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wombat
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2009
Mensajes: 44
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Tengo unas dudas encarando dos ejercicios de matrices de proyección, se los copio abajo, si alguno me puede ayudar se lo agradecería.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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En el ejercicio 3:
La definición de Nul(A) te está diciendo que u y v viven en su complemento ortogonal, que es Col(At). Como están en suma directa en R3 y Nul(A) tiene dimensión 1, necesariamente Col(At) es de dimensión 2, por lo que ya tenés una base (formada por u y v). Ahora, Col(At)=Fil(A), entonces ya tenés la base de Fil(A), la ortonormalizás y calculás la matriz de proyección mediante QQt siendo Q la matriz cuyas columnas son esa BON. Para buscar la matriz de su complemento ortogonal sólo te queda recordar que tenés que hacer I3-P (I3 identidad de orden 3).
Fijate lo siguiente, yo puedo descomponer un vector cualquiera del espacio en dos ortogonales
x= x1 + x2 (x1 es de S y x2 es de Sort)
Id.x = P.x1 + P´x2 (P es sobre S y P' es sobre Sort, fijate entonces que x1=P.x1 y x2=P'.x2)
Id.x - P.x1 = P'x2
=> (Id-P)(x-x1)=P'x2, si x-x1=x2 necesariamente (Id-P)=P'
Ejercicio 7:
El espacio sobre el que proyecta P es Col(P), si P es de rango 3, vas a necesitar 3 vectores para definir una base de Col(P). De entrada sabés que w pertenece a Col(P) porque es el resultado de la proyección. Si w es la proyección de v sobre dicho espacio, necesariamente vas a descomponer a v en w+x, w perteneciendo a Col(P) y x perteneciendo al complemento ortogonal de Col(P). Una vez que obtuviste este vector x sólo te resta buscar la base de su complemento ortogonal (que ya sabes que es de dimensión 1 por lo que dije antes), que será un subespacio de dimensión 3 en R4, justamente Col(P) que es el que estás buscando. No te olvides de verificar que w pertenece a él. Una vez que tenés la base, ortonormalizala y mediante QQt obtenés la matriz de proyeccion. Si hiciste todo bien, multiplicala por v y te tiene que dar w.
Saludos.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Hay un error en la redacción, el paréntesis ''(que ya sabes que es de dimensión 1 por lo que dije antes)'' está fuera de lugar
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wombat
Nivel 3
Registrado: 11 Mar 2009
Mensajes: 44
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Pankreas te agradezco mucho.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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para el ej 3) no se puede pensar como que Nul(A)=Fil(A)ortogonal entonces Nul(A)=gen{(2,-1,2)=Fil(A)ort (eso lo normalizas y tnes una BON de Fil(A)ort) de ahi sacas P(Fil(ort) y dp haces I-P(FilAort))=P(Fil(A)
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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para el 2do a ver si es como lo pense o hay alg omal:
Como rg(P)=3 entonces dimNul(P)=1 y tambien Nul(P)=Col(P)ort entonces calculo el nulo como v-w=(0,1,1,-1) si normalizo me queda QQt = P(colPort) del mismo modo hago I-PcolP(ort) = PcolP y de ahi saco una base de ColP(tiene 3 vectores pq rgP=3)
me quedo algo como
1 0 0 0
0 2/3 -1/3 1/3
0 -1/3 2/3 1/3
0 1/3 1/3 2/3
entonces Col(P)=gen{(1000),(0,2/3,-1/3,1/3),(0,1/3,2/3,1/3)}
esta bien¿?
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Ejercicio 7)
Teoría by pankreas
Cita:
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El espacio sobre el que proyecta P es Col(P), si P es de rango 3, vas a necesitar 3 vectores para definir una base de Col(P). De entrada sabés que w pertenece a Col(P) porque es el resultado de la proyección. Si w es la proyección de v sobre dicho espacio, necesariamente vas a descomponer a v en w+x, w perteneciendo a Col(P) y x perteneciendo al complemento ortogonal de Col(P). Una vez que obtuviste este vector x sólo te resta buscar la base de su complemento ortogonal (que ya sabes que es de dimensión 1 por lo que dije antes), que será un subespacio de dimensión 3 en R4, justamente Col(P) que es el que estás buscando. No te olvides de verificar que w pertenece a él. Una vez que tenés la base, ortonormalizala y mediante QQt obtenés la matriz de proyeccion. Si hiciste todo bien, multiplicala por v y te tiene que dar w.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Para el ejercicio 3)
Llamemos . Vemos que en la definicion del se dice que son todos los vectores que son ortogonales con u y v, es decir, la definicion de complemento ortogonal. Por lo tanto . Ahora bien, sabemos por propiedades de matrices que .
Entonces
Vemos que (los vectores no son ortogonales y por lo tanto la base no lo es) y que los vectores no estan normalizados, por lo tanto sacamos una BON de " rapidamente" por medio del proceso Gram-Schmidt y luego usamos la nueva base para armar la matriz de proyeccion sobre . Ahora bien, para encontrar la proyeccion sobre sabemos que la suma de las matrices de proyeccion sobre espacios ortogonales entre si es la matriz identidad correspondiente.
Despejamos, restamos y ya tenemos ambas matrices.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Perdon en el ultimo renglon deberia ser:
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