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arielik
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 11 Sep 2007
Mensajes: 1234
Ubicación: Para mi siempre será San Telmo...
Carrera: Electrónica, Informática y Sistemas
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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| arielik escribió:
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Buenas, tengo un problema con este ejercicio:
![[tex] \oint_{\mid z \mid = 1} \frac{\sen{\frac{1}{z}}}{e^{\frac{1}{z}}}[/tex]](images/latex/06a1bdeb8d973eb1316fa5b7b73995943427e1d0_0.png "[tex] \oint_{\mid z \mid = 1} \frac{\sen{\frac{1}{z}}}{e^{\frac{1}{z}}}[/tex]")
Para calcularlo quise sacar el residuo en infinito, para hacerlo agrego la función ![[tex] \displaystyle \mathcal{G}_{(t)}= \frac{-1}{t^2}f_{(\frac{1}{t})}[/tex]](images/latex/625f54abbf74a443377826ec3a08900590a4ff85_0.png "[tex] \displaystyle \mathcal{G}_{(t)}= \frac{-1}{t^2}f_{(\frac{1}{t})}[/tex]") y la evalúo en 0, pero como me daba infinito saque la conclusión de que G(t) tenia un polo (simple). Entonces calcule el residuo de G(t) en t=0, eso me dio 1/2. La pregunta es, ese 1/2 es a la vez el Res. de mi f(z) en infinito, con lo que la integral me quedaría ![[tex] \displaystyle -2 \pi i \mathit{Res}_{\infty}[/tex]](images/latex/7e869f1e8d282331d9efd6008b330337b275a9c8_0.png "[tex] \displaystyle -2 \pi i \mathit{Res}_{\infty}[/tex]") . Esto esta bien ? (De ser asi la integral daría ![[tex] - \pi i[/tex]](images/latex/2126c3e88edb1a89d2799fe265fe07880f16a9c6_0.png "[tex] - \pi i[/tex]") .
Saludos,
PD: Quizá era más fácil descomponer la función, pero quiero hacerlo con este método.
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La primera parte me parece que está mal (o al menos es más complicada de lo necesario); para determinar la naturaleza de la singularidad de ![[tex]f(z)[/tex]](images/latex/c26841d08680273de3bd156265b1cbccb2108086_0.png "[tex]f(z)[/tex]") en el infinito, no tenés que mirar el comportamiento en cero de la ![[tex] \displaystyle \mathcal{G}_{(t)}[/tex]](images/latex/bc354a54510b05fdbfb73a96162c1a4fa3898433_0.png "[tex] \displaystyle \mathcal{G}_{(t)}[/tex]") que planteás, sino más bien de ![[tex]f(\frac{1}{t})[/tex]](images/latex/e04e610258e0fd24a36b0a967dc8255fe72b6146_0.png "[tex]f(\frac{1}{t})[/tex]") , es decir sin el ![[tex]-\frac{1}{t^2}[/tex]](images/latex/b28db5070ceb3a57311f86a921498ebc8400c561_0.png "[tex]-\frac{1}{t^2}[/tex]") .
Después para encontrar el residuo, sí tenés que usar la que mencionabas y efectivamente su residuo en cero es el mismo que el de en el infinito.
Para controlar, se debería cumplir que ![[tex]Res[f(z),0] = -Res[f(z),\infty][/tex]](images/latex/b369543c48847f196b0f753781c07a133a3d8a28_0.png "[tex]Res[f(z),0] = -Res[f(z),\infty][/tex]") (por que siendo numerables, la suma de los residuos en todas las singularidades debe ser cero)
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yagui
Nivel 7
Edad: 43
Registrado: 19 Feb 2006
Mensajes: 406
Ubicación: bsas
Carrera: Electrónica
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| facundo.olano escribió:
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La primera parte me parece que está mal (o al menos es más complicada de lo necesario); para determinar la naturaleza de la singularidad de en el infinito, no tenés que mirar el comportamiento en cero de la que planteás, sino más bien de , es decir sin el .
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¿En que parte quizo ver el comportamiento de f(z) en infinito?
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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| yagui escribió:
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| facundo.olano escribió:
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La primera parte me parece que está mal (o al menos es más complicada de lo necesario); para determinar la naturaleza de la singularidad de en el infinito, no tenés que mirar el comportamiento en cero de la que planteás, sino más bien de , es decir sin el .
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¿En que parte quizo ver el comportamiento de f(z) en infinito?
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Acá:
| Cita:
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para hacerlo agrego la función y la evalúo en 0, pero como me daba infinito saque la conclusión de que G(t) tenia un polo (simple)
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yagui
Nivel 7
Edad: 43
Registrado: 19 Feb 2006
Mensajes: 406
Ubicación: bsas
Carrera: Electrónica
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No, el saca la conclusión de que g(t) tiene un polo, no dice nada de f(z).
Eso esta bien, porque para conocer el residuo de g(t) es importante identificar que tipo de singularidad tiene g(t) en t=0. Lo que esta mal es que porque le da infinito dice que es polo simple. En todo caso es un posible polo y luego habra que demostrarlo.
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arielik
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 11 Sep 2007
Mensajes: 1234
Ubicación: Para mi siempre será San Telmo...
Carrera: Electrónica, Informática y Sistemas
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Claro, claro. Yo se los conté resumido muchachos. Primero probé que f(z) en 0 tiene una singularidad esencial.
Después introduje la función G(t) para calcular el residuo en infinito.
Al ver que Lim t-> 0 de G(t) me daba infinito analice el comportamiento de la función en un entorno de 0. Llegue a la conclusión de que era un polo simple.
De este modo saque el residuo en 0 de mi G(t).
La pregunta que quería hacerles es si el residuo de G(t) en t=0 es el que debo utilizar para calcular la integral, es decir si el residuo de g(t) en 0 es el de f(z) en el infinito.
Gracias y perdón por demorar tanto en contestarles 
Saludos,
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arielik
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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| arielik escribió:
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La pregunta que quería hacerles es si el residuo de G(t) en t=0 es el que debo utilizar para calcular la integral, es decir si el residuo de g(t) en 0 es el de f(z) en el infinito.
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Si.
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arielik
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 11 Sep 2007
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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facundo
chequeá que me parece que necesitás finitas singulariades para que valga q la suma de los residuos de cero.
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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Si, es así.
Donde puse "por que siendo numerables", quise decir "por que siendo finitas" (creia que eran sinónimos pero no  ).
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danie87
Nivel 5
Edad: 36
Registrado: 14 Feb 2010
Mensajes: 193
Ubicación: 34.5934°S 58.4445°W
Carrera: Informática
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| COmo le salio que es un polo simple???? para mi que el limite no existe y es esencial...
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danie87
Nivel 5
Edad: 36
Registrado: 14 Feb 2010
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Ubicación: 34.5934°S 58.4445°W
Carrera: Informática
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| danie87 escribió:
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COmo le salio que es un polo simple???? para mi que el limite no existe y es esencial...
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Me corrigo si era polo simple, pero el residuo me da 1, y no 1/2.
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