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Hola en este caso tenes q usar la regla de la cadena ya q de f no tenes ningun dato pero fijate q el punto aplicado a te va a dar el punto y dsp tenes q definir otra funcion llamemosla tal que [tex]h : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2[/tex] y definida por para poder emplear bien bien la regla de la cadena y decir que:
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Primero buscas g(1;2;1) = f(2;7) -2
Justificando bien decis q f(2;7) = p(2:7) (sory soy lo más fiaca para latex igual se entiende) entonces sabes que f(2;7) = 2, por lo tanto g(1;2;1) =0
El plano tg a la superficie de nivel 0 de g en (1;2;1) es el que buscamos, para eso el gradiente de g en ese punto es normal a la superficie de nivel en ese punto (la sup de nivle 0), entonces lo uso como vector N del plano.
Para sacar las derivadas de g para el gradiente, defino:
g(x;y;z) = f(u;v) -2x² ; con u(x;y;z)= x² +y-z³ y v(x;y;z)=3x + 2yz
entonces...
g'x= f'u . u'x + f'v . v'x -4x
f' las sacas derivando el polinomio de taylor (ahi u sería la x y v la y, confunde un poco porque le ponen el mismo nombre a las variables pero la x del taylor no es la misma q aca) las der de u y v las sacas derivando
u(x;y;z)= x² +y-z³ y v(x;y;z)=3x + 2yz
y bueno ahi ya casi está...
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No! como que no depende de z?
Es el mismo razonamiento que para g'x,
g'z =f'u . u'z + f'v . v'z
f'u y f'v valen siempre lo mismo! (lo que sale derivando el p de taylor) No importa que g' estes calculando, y fijate que si calculas u'z y v'z te da:
g'z = 1 . (-3) + (-1) . 4 = -7
f'u = 1 en todas las cuentas y f'v = (-1) , lo que va cambiando son las derivadas de u y v con respecto de x, y , z.
Tengan mucho cuidado con eso, siempre ponen el mismo nombre a las variables (x;y;z) en distintas cosas y confunden, en este caso, usaron (x;y;z) para la g y tmb para el p (el taylor de f) pero NO SON LOS MISMOS NÚMEROS!!!
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![[tex]f: R^2 \rightarrow R[/tex]](images/latex/bab2a227037359568b417727381f88c449b72dff_0.png "[tex]f: R^2 \rightarrow R[/tex]")
, ![[tex]C^3(R^2)[/tex]](images/latex/e2a3ec8caa7f53bb4b768556ecc43878cb6056cb_0.png "[tex]C^3(R^2)[/tex]")
tal que su pol de Taylor de orden 2 en [/tex]](images/latex/6a30ee18542164108f5fbfce4f7889dcf95bb65d_0.png "[tex](2,7)[/tex]")
es ![[tex]p(x,y) = x^2 - (1/2)xy + (1/2)x + 4[/tex]](images/latex/3a1921904a163eba2dd2db06dd9f328dc98e0231_0.png "[tex]p(x,y) = x^2 - (1/2)xy + (1/2)x + 4[/tex]")
.
![[tex]g: R^3 \rightarrow R[/tex]](images/latex/7ef1c3b5c0f25c9fe2c1e9d9f59f64541ef47ad7_0.png "[tex]g: R^3 \rightarrow R[/tex]")
def por ![[tex]g(x,y,z)=f(x^2+y-z^3,3x+2yz)-2x^2[/tex]](images/latex/5459c71780ac69ad4b2e27ed8c2d85b7b6064847_0.png "[tex]g(x,y,z)=f(x^2+y-z^3,3x+2yz)-2x^2[/tex]")
. Hallar el plano tg a ![[tex]g(x,y,z)[/tex]](images/latex/47724ddf6041aea95fbbb849418173960677b080_0.png "[tex]g(x,y,z)[/tex]")
en [/tex]](images/latex/8dafc05bf54afb1611495f4e022b6740b77ecd60_0.png "[tex](1,2,1)[/tex]")
.
![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]")
te va a dar el punto ![[tex]h[/tex]](images/latex/dba6f75029d64b60539dea1182c5717c286e8d54_0.png "[tex]h[/tex]")
tal que ![[tex]h(x,y,z) = \left( x^2 +y -z^3 , 3x + 2yz \right) [/tex]](images/latex/1919478bc9c4d0d63023c3a04b2412da56635c18_0.png "[tex]h(x,y,z) = \left( x^2 +y -z^3 , 3x + 2yz \right) [/tex]")
para poder emplear bien bien la regla de la cadena y decir que:
![[tex]g(x,y,z)=f(h(x,y,z))-2x^2[/tex]](images/latex/ef4d9c9d57e13c106cea9ebd3cad43911933af50_0.png "[tex]g(x,y,z)=f(h(x,y,z))-2x^2[/tex]")
![[tex]\ll[/tex]](images/latex/18b0ee03b28e763622221fda561df49104e1b3e8_0.png "[tex]\ll[/tex]")
![[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]](images/latex/6c26715c673b69707083d47474a370e7efaea3c0_0.png "[tex]${\Large \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13,0.55,0.13} \color{forestgreen} [S]iD [B]eRnArD!}$ [/tex]")
![[tex]\gg[/tex]](images/latex/0e111618adc71d5c5a3da3b35e41887d8078d70d_0.png "[tex]\gg[/tex]")
![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/3ab0ca99025a1273576a70bba37de38367369007_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]")
![[tex]\color{blue} "\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}" [/tex]](images/latex/977817249ec7b4599126eef9d7046fe801e615ed_0.png "[tex]\color{blue} \"\mathbf{\mathit{The\, Music\, Rules\, The\, World}}\" [/tex]")
