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agus7799
Nivel 3
Registrado: 17 Dic 2007
Mensajes: 32
Carrera: Química
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como hago para obtener la ecuacion si me dan los generadores?
por ej:
S=gen{ (-2 1 0 0 ) (-1 0 1 0 ) (0 0 0 -1) }
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Malena Miguel
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 13 Jul 2008
Mensajes: 690
Ubicación: sulla frontiera
Carrera: Civil
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Armás matriz
-2 -1 0 | x1
1 0 0 | x2
0 1 0 | x3
0 0 -1 | x4
triangulás y una fila te va a quedarr todo 0 del lado izquierdo. Lo que tengas del lado derecho en ESA fila es la ecuación.
En este caso x1 + 2x2 +x3
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100% ingeniera
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Moises
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 727
Carrera: No especificada
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Otra forma que tienes es hacer S ortogonal, y el ortogonal a S ortogonal.
Entonces, pones esos en una matriz, triangulas. Despejas.
A lo que te quede, "es tu ecuación" lo pones en una matriz y vuelves a despejar y llegas a lo mismo.
(tu matriz...)
-a + c = 0
-2a + b = 0
-d = 0
Despejando...
D=0
c=a
b = 2a
En un vectorcito... (a,2a,a,0)..... a(1,2,1,0) <-- tu ecuación
a + 2b +c = 0 (pruebas los 3 cosos de la matriz, la cumplen.
Y si despejas esa ultima, vuelves a los vectorcitos originales...
__________
ja, me costo acordarme, tuve que hacerla a mano....
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Última edición por Moises el Vie Oct 10, 2008 1:20 pm, editado 1 vez
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eze
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 23 May 2006
Mensajes: 505
Ubicación: Florencio Varela
Carrera: Electricista
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lo que dijo malena esta bien, pero primero debes mirar algunas cosas.
Son vectores de R 4, son LI y por lo tanto S tiene dimension 3. Con lo cual necesitas una sola ecuacion de 4 incognitas (porque te da un subespacio de dimension 3). Podes hacer lo que dijo malena o plantear una ecuacion generica: aX1+bX2+cX3+dX4=0 y evaluarla en los vectores generadores:
-2a+b=0
-a+c=0
d=0
Ese sistema se resuelve y sale b=2a y c=a, con lo cual reemplazando en la ecuacion te queda:
aX1+2aX2+aX3=0, o lo que es lo mismo X1+2X2+X3=0
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No siento más que desprecio
por esos que no hacen nada,
y se complacen tan necios
en criticar mi jugada.
¿Que son la LES, la CONEAU y el PROMEI?
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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El método que te mostró malena es el óptimo y más estandar en estos casos. Pero son importantes las consideraciones que hizo eze. Uno puede saber de antemano qué debería obtener como resultado de "la cuenta". Tener en cuenta las dimensiones de los espacios vectoriales y los subespacios con los uqe se trabaja, es importante para tener noción de la "dimensión" de lo que estoy buscando.
Ahondando un poco más, la ecuación uque encontrás en el método que te planteó malena, es la "condicion" que debe cumplir tu subespacio, es decir, esa matriz sale de hacer una combinación lineal de tus generadores iguallados a un vector genérico. Luego, aquellos que verifiquen la ecuación que te queda después de triangular, son todos los vectores que verifican la combinación lineal y por lo tanto pertenecen a S.
Por otro lado, Moises, no entendí lo que dijiste. Osea, si está bien, es por lo menos confuso. Pero no sé si está bien...
| Moises escribió:
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Otra forma que tienes es hacer S ortogonal, y el ortogonal a S ortogonal.
Entonces, pones esos en una matriz, triangulas. Despejas.
A lo que te quede, "es tu ecuación" lo pones en una matriz y vuelves a despejar y llegas a lo mismo.
(tu matriz...)
-a + c = 0
-2a + b = 0
-d = 0
Despejando...
D=0
c=a
b = 2a
En un vectorcito... (a,2a,a,0)..... a(1,2,1,0) <-- tu ecuación
a + 2b +c = 0 (pruebas los 3 cosos de la matriz, la cumplen.
Y si despejas esa ultima, vuelves a los vectorcitos originales...
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si saco S ortogonal, y luego el ortogonal a "S ortogonal" vuelvo a tener S. por si no se entendió, volvés a estar en el principio, para eso no hago nada...
Obtengo "S" dado como? como ecuacion, como generadores?
Luego armo una matriz con que? con la filas, con las columnas? De donde sale la cuenta, que significa?
