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Agus_
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 20 Abr 2008
Mensajes: 18
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Una vez mas recurriendo a su sabiduria 
necesitaria saber como se opera con este problema.... mil gracias a quienes me ayuden :
Sea A:{ z^4 = -27iz , Re(z)=0 } Hallar un polinomio de grado minimo, tal que los elementos de A sean raices de P.
Saludos y exitos para todos!!!
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klos_19
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 07 Ago 2008
Mensajes: 174
Carrera: Mecánica
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mira:
1. Escribi la ecuacion en forma trigonomertica
![[tex]|z|^4(\cos(4\phi)+\sen(4\phi))=-27i|z|(\cos(\phi)+\sen(\phi)[/tex]](images/latex/d79d69a834a35055af741036794745cd82f762b1_0.png "[tex]|z|^4(\cos(4\phi)+\sen(4\phi))=-27i|z|(\cos(\phi)+\sen(\phi)[/tex]")
2. Igualas las partes trigonometricas con las trigonometricas y los modulos con los modulos.
(a) ![[tex]|z|^4= -27i |z|[/tex]](images/latex/6303d64bbd1e9d1d369105d6b72a96d43950fe01_0.png "[tex]|z|^4= -27i |z|[/tex]") y (b) ![[tex] 4\phi=\phi + 2k\pi[/tex]](images/latex/2a4a46cf35f32afc310de8f683f403f6cd5e5642_0.png "[tex] 4\phi=\phi + 2k\pi[/tex]")
De (a)
![[tex]|z|^4 = -27i|z|[/tex]](images/latex/304997c6652cd5579364aa96efab00b1230351de_0.png "[tex]|z|^4 = -27i|z|[/tex]")
_primera solucion Z=0 ( si |z|=0)
despejando: |z|= 3i (si |z| no es 0 )
De (b)
Despejando, ![[tex]\phi= \frac{2k\pi}{3}[/tex]](images/latex/d84f2dfe7a5e5f2f51db336ed821e7926add1fc8_0.png "[tex]\phi= \frac{2k\pi}{3}[/tex]")
como el angulo es: ![[tex]0<\phi<2\pi[/tex]](images/latex/9597b087c560b51df69299dd1a61144fb67368a1_0.png "[tex]0<\phi<2\pi[/tex]")
![[tex]0 < \frac{2k\pi}{3} < 2\pi[/tex]](images/latex/7c91809f37e6481e6b47d685097f92f173ed2a2a_0.png "[tex]0 < \frac{2k\pi}{3} < 2\pi[/tex]")
entonces : 0=< K < 3 (K siempre es natural)
Entonces las soluciones son:
z= 3i(cos ((2kPI)/3) + isen ((2kPI)/3) ) con K= 0, 1 y 2
Entonces tenes cuatro soluciones, reemplazando K y z=0, de esas cuatro solo dejas las que z quede un imaginario puro.
y las usas como raices del polinomio, osea lo escribis factorizado,
P(x) = (x-Z1)(x-Z2).......
Acordate que si queres que te quede un polinomio con coeficientes reales tenes que poner tambien como raices las soluciones de Z conjugadas.
Espero que te sirva.
NOTA: El ejercicio tiene un error, el modulo de Z deberia der un numero real, pero cuando me di cuenta ya habia copiado mucho, si encuentro el error posteo otra vez, y sino te queda para practicar, jaja.
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klos_19
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 07 Ago 2008
Mensajes: 174
Carrera: Mecánica
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Ya encontre el error:
La primera ecuacion la tenes que escribir asi:
!z!^4 (cos(4@) + isen(4@) = -27(cos(PI/2) + isen(Pi/2) ) . !z! (cos(@) + isen(@))
y despues seguis con el mismo procedimiento, te queda de tarea, cualquier cosa preguntas de nuevo.
bye
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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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Che, tenemos que aprender a usar Latex, pero bueno, por el momento me preocupa más aprender Álgebra y Análisis.
