wombat
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2009
Mensajes: 44
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Tengo unas dudas encarando dos ejercicios de matrices de proyección, se los copio abajo, si alguno me puede ayudar se lo agradecería.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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En el ejercicio 3:
La definición de Nul(A) te está diciendo que u y v viven en su complemento ortogonal, que es Col(At). Como están en suma directa en R3 y Nul(A) tiene dimensión 1, necesariamente Col(At) es de dimensión 2, por lo que ya tenés una base (formada por u y v). Ahora, Col(At)=Fil(A), entonces ya tenés la base de Fil(A), la ortonormalizás y calculás la matriz de proyección mediante QQt siendo Q la matriz cuyas columnas son esa BON. Para buscar la matriz de su complemento ortogonal sólo te queda recordar que tenés que hacer I3-P (I3 identidad de orden 3).
Fijate lo siguiente, yo puedo descomponer un vector cualquiera del espacio en dos ortogonales
x= x1 + x2 (x1 es de S y x2 es de Sort)
Id.x = P.x1 + P´x2 (P es sobre S y P' es sobre Sort, fijate entonces que x1=P.x1 y x2=P'.x2)
Id.x - P.x1 = P'x2
=> (Id-P)(x-x1)=P'x2, si x-x1=x2 necesariamente (Id-P)=P'
Ejercicio 7:
El espacio sobre el que proyecta P es Col(P), si P es de rango 3, vas a necesitar 3 vectores para definir una base de Col(P). De entrada sabés que w pertenece a Col(P) porque es el resultado de la proyección. Si w es la proyección de v sobre dicho espacio, necesariamente vas a descomponer a v en w+x, w perteneciendo a Col(P) y x perteneciendo al complemento ortogonal de Col(P). Una vez que obtuviste este vector x sólo te resta buscar la base de su complemento ortogonal (que ya sabes que es de dimensión 1 por lo que dije antes), que será un subespacio de dimensión 3 en R4, justamente Col(P) que es el que estás buscando. No te olvides de verificar que w pertenece a él. Una vez que tenés la base, ortonormalizala y mediante QQt obtenés la matriz de proyeccion. Si hiciste todo bien, multiplicala por v y te tiene que dar w.
Saludos.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| Hay un error en la redacción, el paréntesis ''(que ya sabes que es de dimensión 1 por lo que dije antes)'' está fuera de lugar
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wombat
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2009
Mensajes: 44
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| Pankreas te agradezco mucho.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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| para el ej 3) no se puede pensar como que Nul(A)=Fil(A)ortogonal entonces Nul(A)=gen{(2,-1,2)=Fil(A)ort (eso lo normalizas y tnes una BON de Fil(A)ort) de ahi sacas P(Fil(ort) y dp haces I-P(FilAort))=P(Fil(A)
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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para el 2do a ver si es como lo pense o hay alg omal:
Como rg(P)=3 entonces dimNul(P)=1 y tambien Nul(P)=Col(P)ort entonces calculo el nulo como v-w=(0,1,1,-1) si normalizo me queda QQt = P(colPort) del mismo modo hago I-PcolP(ort) = PcolP y de ahi saco una base de ColP(tiene 3 vectores pq rgP=3)
me quedo algo como
1 0 0 0
0 2/3 -1/3 1/3
0 -1/3 2/3 1/3
0 1/3 1/3 2/3
entonces Col(P)=gen{(1000),(0,2/3,-1/3,1/3),(0,1/3,2/3,1/3)}
esta bien¿?
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Ejercicio 7)
Teoría by pankreas
| Cita:
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El espacio sobre el que proyecta P es Col(P), si P es de rango 3, vas a necesitar 3 vectores para definir una base de Col(P). De entrada sabés que w pertenece a Col(P) porque es el resultado de la proyección. Si w es la proyección de v sobre dicho espacio, necesariamente vas a descomponer a v en w+x, w perteneciendo a Col(P) y x perteneciendo al complemento ortogonal de Col(P). Una vez que obtuviste este vector x sólo te resta buscar la base de su complemento ortogonal (que ya sabes que es de dimensión 1 por lo que dije antes), que será un subespacio de dimensión 3 en R4, justamente Col(P) que es el que estás buscando. No te olvides de verificar que w pertenece a él. Una vez que tenés la base, ortonormalizala y mediante QQt obtenés la matriz de proyeccion. Si hiciste todo bien, multiplicala por v y te tiene que dar w.