Perdon, pero no lo veo.
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Moises
Nivel 8
Edad: 35
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 727
Carrera: No especificada
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| sebasgm escribió:
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si saco S ortogonal, y luego el ortogonal a "S ortogonal" vuelvo a tener S. por si no se entendió, volvés a estar en el principio, para eso no hago nada...
Obtengo "S" dado como? como ecuacion, como generadores?
Luego armo una matriz con que? con la filas, con las columnas? De donde sale la cuenta, que significa?
Perdon, pero no lo veo.
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Revisa mis cuentas, por ahí no lo exprese correctamente, pero las cuentas valen.
te tienes que quedar "un pasito antes" de hacer el segundo ortogonal, ja.
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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UNA TECNICALIDAD (o no tan tecnicalidad...)
Sebasgm, decís "si saco S ortogonal, y luego el ortogonal a "S ortogonal" vuelvo a tener S".
OJO. ESO NO ES VERDAD.
por notacion, pongamos *=ortogonal.
entonces vale (S*)* = S sí y sólo si S es un subespacio. Si S no es un subespacio, en general (S*)* es DISTINTO DE S.
con respecto a como sacar las ecuaciones:
la forma que dice eze es piola, y muy racional. yo haría esa.
tecnicamente, la cosa es más o menos así: ponele q estás en un espacio de dimension N. Entonces un subespacio S de dimensión r es intersección de N-r hiperplanos.
(un hiperplano es un subespacio de dimension N-1)
Pero justamente, los hiperplanos son nucleos de elementos del dual de V, es decir, lo shiperplanos son justamente NUCLEOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES DE V EN K (K es el cuerpo).
en este caso, como dim S= 4-1 = 3, S es el nucleo de 1 transformacion lineal de V en R. O sea, tenés UNA ecuación.
Si por ejemplo, dim S = 2, S sería la interseccion de 4-2=2 hiperplanos, o sea, sería la interseccion delos nucleos de 2 tls al cuerpo, o sea, tendrías 2 ecuaciones.
El planteo es igual: planteas las 2 ecuaciones genericas {correspondientes a las 2 tls) y pedis q se anulen en los generadores de S (o sea, que S esté en la intersección de los nucleos}.
saludos
m.
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4WD
Administrador
Edad: 39
Registrado: 07 Sep 2006
Mensajes: 2430
Ubicación: Ingeniero
Carrera: Mecánica
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| manuco escribió:
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entonces vale (S*)* = S sí y sólo si S es un subespacio. Si S no es un subespacio, en general (S*)* es DISTINTO DE S.
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En Ingeniería siempre se ven sub-espacios. No hay nada fuera de eso. Así que, para Álgebra II sería un siempre...
| manuco escribió:
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Pero justamente, los hiperplanos son nucleos de elementos del dual de V
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 En Ingeniería no se ve espacio dual. Eso se da en Álgebra Lineal de exactas, pero no en ingeniería...
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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| manuco escribió:
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UNA TECNICALIDAD (o no tan tecnicalidad...)
Sebasgm, decís "si saco S ortogonal, y luego el ortogonal a "S ortogonal" vuelvo a tener S".
OJO. ESO NO ES VERDAD.
por notacion, pongamos *=ortogonal.
entonces vale (S*)* = S sí y sólo si S es un subespacio. Si S no es un subespacio, en general (S*)* es DISTINTO DE S.
con respecto a como sacar las ecuaciones:
la forma que dice eze es piola, y muy racional. yo haría esa.
tecnicamente, la cosa es más o menos así: ponele q estás en un espacio de dimension N. Entonces un subespacio S de dimensión r es intersección de N-r hiperplanos.
(un hiperplano es un subespacio de dimension N-1)
Pero justamente, los hiperplanos son nucleos de elementos del dual de V, es decir, lo shiperplanos son justamente NUCLEOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES DE V EN K (K es el cuerpo).
en este caso, como dim S= 4-1 = 3, S es el nucleo de 1 transformacion lineal de V en R. O sea, tenés UNA ecuación.
Si por ejemplo, dim S = 2, S sería la interseccion de 4-2=2 hiperplanos, o sea, sería la interseccion delos nucleos de 2 tls al cuerpo, o sea, tendrías 2 ecuaciones.
El planteo es igual: planteas las 2 ecuaciones genericas {correspondientes a las 2 tls) y pedis q se anulen en los generadores de S (o sea, que S esté en la intersección de los nucleos}.
saludos
m.
