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Mensaje |
Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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Bueno, en primer lugar, felicitar a Fhran por el estreno triunfal del sistema de ![[tex] $\LaTeX$ [/tex]](images/latex/c63687fd06b0fa9e0c9cfa7448f22c8d52637481_0.png "[tex] $\LaTeX$ [/tex]") .
Hago una corrección de cómo usó él la herramienta y sugiero una manera que me parece más sencilla y razonable en cuanto al uso de las fórmulas:
http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=902
| Fhran escribió:
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Les dejo el enunciado del examen que me tomaron hoy 21/02/06, a las 10:00 a.m:
![[tex] \mathbf{1} \mbox{. Sea } \mathit{f(z)} \mbox{ analítica tal que } \mathit{f(z) = f(z+a)} \mbox{ y } \mathit{f(z) = f(z + ib)} \mbox{ donde } a,b>0 \mbox{. Probar que } \mathit{f(z)} \mbox{ es constante.}[/tex]](images/latex/604730d8fb6ff391f64c605de82527c28a99346c_0.png "[tex] \mathbf{1} \mbox{. Sea } \mathit{f(z)} \mbox{ analítica tal que } \mathit{f(z) = f(z+a)} \mbox{ y } \mathit{f(z) = f(z + ib)} \mbox{ donde } a,b>0 \mbox{. Probar que } \mathit{f(z)} \mbox{ es constante.}[/tex]")
![[tex] \mathbf{2} \mbox{. Sea } \mathit{f}:[-\pi,\pi] \rightarrow \mathbf{R} \mbox{ derivable en } [-\pi,\pi] \mbox{, } \mathit{f}(-\pi)=\mathit{f}(\pi) \mbox{, } \mathit{f}' \mbox{ y } \mathit{f}'' \mbox{ continuas a trozos con discontinuidades de salto. Mostrar que: }[/tex]](images/latex/9657d3761eba9fe2dd80c90cf0abbc8330e46f8e_0.png "[tex] \mathbf{2} \mbox{. Sea } \mathit{f}:[-\pi,\pi] \rightarrow \mathbf{R} \mbox{ derivable en } [-\pi,\pi] \mbox{, } \mathit{f}(-\pi)=\mathit{f}(\pi) \mbox{, } \mathit{f}' \mbox{ y } \mathit{f}'' \mbox{ continuas a trozos con discontinuidades de salto. Mostrar que: }[/tex]")
![[tex] \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \mid \mathit{f}'(x) \mid_{2} dx = \sum_{n=1}^{\infty} n^2(a_n^2+b_n^2))[/tex]](images/latex/c8c58cc8a3f129bef744144316b2a4ef7620f9d8_0.png "[tex] \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \mid \mathit{f}'(x) \mid_{2} dx = \sum_{n=1}^{\infty} n^2(a_n^2+b_n^2))[/tex]")
![[tex] \mbox{ con } a_n \mbox{ y } b_n \mbox{ los coeficientes de Fourier de } \mathit{f} .[/tex]](images/latex/51c009199165c4e31b0ba0cb3d000e35efc91a7d_0.png "[tex] \mbox{ con } a_n \mbox{ y } b_n \mbox{ los coeficientes de Fourier de } \mathit{f} .[/tex]")
![[tex] \mathbf{3} \mbox{. La ecuación diferencial: } y''' + (1 + a) y'' + a(a+1)y' + a^2y = x \qquad \qquad \mbox{, } (y=y(t) \mbox{, } x=x(t)\mbox{, }a= \mbox{constante}) \mbox{ modela un sistema LTI causal cuya respuesta impulsiva es }h(t) \mbox{ (condiciones iniciales nulas). Si } g(t) = h'(t) + h(t) \mbox{ :}[/tex]](images/latex/540b6ede6dc9ae2069a302158f98c4c2de9808d0_0.png "[tex] \mathbf{3} \mbox{. La ecuación diferencial: } y''' + (1 + a) y'' + a(a+1)y' + a^2y = x \qquad \qquad \mbox{, } (y=y(t) \mbox{, } x=x(t)\mbox{, }a= \mbox{constante}) \mbox{ modela un sistema LTI causal cuya respuesta impulsiva es }h(t) \mbox{ (condiciones iniciales nulas). Si } g(t) = h'(t) + h(t) \mbox{ :}[/tex]")
![[tex] \mathbf{a)} \mbox{ Determinar cuántos polos tiene } G(s).[/tex]](images/latex/bffb7035586cf6e4ddab19347a48a7c1893d7b7e_0.png "[tex] \mathbf{a)} \mbox{ Determinar cuántos polos tiene } G(s).[/tex]")
