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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Buenas, quería compartir un ejercicio que encontre que me quedaron algunas dudas:
Hola, quería compartir un ejercicio que encontré
Se produce una perturbación transversal de frecuencia igual a 10 KHz en una varilla cilíndrica de sección pequeña, de aluminio (suponerla de longitud infinita)
a) Escribir la ecuación de onda con que se propaga la deformación transversal. Proponer una solución para esta ecuación y determinar la velocidad con que se propaga.
b) Si se sabe que para t = 0 s, las partículas de la barra de aluminio cuya posición de equilibrio es x = 0 m se han desplazado Psi=10-6 m y en ese instante su velocidad es 2Pi.10-2 m/s, determinar el desplazamiento Psi en función del tiempo para todo punto de la barra.
Datos: módulo de Young Y= 69.109 N/m2; módulo de torsión (transversal) T= 3/8Y ; la densidad del aluminio 2,7 .103 kg/m3.
a) Bueno, la ecuación de ondas es la que rige siempre: d²psi/dt²=V².d²Psi/dx². Una solución para esta ecuación sería Psi=A.sen(kx-wt).
La velocidad se calcula como la raiz de la torsión sobre la densidad volumétricas, ambas son datos del enunciado.
b) La parte b es la que se me complica un poco. Me dan el dato que en x=0 y t=0 la barra se movio para arriba 10^-6m, y si uso la ecuación Psi=A.sen(kx - 2Pi.f.t) me va a dar cero. Lo que se me ocurrio fue derivar la ecuación, y me queda entonces la velocidad de las partículas dadas por Vp=-2Pi.f.A.cos(kx-2Pi.f.t) y aca puedo reemplazar los datos y despejar la amplitud, pero no tendría sentido porque la ecuación de onda en x=0 y t=0 siempre se va a anular porque me queda el seno de cero y nunca voy a llegar al 10^-6m que me pide el enunciado. Lo que se me ocurre es que la ecuación sea A.sen(kx-Wt+B), es decir, que tenga una fase dinstita de cero, y así podes calcular lo pedido.
Por otro lado, encontré estos dos problemitas teóricos de un final
a.1) ¿El índice de refracción de un vidrio es el mismo para luz blanca incidente, en todas las frecuencias de onda?
a.2) ¿La longitud de onda de la luz incidente sobre una dioptra plana, cambia al pasar de un medio al otro? ¿Y la velocidad de propagación?
Acá con esto estoy muerto, es decir, desconozco de las relaciones posibles que hay entre una dioptra y una luz. Lo único que se es que la velocidad de propagación es siempre constante en cada medio, así que si el medio que esta detrás de la dioptra es distinto, la velocidad cambiará!!
Desde ya muchas gracias
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cyng
Nivel 8
Registrado: 04 Jul 2010
Mensajes: 472
Carrera: Informática y Sistemas
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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![[tex]B cos\left ( kx- \omega t \right )[/tex]](images/latex/91a013f629ba9739e7132fb19541d826347d4884_0.png "[tex]B cos\left ( kx- \omega t \right )[/tex]") también es solución de ![[tex]\frac {\partial^2 \psi}{\partial t^2}= v^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}[/tex]](images/latex/dffab342136ffedeacfbccfd4c25ff5b1719f7f0_0.png "[tex]\frac {\partial^2 \psi}{\partial t^2}= v^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}[/tex]")
por lo tanto
![[tex]\psi\left ( x,t \right ) = A sen\left ( kx- \omega t \right ) + B cos\left ( kx- \omega t \right )[/tex]](images/latex/6aaaafdf6928dde0b42e180f406268dc0bafe0b0_0.png "[tex]\psi\left ( x,t \right ) = A sen\left ( kx- \omega t \right ) + B cos\left ( kx- \omega t \right )[/tex]") y ![[tex]v= \frac{\omega}{k}[/tex]](images/latex/ce0c9ea3592b097756b6e414a67e7dc2396ccd58_0.png "[tex]v= \frac{\omega}{k}[/tex]")
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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también, como vos decís, ![[tex]A sen (kx - \omega t + \phi)[/tex]](images/latex/8bb6e264e39c97ab6225ac1d364849e74ce46b88_0.png "[tex]A sen (kx - \omega t + \phi)[/tex]") es solución.