Yo digo que el polinomio (si es en coeficientes reales) queda así: x(x-3i)(x+3i)
Habría que juntar todos los ejercicios de parciales en un solo thread, o en varios clasificados tipo "Álgebra CBC, segundo parcial", o algo así, así queda una pequeña base de datos para las futuras generaciones..
Sigan posteando ejercicios de parciales, yo este fin de semana voy a estar a full, así que prometo al menos intentar resolver todo lo que se postee, lo mismo para Análisis.
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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| JO escribió:
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Che, tenemos que aprender a usar Latex, pero bueno, por el momento me preocupa más aprender Álgebra y Análisis.
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Empecé a pasar el primer post pero me caigo de sueño y ni da seguir. Aprender Latex es fácil, parate con el cursor sobre lo que codifiqué yo, y copiá la sintaxis que te va apareciendo. Con lo que yo puse pueden reconstruir todo lo que falta; chequeen lo que puse, reconstruyan, y practiquen 
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Agus_
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 20 Abr 2008
Mensajes: 18
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Muchisimas gracias por responderme , pero queria hacerles otra consulta.....
Yo lo habia empezado a resolver , dividiendo a ambos lados por Z , entonces supuse que me quedaba algo asi:
Z^3 = -27i
y si paso esa exponencial como raiz , efectivamente me quedaria como solucion : -3i , y su conjugado 3i
pero esos pasos estan bien , o no esta permitido esos pasajes?? 
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Agus_
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 20 Abr 2008
Mensajes: 18
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No , ahora que leo bien el procedimiento que me explicaron , me doy cuenta q como lo quise plantear no es......
en si , es lo que se hace en la parte de igualar los modulos, pero solo me estoy quedando con dos soluciones , de las cuatro que puedo encontrar ,, y aunque para este ejercicio sean justo las que me sirven , si me llegan a pedir que solo saque las soluciones de Z en el parcial , iba a patinar feo , jajajaa
Gracias nuevamente y perdon , por mandar cualquiera en el otro post , jajaa
Saludos!
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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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Claro, ahí te estás perdiendo dos soluciones, además de z=0, que hay que considerarla aparte.
Yo tengo otro ejercicio, resolver este sistema:
!3z!=5
!3z-8!=5
Lo que hice fue resolver en forma binómica, armar los módulos con a y b, desarrollar algún binomio al cuadrado que me quedó en la segunda ecuación (a- , etc. y después resté las dos ecuaciones para simplificarlas, de ahí despejé a y reemplacé para hallar b, y me quedaron dos soluciones, (4/3 + i) y (4/3 - i). Pero lo que me hace pensar que está mal es que si de la primera ecuación original saco el tres y lo paso dividiendo (se puede hacer eso, ¿no?), me queda que el módulo de z es 5/3, y eso no se cumple en mis soluciones....
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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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| en la cara con antejos decía a-8, eso elevado al cuadrado.
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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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| Soy un tarado, el módulo sí da eso, ignoren todo lo que escribí.
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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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¿Y este?
z^3+iz=2z^2
Nunca hice uno así... ¿con un cambio de variable saldrá?
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-Val-
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 16 Feb 2008
Mensajes: 287
Ubicación: [inserte aqui chiste típico]
Carrera: Informática
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| JO escribió:
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¿Y este?
z^3+iz=2z^2
Nunca hice uno así... ¿con un cambio de variable saldrá?
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Podrias agrupar todo y luego sacar factor común z.
Es decir:
![[tex]z^3-2z^2+iz=0[/tex]](images/latex/454c99b156ed73ba232e14ef7b357708acf9db38_0.png "[tex]z^3-2z^2+iz=0[/tex]")
![[tex]z(z^2-2z+1)=0[/tex]](images/latex/8a37f92db712e66dcc381f85f1b4ae17bd506d96_0.png "[tex]z(z^2-2z+1)=0[/tex]")
Sabes que una solución es ![[tex]z=0[/tex]](images/latex/8ec5e56326bfb63729244c125a06b2454a8c7ec2_0.png "[tex]z=0[/tex]") y las otras dos las sacas del polinomio de grado 2 que te queda.