![[tex] \mathbf{b)} \mbox{ ¿Para qué valores de } a \in \mathbf{R} \mbox{ el sistema resulta estable?} \quad (y(t) \rightarrow 0 \mbox{ cuando } t \rightarrow + \infty[/tex]](images/latex/ce2fcdb1f6c4df51fdac5d14c1868b23c2ae1b28_0.png "[tex] \mathbf{b)} \mbox{ ¿Para qué valores de } a \in \mathbf{R} \mbox{ el sistema resulta estable?} \quad (y(t) \rightarrow 0 \mbox{ cuando } t \rightarrow + \infty[/tex]")
![[tex] \mathbf{4} \mbox{. Sea } f \in L^2( \mathbf{R} ). \mbox{ Demostrar:} [/tex]](images/latex/7951b43c2a350388b81766491df9f3f326384326_0.png "[tex] \mathbf{4} \mbox{. Sea } f \in L^2( \mathbf{R} ). \mbox{ Demostrar:} [/tex]")
![[tex] \mathbf{a)} \mathcal{F} \lbrack tf(t) \rbrack = i(\stackrel{f}{\wedge})'[/tex]](images/latex/478f57c6df86730f67757bb5ee247cd6f6f7c55b_0.png "[tex] \mathbf{a)} \mathcal{F} \lbrack tf(t) \rbrack = i(\stackrel{f}{\wedge})'[/tex]")
![[tex] \mathbf{b)} \mathcal{F} \lbrack \stackrel{f}{\wedge} \rbrack = 2\pi f(-t)[/tex]](images/latex/5b364a206bc1d2f2b47f17de0cf86bdb4200424a_0.png "[tex] \mathbf{b)} \mathcal{F} \lbrack \stackrel{f}{\wedge} \rbrack = 2\pi f(-t)[/tex]")
![[tex] \mathbf{c)} \mbox{ Hallar i) } \mathcal{F} \lbrack t e^{-\mid t \mid} \rbrack \mbox{, ii) } \mathcal{F} \lbrack \frac{4t}{(1+t^2)^2} \rbrack \mbox{, iii) } \int_{\mathbf{R}} \frac{dt}{(1+t^2)^2} \mbox{, mencionando en cada caso las propiedades usadas.}[/tex]](images/latex/777ead00bc27e81bbe26f0d94a3c1653fa305e81_0.png "[tex] \mathbf{c)} \mbox{ Hallar i) } \mathcal{F} \lbrack t e^{-\mid t \mid} \rbrack \mbox{, ii) } \mathcal{F} \lbrack \frac{4t}{(1+t^2)^2} \rbrack \mbox{, iii) } \int_{\mathbf{R}} \frac{dt}{(1+t^2)^2} \mbox{, mencionando en cada caso las propiedades usadas.}[/tex]")
![[tex] (\mbox{Nota } \mathcal{F} \lbrack e^{-\mid t \mid} \rbrack = \frac{2}{1+ \omega^2})[/tex]](images/latex/a20b1384ae56ea395b4d95372d07a89c5bd1cb41_0.png "[tex] (\mbox{Nota } \mathcal{F} \lbrack e^{-\mid t \mid} \rbrack = \frac{2}{1+ \omega^2})[/tex]")
![[tex] \mathbf{4} \mbox{. Dada la ecuación en diferencias: } y(n) + \frac{1}{4} y(n-1) - \frac{1}{8} y(n-2) = x(n) \mbox{ hallar la función de transferencia del sistema LTI causal. Dar la ROC y la respuesta impulsiva. Enunciar las propiedades que se usen.}[/tex]](images/latex/22378157dabeb63012e1ec296747f24ce514c117_0.png "[tex] \mathbf{4} \mbox{. Dada la ecuación en diferencias: } y(n) + \frac{1}{4} y(n-1) - \frac{1}{8} y(n-2) = x(n) \mbox{ hallar la función de transferencia del sistema LTI causal. Dar la ROC y la respuesta impulsiva. Enunciar las propiedades que se usen.}[/tex]")
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Yo lo hubiera escrito de esta manera, me parece que se hace más facil de tipear y más sencillo de ver también:
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- Sea
![[tex]f(z)[/tex]](images/latex/c26841d08680273de3bd156265b1cbccb2108086_0.png "[tex]f(z)[/tex]") analítica tal que ![[tex]f(x) = f(z + a)[/tex]](images/latex/2eb51da1eb3db71ca37c7d30963e12bf3ac8c4ad_0.png "[tex]f(x) = f(z + a)[/tex]") y ![[tex]f(z) = f(z + ib)[/tex]](images/latex/539a1d3233ad8bbe28adfeca2fc4d18cbf42513f_0.png "[tex]f(z) = f(z + ib)[/tex]") donde ![[tex]a,b > 0[/tex]](images/latex/9a972938a2e7604e085eb26d5cf5bc33181550b9_0.png "[tex]a,b > 0[/tex]") . Probar que es constante.
