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arielik
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sebasgm
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fchouza
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El 3 sale haciendo desarrollo en serie de Laurent de f, donde te va a quedar un término 1/(z)^2, uno 1/z y el resto. Reemplazas z por la parametrización z=z0+re^(it) y dz como corresponda. Una vez hecho esto, se te van a simplificar varias cosas y vas a poder partir la integral en varias partes, repartís el límite y sale...creo que da infinito, tendría que hacer las cuentas pero no tengo ganas  .
EDIT: Estás seguro que el intervalo es [0,2PI] y no [0,2PI)?
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"Quien se arrodilla ante el hecho consumado, es incapaz de enfrentar el porvenir" L.T.
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sebasgm
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Tomá con pinzas lo que digo porque no estoy seguro, pero a mí no me parece que esa integral dé infinito. Veamos:
Estás integrando sobre una curva cerrada, si no tuvieras singularidades podrías decir por teo de Cauchy-goursat, que la integral es cero. Como te dicen que z0 es polo doble y estás integrando sobre esa curva, entiendo que ya no podés aplicar el teorema alegremente.
Entonces podrías calcular el Res(f,z0) o la Integral de Cauchy, si conocieras quién es f(z) pero no es el caso. Entonces tendrás que valerte de otra cosa, ahora bien.
![[tex]z=z_0+re^{it} \ \rightarrow \ (z-z_0)=re^{it}[/tex]](images/latex/4c3f4cd58d44df473d82721d7967b063013a86a9_0.png "[tex]z=z_0+re^{it} \ \rightarrow \ (z-z_0)=re^{it}[/tex]") Luego, haciendo la integral sobre la curva parametrizada, podés operar de la siguiente manera:
![[tex]\int f(z) dz=\int_0^{2\pi} f(re^{it}) \ ire^{it}dt=ire^{it} \int_0^{2\pi} f(re^{it})dt[/tex]](images/latex/c4beca5d206514d6b7fe803c70237fe9ae469b12_0.png "[tex]\int f(z) dz=\int_0^{2\pi} f(re^{it}) \ ire^{it}dt=ire^{it} \int_0^{2\pi} f(re^{it})dt[/tex]") Pero si tomamos el límite de esa exprsión con ![[tex]r \to 0[/tex]](images/latex/1e4bd1dacc7279713b6e212b42642616c5692f37_0.png "[tex]r \to 0[/tex]") Tenemos, ![[tex]\lim_{r \to 0} \ ire^{it} \int_0^{2\pi} f(re^{it})dt=0[/tex]](images/latex/0950f674589b2e2d343b9090ea5351da4ed9ad19_0.png "[tex]\lim_{r \to 0} \ ire^{it} \int_0^{2\pi} f(re^{it})dt=0[/tex]")
Creo que no es la única forma de verlo, pero como de las otras formas no estoy muy seguro, dejo sola esta. Si está mal corrijanlo, repito que no estoy del todo seguro si vale lo que hice.
Saludos.
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Última edición por sebasgm el Lun Nov 03, 2008 8:49 am, editado 1 vez
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fchouza
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| Y el z0 a donde lo pusiste?
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sebasgm
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Respecto del otro ítem (que ahora me lo puse a pensar, pro ya no quiero seguir editando el otro post), tampoco estoy seguro, y mucho menos sé si lo podría demostrar formalmente en cinco minutos. Pero creo que la cosa es así:
La afirmación es FALSA primero porque el infinito siempre es un punto singular de f, es decir, es un punto donde f no está definida por lo tanto va a ser un punto conflictivo, ergo afirmar que ![[tex]f(z) \ \epsilon \ H/_{z\infty}[/tex]](images/latex/a9f4cbbfa396dda092aca758a067e7cb671120d7_0.png "[tex]f(z) \ \epsilon \ H/_{z\infty}[/tex]") por como yo inerpreto la expresión, no me parece válido.
Por otro lado, ![[tex]Res(f,z\infty)=0[/tex]](images/latex/629d988583bac96094173d4099aa477fe22a0525_0.png "[tex]Res(f,z\infty)=0[/tex]") podría ser cierto tanto si f tuviera una singularidad evitable en infinito, como si tuviera un polo de orden mayor a 1, con el termino ![[tex]a_{-1}=0[/tex]](images/latex/97d40e96ccd2f7d5de6b47ffae23bb6bbb5fef3a_0.png "[tex]a_{-1}=0[/tex]") lo cual es posible.
De nuevo, chequeá lo que puse, pero puede que venga por ahí la cosa.
Saludos.
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fchouza
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Lo que yo puse en el post anterior se basa en suponer que el intervalo no es cerrado...si es cerrado, habría que ver mejor. Lo que propongo es lo siguiente:
 
PD: No me llevo con el Latex...
PD: Probablemente me haya olvidado de algo
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sebasgm
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| fchouza escribió:
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Lo que yo puse en el post anterior se basa en suponer que el intervalo no es cerrado...si es cerrado, habría que ver mejor. Lo que propongo es lo siguiente:
PD: No me llevo con el Latex...
PD: Probablemente me haya olvidado de algo
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Mmm, no sé si me queda claro lo que hiciste (lo cual no quiere decir que esté mal). Pero de todas formas para mí estamos hablando de una curva cerrada. De hecho estos problemas siempre están planteados de esa forma.
De todos modos esperemos a recibir alguna "tercera" opinión, no creo que pueda darme cuenta de mucho más de lo que ya posteé hasta que alguien me diga exactamente dónde estoy equivocado, si es que estoy equivocado.
Saludos.