Edit: pasé a latex, ahora si queda lindo. Grazie Dx por el aviso, suponia algo mucho más complejo. Ya me pondre a ver el pasaje de cosas más complicadas.
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Última edición por -Val- el Sab Nov 15, 2008 7:30 pm, editado 1 vez
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Dx9
Moderador
Edad: 37
Registrado: 03 Ene 2007
Mensajes: 1552
Carrera: Informática
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| -Val- escribió:
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| JO escribió:
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¿Y este?
z^3+iz=2z^2
Nunca hice uno así... ¿con un cambio de variable saldrá?
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Podrias agrupar todo y luego sacar factor común z.
Es decir:
(z^3)-2(z^2)+iz=0
z[(z^2)-2z+1]=0
Sabes que una solución es z=0 y las otras dos las sacas del polinomio de grado 2 que te queda.
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Perdon por el OT, pero: fijense que tan facil es escribir latex, que solo necesitan agregar [/tex] al final de la ecuación, y [tex] al principio de la ecuación y listo! Acuerden de clickear en "vista preliminar" antes de postear por las dudas
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Biblioteca Apuntes
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ignis
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 02 Dic 2006
Mensajes: 488
Ubicación: down the telegraph road
Carrera: Civil
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Hola, esta respuesta es al primer post del thread, así que queda un poco colgada, pero igual la posteo porque me parece piola (sobre todo para encontrar los ![[tex]z[/tex]](images/latex/92f0f14d95ee05d626edff5beefd55475db83278_0.png "[tex]z[/tex]") que cumplen).
Sea ![[tex]\mathcal{A}=\left\{ z^4 = -27iz, \mathrm{Re \,} z = 0 \right\}[/tex]](images/latex/c9a8e2f846051eefed2aae2a3d384701f218df27_0.png "[tex]\mathcal{A}=\left\{ z^4 = -27iz, \mathrm{Re \,} z = 0 \right\}[/tex]") . Hallar un polinomio de grado mínimo, tal que los elementos de ![[tex]\mathcal{A}[/tex]](images/latex/f75306c7e482d2bffd8bf5de010fca21ef70c782_0.png "[tex]\mathcal{A}[/tex]") sean raíces de ![[tex]\mathcal{P}[/tex]](images/latex/601c25fb2e846dffdf8293863a2666bb4a9bf1af_0.png "[tex]\mathcal{P}[/tex]") .
- Encontrás todos los que pertenezcan a , resolviendo la ecuación
![[tex]z^4 = -27iz[/tex]](images/latex/422321068a439a31b2bc908a515648b3f25a2e61_0.png "[tex]z^4 = -27iz[/tex]") .
Antes de ponerte a resolverla, sin embargo, fijate que tenés la condición de que ![[tex]\mathrm{Re \,} z = 0[/tex]](images/latex/8829e3dd1109a38d2350e891d808f0b486233d7d_0.png "[tex]\mathrm{Re \,} z = 0[/tex]") . ¡Afortunadamente!, porque eso significa que ![[tex]z=bi[/tex]](images/latex/ab62d4d5904e8b8a066facdb8e7268772317aa9b_0.png "[tex]z=bi[/tex]") , valor que reemplazás en , para despejar los ![[tex]b[/tex]](images/latex/d9743ceabd07de72ebffcaa9730cfbe1226c541e_0.png "[tex]b[/tex]") que cumplan.