- Sea
![[tex]f\colon [-\pi, \pi] \mapsto \mathbf R[/tex]](images/latex/7a5d01d934fa0f61e7a184f34f0cff29582cb565_0.png "[tex]f\colon [-\pi, \pi] \mapsto \mathbf R[/tex]") derivable en ![[tex][-\pi, \pi], f(-\pi) = f(\pi)[/tex]](images/latex/5c9d862864ca9452f296ea2e65f0e7555bedc74d_0.png "[tex][-\pi, \pi], f(-\pi) = f(\pi)[/tex]") , ![[tex]f'[/tex]](images/latex/8a03bb4188b265c248a71cccde2ce91677c6f966_0.png "[tex]f'[/tex]") y ![[tex]f''[/tex]](images/latex/98fb995c9b7b60dfdb47284102de3efca17c1583_0.png "[tex]f''[/tex]") continuas a trozos con discontinuidades de salto. Mostrar que:
![[tex]\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi |f'(x)|_2 \,dx = \sum_{n = 1}^\infty n^2 (a_n^2 + b_n^2)[/tex]](images/latex/e741e1e3a50076e298c96372c2819e43c61e604a_0.png "[tex]\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi |f'(x)|_2 \,dx = \sum_{n = 1}^\infty n^2 (a_n^2 + b_n^2)[/tex]")
con ![[tex]a_n[/tex]](images/latex/84c73ddd07414ee9575e3dded97158a88d3881d0_0.png "[tex]a_n[/tex]") y ![[tex]b_n[/tex]](images/latex/11dd6f5bbf72bebb35ca8d62a3250ef819702b75_0.png "[tex]b_n[/tex]") los coeficientes de Fourier de ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") .
- ...
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Fuente:
| Código:
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[list=1][*]Sea [tex]f(z)[/tex] analítica tal que [tex]f(x) = f(z + a)[/tex] y [tex]f(z) = f(z + ib)[/tex] donde [tex]a,b > 0[/tex]. Probar que [tex]f(z)[/tex] es constante.
[*]Sea [tex]f\colon [-\pi, \pi] \mapsto \mathbf R[/tex] derivable en [tex][-\pi, \pi], f(-\pi) = f(\pi)[/tex], [tex]f'[/tex] y [tex]f''[/tex] continuas a trozos con discontinuidades de salto. Mostrar que:
[tex]\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi |f'(x)|_2 \,dx = \sum_{n = 1}^\infty n^2 (a_n^2 + b_n^2)[/tex]
con [tex]a_n[/tex] y [tex]b_n[/tex] los coeficientes de Fourier de [tex]f[/tex].
[*]...[/list]
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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Agrego otra:
| Fhran escribió:
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Con respecto a esto:
- Usar mathcal para la F está perfecto.
- Para hacer el sombrerito no conviene usar \stackrel (que, además quedó al revés), sino \widehat que es exactamente para eso.
Quedaría:
![[tex]\mathcal F [ t\,f(t) ] = i \left( \widehat f \right)'[/tex]](images/latex/ef6c100de4ba72d7c8d3617b999f92257f04aa2e_0.png "[tex]\mathcal F [ t\,f(t) ] = i \left( \widehat f \right)'[/tex]")
| Código:
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[tex]\mathcal F [ t\,f(t) ] = i \left( \widehat f \right)'[/tex]
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Última edición por Sebastian Santisi el Mie Feb 22, 2006 11:02 am, editado 1 vez
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Fhran
Administrador
Edad: 39
Registrado: 25 Ago 2005
Mensajes: 3123
Ubicación: En la rama de un árbol... entre locos.
Carrera: Electrónica y Informática
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| Sebastian Santisi escribió:
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Para hacer el sombrerito no conviene usar \stackrel (que, además quedó al revés), sino \widehat que es exactamente para eso.
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¿\widehat esta documentada?
La busque y me sorprendio no encontrarla... por eso recurri al \stackrel...
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El horóscopo del ingeniero es un poco más amplio. Se compone de Amor, Dinero, Salud, Simetría y Linealidad Causa-Efecto.
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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| Fhran escribió:
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¿\widehat esta documentada?
La busque y me sorprendio no encontrarla... por eso recurri al \stackrel...
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Todas las cosas que sean chirimbolos varios sobre el texto están documentadas en el ítem Modificadores de Caracteres del capítulo (3) Texto.
Lo único referido a Fourier que no existe en la versión base de es un \widecheck; o sea, no hay forma de hacer el simbolito de la antitransformada como un sombrerito dado vuelta.
Ya que estamos te hago otra corrección que la vi más tarde:
| Fhran escribió:
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![[tex]\mbox{ii) } \mathcal{F} \lbrack \frac{4t}{(1+t^2)^2} \rbrack[/tex]](images/latex/ff90ead87d0894293d3da7b74c8396e22fda9f7a_0.png "[tex]\mbox{ii) } \mathcal{F} \lbrack \frac{4t}{(1+t^2)^2} \rbrack[/tex]")
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Cuando se tienen fórmulas que uno sabe que van a ocupar más que la altura común de las llaves, hay que fijar a las mismas como si fueran Delimitadores; i.e.:
![[tex]\mathcal{F} \left[ \frac{4t}{\left( 1+t^2 \right)^2} \right][/tex]](images/latex/6c44107fee51e3b3afee943e9df15b844144fb31_0.png "[tex]\mathcal{F} \left[ \frac{4t}{\left( 1+t^2 \right)^2} \right][/tex]")
| Código:
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[tex]\mathcal{F} \left[ \frac{4t}{\left( 1+t^2 \right)^2} \right][/tex]
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(Notarlo no sólo en los corchetes de la transformada sino, también, en la alineación del cuadrado del dividendo de la fracción.)
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