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Bueno, muy interesante lo que comentás. No sé si todo me quedó cuper claro pero al menos me enteré de que (S*)* No siempre es S. Si S no es subespacio, cosa que jamás me había planteado porque son las únicas con las que trabajamos nosotros como te comentó 4WD. Solo por curiosidad ¿Sos de Exactas? ¿Sos Profesor o profesora de acá o de allá? (Está última, sobre todo si sos de FIUBA, no creo que la respondás  ). No, en serio, podrías ser simplemente un alumno cualquiera que leyó de Algebra un poco más que yo, pero me resultó raro el comentario (si te presentaste y me saltee el topic, perdon).
Saludos y gracias por el aporte.
PD: Y que bueno que lo dije sigue valiendo paral a matemática que conocemos la mayoría de los que frecuentamos este foro, porque cuando empecé a leerte casi me corto las venas, jejeje.
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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sebas
Sea A un conjunto no vacío en un espacio vectorial V de dimension finita.
A*={v en V / <v>=0 para todo a en A}
Como <o> = <0> = 0·<a> = 0 para todo a en A, 0 está en A*.
Al ser <,> bilineal, se sigue que culquier combienacion lineal de cosas de A* está de nuevo en A*, con lo que A* ES UN SUBESPACIO VECTORIAL DE V, sin importar qué estructura tenga A.
Ahora aplicamos * OTRA VEZ a A*. Entonces, tenemos que (A*)* es un subespacio, pero no podemos decir nada con respecto al A original.
Si originalmente A era un subespacio, entonces A = (A*)*, porque fijate:
por definición,
(A*)*={v en V / <v>=0 para todo b en A*}
Entonces, si tomamos un bichito a de A y un bichito b de A*, tenemos
<a>= 0 pues a está en A y b está en A*; pero esto vale para todo b en A*, luego, deducimos que A está incluído en (A*)*.
LA otra inclusión sale si A es un subespacio: podés usar argumentos de dimensión, una vez q probás que
dim S* = dimV-dimS {DONDE S ES UN SUBESPACIO DE V} .
El argumento es "A está incluído en (A*)* y como son subespacios de la misma dimension, tienen q ser iguales."
También sale a manopla, me parece.
Un ejemplo donde no se cumple: ponele, sea P un plano en R3, paralelo al plano xy, que pasa por el punto (0,0,1).
Ahí, P* = {eje y}, pero cuando volvés a tomar * obtenés
(P*)*={eje y}*= PLANO XY, que es distinto al plano P.
O también, una forma catgórica de verlo: como (P*)* es un subespacio, el 0 de r3 está en (P*)*, pero el 0 de r3 no está en P. listo.
con respecto a las ecuaciones: pensar en una ecuacion lineal de N variables como una transformacion lineal de RN en R, es muy piola. En ese contexto, las soluciones a tu ecuacion son el nucleo de una tl, y podés usar la teoría q sabes de las tl.
cuando tenés dos ecuaciones de N incógnitas, y queres buscar q vectores cumplen esas dos ecuaciones, es
buscar los q cumplen la primera
Y
buscar los que cumplen la segunda;
o sea
los que están en el nucleo de la primer tl
Y
los que están en el nucleo de la segunda,
o sea, la interseccion de los nucleos.
saludos
m.
pd: de hecho, usando este tipo de argumentos (i.e. "el dual") se puede demostrar que una matriz es definida positiva si todos sus menores principales son positivos, hecho que en gral se admite sin demostracion o se aguarda hasta autovalores.
pd: usando dual, podés definir producto vectorial en Rn, para n arbitrario. si querés leer un poco más al respecto, te recomiendo
http://www.impa.br/opencms/pt/publicacoes/colecao_matematica_universitaria/livro_algebra_exterior/index.html
(o livro máis grande do mundo)
pd: ah, otra cosa... "en ingeniería siempre son subespacios" no es enteramente cierto.
ponele, en analisis dos, un plano que pasa por un punto (xo,yo,zo) no nulo, no es un subespacio. las restas que no pasan por el origen, no son un subespacio.
otro ejempli, si tenés una transformacion lineal T:V-->W, la preimagen a través de T un w perteneciente a W no es un subespacio, o sea
{ v en V / T(v)=w} no es en general un subespacio. y de hecho, eso aparece mucho en los parciales: "halle todos los f en V tal que T(f) =w, etc".
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sebasgm
Moderador
Edad: 38
Registrado: 07 Jul 2006
Mensajes: 2434
Ubicación: Parque Chacabuco
Carrera: Electrónica
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| manuco escribió:
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sebas
Sea A un conjunto no vacío en un espacio vectorial V de dimension finita.