- La segunda parte es armarte un polinomio que tenga a esos como raíces y que sea de grado mínimo. Creo que la fórmula que te garantizaba eso era de esta pinta:
![[tex]\mathcal{P}(x)= k \left(x-x_1\right) \cdot \left(x-x_2\right) \cdots \left(x-x_n\right)[/tex]](images/latex/6bc9a42d4b7eff2119c7aa59596c299041c8757d_0.png "[tex]\mathcal{P}(x)= k \left(x-x_1\right) \cdot \left(x-x_2\right) \cdots \left(x-x_n\right)[/tex]") , donde ![[tex]x_1, x_2, \ldots, x_n[/tex]](images/latex/b0f4f860a3c4b294d950ce205fbe069cefc4cb71_0.png "[tex]x_1, x_2, \ldots, x_n[/tex]") son las raíces, y ![[tex]k[/tex]](images/latex/de61dde472a066a5b90a2ff0be7a2f756110011b_0.png "[tex]k[/tex]") es un coeficiente real que le confiere validez general a la fórmula, básicamente.
Bueno, ¡espero que te haya servido!
Saludos,
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ignis
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-Val-
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 16 Feb 2008
Mensajes: 287
Ubicación: [inserte aqui chiste típico]
Carrera: Informática
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A ver si alguien me puede orientar con este:
Hallar todas las raices de ![[tex]P(x)=x^4-4x^3+3x^2+8x-10[/tex]](images/latex/87fcb90fb33087716202faeb863d170ce8d71625_0.png "[tex]P(x)=x^4-4x^3+3x^2+8x-10[/tex]") sabiendo que la suma de sus raices reales es igual a cero.
Por el dato que me dieron asumi que alguna raiz real debia tener. Por Gauss no pude sacar ninguna (salvo que me haya equivocado en alguna cuenta). Lo siguiente que pense fue: si tiene alguna raiz compleja, el conjugado de esta tambien es raiz. Entonces supuse el caso de que tuviera dos raices reales y dos complejas.
Planteo que la suma de las raices es igual a -4 (usando la formula que relaciona los coeficientes del polinomio con las raices)
![[tex]r_1+r_2+r_3+r_4=-4[/tex]](images/latex/0ba431e2b10c36431a49db39f213d6806a92d380_0.png "[tex]r_1+r_2+r_3+r_4=-4[/tex]")
![[tex]r_1=a[/tex]](images/latex/534fb0d08b6f75f4b76b3b25fb4dd848a9f4bb60_0.png "[tex]r_1=a[/tex]")
![[tex]r_2=b[/tex]](images/latex/e3ab69f431f01058274eb9b383addb1ee535f9c3_0.png "[tex]r_2=b[/tex]")
![[tex]r_3=c+di[/tex]](images/latex/70cc3184b560eedbd9fdea3b959907ee0a8224fc_0.png "[tex]r_3=c+di[/tex]")
![[tex]r_4=c-di[/tex]](images/latex/045298c904648fbb9f120ef3e9156182707dc6e2_0.png "[tex]r_4=c-di[/tex]")
Como se que ![[tex]a+b=0[/tex]](images/latex/dab0b136ae4570bcb57be432941ccbee93321081_0.png "[tex]a+b=0[/tex]") entonces ![[tex]r_1+r_2+r_3+r_4=r_3+r_4=2c=-4[/tex]](images/latex/4750ef2944f9d4eeb6f52cf440e0a85fb5f7263a_0.png "[tex]r_1+r_2+r_3+r_4=r_3+r_4=2c=-4[/tex]") por lo tanto ![[tex]c=-2[/tex]](images/latex/e83bf505c5bc77f2fd2849f8974b8d2fcb36cb4d_0.png "[tex]c=-2[/tex]")
Dividi el polinomio por )(x-(-2-di))=x^2+4x+4+d^2[/tex]](images/latex/974f2afa7d3d7945bc4c24978ee5445f0e9afd0c_0.png "[tex](x-(-2+di))(x-(-2-di))=x^2+4x+4+d^2[/tex]")
Pero con esto no se cumple que el resto sea cero.
Probe entonces el caso de que tuviera todas las raices complejas, o una compleja multiple(con su respectivo conjugado) de forma similar pero no llegue a nada concreto.
Si alguien me ilumina o encuentra algun error, se lo agradezco.
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