![[tex]\phi[/tex]](images/latex/7d54d851a6c3d8eeea3473c298592b88e2219186_0.png "[tex]\phi[/tex]") es el corrimiento que puede tener la onda, como por ejemplo un corrimiento en ![[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/099837c8b41b61b95e1af79a9a70edec6d66bbd8_0.png "[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]") te da coseno.
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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| Franzl escribió:
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también, como vos decís, es solución.
es el corrimiento que puede tener la onda, como por ejemplo un corrimiento en te da coseno.
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Gracias Franz..entonces vos crees que para resolver la 2da parte estaría bien derivar respecto del tiempo para tener una segunda ecuación y resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas? Por que lo que yo interpreto, segun lo que me dan, es que:
2Pi.10^-2=A.sen(k.0-w.0 + B)
Eso es lo que me quieren decir con que la perturbacion vale 2Pi.10^-2?
Muchas gracias
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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Sí, como tenés la condicion inicial de la velocidad:
![[tex]\psi= A sen (kx - wt + \phi)[/tex]](images/latex/f81e5514ad120d37ed39a6190518b1a462fb4f48_0.png "[tex]\psi= A sen (kx - wt + \phi)[/tex]")
![[tex]\frac{\partial \psi}{\partial t} = \psi=- A \omega cos (kx - wt + \phi)[/tex]](images/latex/f1fc2105e0c2ff468dad4bd175847d3d904a7271_0.png "[tex]\frac{\partial \psi}{\partial t} = \psi=- A \omega cos (kx - wt + \phi)[/tex]")
en ![[tex]t=0 , x=0 , \psi (0,0)= 10^{-6} m , \frac{\partial \psi}{\partial t} (0,0)= 2 \pi 10^{-2} \frac{m}{s}[/tex]](images/latex/213cbd1fe8aec94ba10e4214e3cdbd604936a926_0.png "[tex]t=0 , x=0 , \psi (0,0)= 10^{-6} m , \frac{\partial \psi}{\partial t} (0,0)= 2 \pi 10^{-2} \frac{m}{s}[/tex]")
![[tex]10^{-6}= A sen \phi[/tex]](images/latex/fe71d228905392cb91ed6254691ca59e5dbf2dbd_0.png "[tex]10^{-6}= A sen \phi[/tex]")
![[tex] 2 \pi 10^{-2} = - A \omega cos \phi[/tex]](images/latex/d8e55dd25ef8a484ee5788297c65b96588361eef_0.png "[tex] 2 \pi 10^{-2} = - A \omega cos \phi[/tex]")
![[tex]A = \frac{10^{-6}}{ sen \phi}[/tex]](images/latex/8c344b5d2274247a54e558da26a9d7a36871f21a_0.png "[tex]A = \frac{10^{-6}}{ sen \phi}[/tex]")
![[tex] \frac{sen \phi}{cos \phi} = tg \phi= - \frac {w}{20000 \pi}[/tex]](images/latex/d13cd25ebecc1c7991e861bdb74a37ee8faf9533_0.png "[tex] \frac{sen \phi}{cos \phi} = tg \phi= - \frac {w}{20000 \pi}[/tex]")
![[tex]\omega=2 \pi f = 20000 \pi[/tex]](images/latex/73869a3dff2ee3da1acb4eb2ba00e84a2a9090e6_0.png "[tex]\omega=2 \pi f = 20000 \pi[/tex]")
![[tex] \phi= arctg (-1)=- \frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/f04b223cd0a52e62c1e3215e4c460c08a055cbf0_0.png "[tex] \phi= arctg (-1)=- \frac{\pi}{4}[/tex]")
![[tex] A= - \sqrt{2} \cdot 10^{-6} m[/tex]](images/latex/68e0ae861c3368b5051573f7fbe1d12e86f981c0_0.png "[tex] A= - \sqrt{2} \cdot 10^{-6} m[/tex]")
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moncholo11
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![[tex]\psi (x,t) = - \sqrt{2} \cdot 10^{-6} sen \left ( kx - \omega t - \frac{\pi}{4} \right )[/tex]](images/latex/5588415552e14c841e2b1d27831dbdae9704262f_0.png "[tex]\psi (x,t) = - \sqrt{2} \cdot 10^{-6} sen \left ( kx - \omega t - \frac{\pi}{4} \right )[/tex]")