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arielik
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fchouza
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| arielik escribió:
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mm.. Lo que plantea fchouz esta bien (a mi parecer), si tengo un polo de orden dos voy puedo hacer un desarrollo en Serie de Laurent en el entorno ![[tex]0 \< \mid z- z_0\mid \<re> 2\pi[/tex]](images/latex/b403aee452b5c6cccad7611fcad1ca9051e1a8ea_0.png "[tex]0 \< \mid z- z_0\mid \<re> 2\pi[/tex]")
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sea abierto en uno de sus extremos!!!.
\mod(sebasgm): Hice una correción en tu post y borré el repetido, pero no se sí entendí bien lo que quisiste quotear, no uso tag de moderación así podés aditar vos como quieras, si es que entnedí mal.
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fchouza
Nivel 9
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| La integral de la serie de 0 a infinito no importa mucho porque está multiplicada por r...mientras no de infinito...se va a 0. Lo importante para la demostración que puse es que el intervalo 0-> 2PI sea abierto en uno de sus extremos!!!.
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sebasgm
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facundo.olano
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| sebasgm escribió:
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Respecto del otro ítem (que ahora me lo puse a pensar, pro ya no quiero seguir editando el otro post), tampoco estoy seguro, y mucho menos sé si lo podría demostrar formalmente en cinco minutos. Pero creo que la cosa es así:
La afirmación es FALSA primero porque el infinito siempre es un punto singular de f, es decir, es un punto donde f no está definida por lo tanto va a ser un punto conflictivo, ergo afirmar que por como yo inerpreto la expresión, no me parece válido.
Por otro lado, podría ser cierto tanto si f tuviera una singularidad evitable en infinito, como si tuviera un polo de orden mayor a 1, con el termino lo cual es posible.
De nuevo, chequeá lo que puse, pero puede que venga por ahí la cosa.
Saludos.
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Ojo acá Sebas, algunas de esas afirmaciones estoy casi seguro de que son incorrectas.
El infinito no es siempre un punto singular. Lo que podés afirmar es que en el infinito el comportamiento de la función es el mismo que el que tiene ![[tex]f(1/z)[/tex]](images/latex/0500e4d46e38589a9f5e8c6d71bc46655c45b4a1_0.png "[tex]f(1/z)[/tex]") en cero. Si bien no estoy cien por ciento seguro de que libertades te podés tomar en cuanto a la simplificación de términos cuando hacés ese reemplazo por ![[tex]1/z[/tex]](images/latex/9f437f545c82f0f12301486cce8fbd5382ac846e_0.png "[tex]1/z[/tex]") , por lo menos si considerás una función constante, en el infinito de seguro que no tiene singularidad.
De lo que si estoy seguro es que el residuo en el infinito no sigue las mismas "reglas" que en el resto del plano complejo. Lo que quiero decir es que puede no haber singularidad en el infinito y sí haber residuo y viceversa. Las dos cosas que si valen (en particular creo que la segunda puede ser útil en este caso, pero no entiendo del todo el enunciado, dice que f es holomorfa para todo z?) son :
1. ![[tex]F(w):=f(1/w) \Rightarrow Res\left[f(z);\infty\right]=Res\left[-\frac{1}{w^{2}}F(w);0\right][/tex]](images/latex/6ddbf45260e3adf94e38974bec8b3692bd961441_0.png "[tex]F(w):=f(1/w) \Rightarrow Res\left[f(z);\infty\right]=Res\left[-\frac{1}{w^{2}}F(w);0\right][/tex]")
2. Si las singularidades de f en el plano complejo son finitas y aisladas, entonces el residuo en el infinito es la suma de los residuos en todo el plano complejo (o bien, la suma de los residuos de una función en el plano extendido debe ser cero). En particular, si f es entera entonces el residuo en el infinito es nulo.
Todo esto está bien detallado en el Wunsch (en la versión que hay en la biblioteca, tengo un pdf en inglés en el que no lo encontré, capaz se dieron cuenta que estab mal  ).
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arielik
Nivel 9
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| El límite de la integral que aparece en T3 es cero. La curva sobre la que se está integrando es una circunsferencia centrada en z_0 de radio r recorrida en sentido antihorario. Si se toma r suficientemente chico, digamos r<r_0, la única singularidad en el interior del disco de radio r es z_0 (se supone que z_0 es aislada porque es polo). Por lo tanto, si llamamos I(r) a la integral, tenemos que I(r)=2pi i Res(f,z_0)=0 para 0<r<r_0, porque el residuo es nulo, ya que z_0 es polo de orden 2. Entonces el límite es cero.
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![[tex]0 \< \mid z- z_0\mid \< re^{it}[/tex]](images/latex/08bd9bfbb8d7036caceb5833d61bf3b21e078040_0.png "[tex]0 \< \mid z- z_0\mid \< re^{it}[/tex]")
, despues puedo descomponer la integral en la serie como hizo él. Lo unico que no se si esta bien es que pones que la integral para la serie desde 0 a infinito te da distinto a cero, en ese caso no seria 0 ya que en ese entorno no poseo ninguna singlaridad y por Cauchy-Goursat la integral me da 0 ¿?
![[tex]t \ \epsilon [0, 2\pi) [/tex]](images/latex/918b62ebc241fa011009d89711712afd81e1b6c0_0.png "[tex]t \ \epsilon [0, 2\pi) [/tex]")
No quiere decir que el intervalo sea abierto, es solo que 0 y ![[tex]2\pi[/tex]](images/latex/fb54408201a51ac17484f390075f878f8f12bf85_0.png "[tex]2\pi[/tex]")
representan el mismo punto del plano, por eso no se escribe como un intervalo cerrado, sería escribir dos veces el mismo punto. Es una cuestión de notación.![[tex][0,2\pi][/tex]](images/latex/8e2e82da5e45776ef38dd6bb6070acffcbf8ff9c_0.png "[tex][0,2\pi][/tex]")
puede ser con )