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![[tex]\begin{array}{l} v = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 1 \hfill \\ 2 \hfill \\ 0 \hfill \\\end{array}} \right]\,\,\,\,\,\,w = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ 1 \hfill \\\end{array}} \right]\,\,\,\,\,Rg\left( P \right) = 3 \\ \\ {\rm{pro}}{{\rm{y}}_{Col(P)}}\left( v \right) = w \Rightarrow w \in Col(P) \\ \\ w = {\rm{pro}}{{\rm{y}}_{Col(P)}}\left( v \right) + {\rm{pro}}{{\rm{y}}_{Col{{(P)}^ \bot }}}\left( v \right) \\ \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 1 \hfill \\ 2 \hfill \\ 0 \hfill \\\end{array}} \right]\,\,\, = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ 1 \hfill \\\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \hfill \\ {{x_2}} \hfill \\ {{x_3}} \hfill \\ {{x_4}} \hfill \\\end{array}} \right] \\ \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \hfill \\ {{x_2}} \hfill \\ {{x_3}} \hfill \\ {{x_4}} \hfill \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ 1 \hfill \\ { - 1} \hfill \\\end{array}} \right]\, \in Col{(P)^ \bot } \\ \\ {\rm{Rg( }}Col{(P)^ \bot }{\rm{) = 1}}{\rm{.}} \\ \\ \Rightarrow Col{(P)^ \bot } = gen\left\{ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 1 & { - 1} \\\end{array}} \right]}^t}} \right\} \\ \\ BON{\rm{ de }}Col{(P)^ \bot } = gen\left\{ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {1/\sqrt 3 } & {1/\sqrt 3 } & { - 1/\sqrt 3 } \\\end{array}} \right]}^t}} \right\} \\ \\ \Rightarrow P' = I - P \\ \end{array}[/tex]](images/latex/d1de98e63a3ff175d2485f7960b269ffb1a12bef_0.png "[tex]\begin{array}{l} v = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 1 \hfill \\ 2 \hfill \\ 0 \hfill \\\end{array}} \right]\,\,\,\,\,\,w = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ 1 \hfill \\\end{array}} \right]\,\,\,\,\,Rg\left( P \right) = 3 \\ \\ {\rm{pro}}{{\rm{y}}_{Col(P)}}\left( v \right) = w \Rightarrow w \in Col(P) \\ \\ w = {\rm{pro}}{{\rm{y}}_{Col(P)}}\left( v \right) + {\rm{pro}}{{\rm{y}}_{Col{{(P)}^ \bot }}}\left( v \right) \\ \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 1 \hfill \\ 2 \hfill \\ 0 \hfill \\\end{array}} \right]\,\,\, = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ 1 \hfill \\\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \hfill \\ {{x_2}} \hfill \\ {{x_3}} \hfill \\ {{x_4}} \hfill \\\end{array}} \right] \\ \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \hfill \\ {{x_2}} \hfill \\ {{x_3}} \hfill \\ {{x_4}} \hfill \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \hfill \\ 1 \hfill \\ 1 \hfill \\ { - 1} \hfill \\\end{array}} \right]\, \in Col{(P)^ \bot } \\ \\ {\rm{Rg( }}Col{(P)^ \bot }{\rm{) = 1}}{\rm{.}} \\ \\ \Rightarrow Col{(P)^ \bot } = gen\left\{ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 1 & { - 1} \\\end{array}} \right]}^t}} \right\} \\ \\ BON{\rm{ de }}Col{(P)^ \bot } = gen\left\{ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {1/\sqrt 3 } & {1/\sqrt 3 } & { - 1/\sqrt 3 } \\\end{array}} \right]}^t}} \right\} \\ \\ \Rightarrow P' = I - P \\ \end{array}[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Para el ejercicio 3)
Llamemos ![[tex]S = gen \{ u,v \}[/tex]](images/latex/8d44f0d2a591b79dbaefebcd8af47c161857e034_0.png "[tex]S = gen \{ u,v \}[/tex]") . Vemos que en la definicion del ![[tex]Nul(A)[/tex]](images/latex/c2a99ab52d8317fe0c53f4a800d6569640e0d22b_0.png "[tex]Nul(A)[/tex]") se dice que son todos los vectores que son ortogonales con u y v, es decir, la definicion de complemento ortogonal. Por lo tanto ![[tex]Nul(A) = {S}^{\perp}[/tex]](images/latex/2fd2b5910f89abafa876c7cd0550895cec2350f9_0.png "[tex]Nul(A) = {S}^{\perp}[/tex]") . Ahora bien, sabemos por propiedades de matrices que ![[tex]Nul(A) = {Fil(A)}^{\perp}[/tex]](images/latex/ac7964dc0bb0a5bea8d15daa8b566e9ed59d53f9_0.png "[tex]Nul(A) = {Fil(A)}^{\perp}[/tex]") .