A*={v en V / <v>=0 para todo a en A}
Como <o> = <0> = 0·<a> = 0 para todo a en A, 0 está en A*.
Al ser <,> bilineal, se sigue que culquier combienacion lineal de cosas de A* está de nuevo en A*, con lo que A* ES UN SUBESPACIO VECTORIAL DE V, sin importar qué estructura tenga A.
Ahora aplicamos * OTRA VEZ a A*. Entonces, tenemos que (A*)* es un subespacio, pero no podemos decir nada con respecto al A original.
Si originalmente A era un subespacio, entonces A = (A*)*, porque fijate:
por definición,
(A*)*={v en V / <v>=0 para todo b en A*}
Entonces, si tomamos un bichito a de A y un bichito b de A*, tenemos
<a>= 0 pues a está en A y b está en A*; pero esto vale para todo b en A*, luego, deducimos que A está incluído en (A*)*.
LA otra inclusión sale si A es un subespacio: podés usar argumentos de dimensión, una vez q probás que
dim S* = dimV-dimS {DONDE S ES UN SUBESPACIO DE V} .
El argumento es "A está incluído en (A*)* y como son subespacios de la misma dimension, tienen q ser iguales."
También sale a manopla, me parece.
Un ejemplo donde no se cumple: ponele, sea P un plano en R3, paralelo al plano xy, que pasa por el punto (0,0,1).
Ahí, P* = {eje y}, pero cuando volvés a tomar * obtenés
(P*)*={eje y}*= PLANO XY, que es distinto al plano P.
O también, una forma catgórica de verlo: como (P*)* es un subespacio, el 0 de r3 está en (P*)*, pero el 0 de r3 no está en P. listo.
con respecto a las ecuaciones: pensar en una ecuacion lineal de N variables como una transformacion lineal de RN en R, es muy piola. En ese contexto, las soluciones a tu ecuacion son el nucleo de una tl, y podés usar la teoría q sabes de las tl.
cuando tenés dos ecuaciones de N incógnitas, y queres buscar q vectores cumplen esas dos ecuaciones, es
buscar los q cumplen la primera
Y
buscar los que cumplen la segunda;
o sea
los que están en el nucleo de la primer tl
Y
los que están en el nucleo de la segunda,
o sea, la interseccion de los nucleos.
saludos
m.
pd: de hecho, usando este tipo de argumentos (i.e. "el dual") se puede demostrar que una matriz es definida positiva si todos sus menores principales son positivos, hecho que en gral se admite sin demostracion o se aguarda hasta autovalores.
pd: usando dual, podés definir producto vectorial en Rn, para n arbitrario. si querés leer un poco más al respecto, te recomiendo
http://www.impa.br/opencms/pt/publicacoes/colecao_matematica_universitaria/livro_algebra_exterior/index.html
(o livro máis grande do mundo)
pd: ah, otra cosa... "en ingeniería siempre son subespacios" no es enteramente cierto.
ponele, en analisis dos, un plano que pasa por un punto (xo,yo,zo) no nulo, no es un subespacio. las restas que no pasan por el origen, no son un subespacio.
otro ejempli, si tenés una transformacion lineal T:V-->W, la preimagen a través de T un w perteneciente a W no es un subespacio, o sea
{ v en V / T(v)=w} no es en general un subespacio. y de hecho, eso aparece mucho en los parciales: "halle todos los f en V tal que T(f) =w, etc".
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Gracias, entendí la idea y la verdad es que nunca me lo había planteado de esa manera lo de los conjuntos ortogonales.
También es cierto que no todos los objetos que manejamos son subespacios, visto como lo planteás vos es claro que a menos que algo sea subespacio, un conjunto "dos veces ortogonal" a otro conjunto dado, podría contener elementos que no estaban en el original. Pero cuando hiciste tu planteo original, me imaginé objetos matemáticos más complejos, no lo vi como "plano que no pasa por el origen".
De todos modos es cierto (o por lo menos es cierto para mí), que cuando en algebra Lineal operamos con conjuntos, y buscamos sumas, intersecciones, conjuntos ortogonales, etc. (excepto para el caso de las TL, donde pasa lo que vos decís), digamos que uno pone piloto automático y asume que trabaja con subespacios. Por lo menos, por la pregunta original del topic, yo sabía que se estaba refiriendo a un subespacio, y por eso también el comentario de 4WD.
De nuevo muchas gracias por el aporte. Ahora me intriga mucho más aún lo que te pregunté en el post anterior... jeje.
Saludos.
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