Entonces
![[tex]{Fil(A)}^{\perp} = {S}^{\perp}[/tex]](images/latex/8dd3e4e2837b58955a19f34e67379bd4d56789be_0.png "[tex]{Fil(A)}^{\perp} = {S}^{\perp}[/tex]")
![[tex]Fil(A) = S[/tex]](images/latex/fe9c67e3b72740f6c5d941057ab5f788e2cca996_0.png "[tex]Fil(A) = S[/tex]")
Vemos que ![[tex]\textless u,v \textgreater \neq 0[/tex]](images/latex/5824957a266b8d4f296425cc23f724f81e8a40d9_0.png "[tex]\textless u,v \textgreater \neq 0[/tex]") (los vectores no son ortogonales y por lo tanto la base no lo es) y que los vectores no estan normalizados, por lo tanto sacamos una BON ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") de ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]") " rapidamente" por medio del proceso Gram-Schmidt y luego usamos la nueva base para armar la matriz de proyeccion sobre ![[tex]Fil(A)[/tex]](images/latex/596ea5c55105c6fffce6bfcc4231a2f0c57f0149_0.png "[tex]Fil(A)[/tex]") . Ahora bien, para encontrar la proyeccion sobre ![[tex]{Fil(A)}^{\perp}[/tex]](images/latex/53f151641ce6e54452bc574a88bd50b7e66b56b0_0.png "[tex]{Fil(A)}^{\perp}[/tex]") sabemos que la suma de las matrices de proyeccion sobre espacios ortogonales entre si es la matriz identidad correspondiente.
![[tex]Q = Col(B)[/tex]](images/latex/3d2944ef1fe3098cbb903bdb81184268824405ef_0.png "[tex]Q = Col(B)[/tex]")
![[tex][ {P}_{Fil(A)}] = Q{Q}^{T}[/tex]](images/latex/ad0dd285652a29c80a804a0735caee91cd5a6d92_0.png "[tex][ {P}_{Fil(A)}] = Q{Q}^{T}[/tex]")
![[tex][{P}_{Fil(A)}] + [{P}_{{Fil(A)}^{T}}] = {I}_{{\Re}^{3}}[/tex]](images/latex/b511c4955598931e207c274994086f469d7636c0_0.png "[tex][{P}_{Fil(A)}] + [{P}_{{Fil(A)}^{T}}] = {I}_{{\Re}^{3}}[/tex]")
Despejamos, restamos y ya tenemos ambas matrices.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Perdon en el ultimo renglon deberia ser:
![[tex][{P}_{Fil(A)}] + [{P}_{{Fil(A)}^{\perp}}] = {I}_{{\Re}^{3}}[/tex]](images/latex/8b3acd58dc5d4fc9699409c91f7b5be60b8fcf4f_0.png "[tex][{P}_{Fil(A)}] + [{P}_{{Fil(A)}^{\perp}}] = {I}_{{\Re}^{3}}[/tex]")
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