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yuafan2
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 06 Feb 2007
Mensajes: 69
Ubicación: San Miguel - Bs As.
Carrera: Informática
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Hola, queria saber como podia hayar la parte principal del siguiente
polinomio:
e^z / z*(z^2+1)
No logro encontrar una forma mas o menos buena en la que este trankilo.
SI alguien me puede dar una mano mejor
saludos
Juan
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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hola yua
no te preocupes. parece papona.
fijate, esa funcion tiene apenas polos simples. entonces, en torno de cada uno de esos polos, el desarrollo en serie de laurent tiene solamente un témino de potencias negativas!
es papona entonces: ponele q querés encontrar la parte ppal del desarrollo en torno de 0.
multiplicá por z, y después tomá el limite cuando z tiende a 0. eso te da el c sub menos 1. en este caso,
c sub menos uno = 1.
entonces la parte ppal del desarollo en torno a cero es 1/z.
En torno a ponele, z=i, multiplicás por (z-i) y tomás limite cuando z tiende a i.
da entonces q
c sub menos uno = -2*e^i
con lo que la parte principal te queda
-2*e^i / z
. Te podés imaginar como sacar el otro!
la ocservación clave es darse cuenta que los polos son simples, entonces la parte ppal tiene apenas un término. y de ahí, listo. No hace falta encontrar todo el desarrollo en serie!
espero haber sido de ayuda.
manuco
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eskyaby
Nivel 5
Edad: 36
Registrado: 03 Feb 2008
Mensajes: 167
Ubicación: Quilmes
Carrera: Informática
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| Desarrolla algunos terminos de e^z y dividilo por z^3+z. Con 3 terminos que calcules de la division ya tenes la parte principal
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Otra forma es ésta:
Por fracciones simples:
1/[z(z^2+1)]=1/z-z/(z^2+1)
Entonces
e^z/[z(z^2+1)]=e^z/z-ze^z/(z^2+1).
Como el segundo término es analítico, la parte principal de la función coincide con la parte principal del primer término, cuya serie de Laurent es inmediata a partir de la serie de Taylor de e^z.
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Spike Spiegel
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507
Carrera: Informática
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Jorge: ¿le podrías dar formato látex a tu post? Me cuesta entenderlo.
Gracias.
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![[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]](images/latex/8abc5691357a123d82fd07cae688fd7767bf6633_0.png "[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]")
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Bueno, en latex si lo prefieren.
Otra forma es ésta:
Por fracciones simples:
![[tex]\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{z^2+1}[/tex]](images/latex/48ad4f6a9fa75b6e270cc4e83b96d656efb32f8d_0.png "[tex]\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{z^2+1}[/tex]")
Entonces
![[tex]\frac{e^z}{z(z^2+1)}=\frac{e^z}{z}-\frac{ze^z}{z^2+1}[/tex]](images/latex/c5fa2397c21d72f98f2188abab858c51cf1a545f_0.png "[tex]\frac{e^z}{z(z^2+1)}=\frac{e^z}{z}-\frac{ze^z}{z^2+1}[/tex]") .
Como el segundo término es analítico, la parte principal de la función coincide con la parte principal del primer término, cuya serie de Laurent es inmediata a partir de la serie de Taylor de ![[tex] e^z[/tex]](images/latex/7e790aeeb0b567e59ec8f1aa3b6e619609f660da_0.png "[tex] e^z[/tex]") .
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Spike Spiegel
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507
Carrera: Informática
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| Muchísimo más claro, te agradezco.
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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jorge
igual te digo
eso sirve solamente para encontrar la parte principal en torno al cero. para calcular la parte ppal en torno a los otros polos, ya no es tan directo.
(además que te tenés q molestar en calcular fracciones simples)
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| Manuco, dije que era otra forma, no que era la mejor. Posiblemente para funciones que tienen un polo simple lo mejor sea calcular el residuo; pero si el polo fuese de orden 2 o superior, el residuo no le serviría de nada , y lo que hice sigue funcionando. Si el polo está en z_0, se hace el cambio de variable z=w+z_0 y se trabaja con la función dependiente de w que queda, que ahora tiene una singularidad en w=0.
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manuco
Nivel 4
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 84
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jorge
no dije que mi forma era LA MEJOR o la UNICA. solamente mencioné que lo que habias posteado funcionaba para el polo en el origen. para los demás polos, tambien se puede hacer fracciones simples, pero no creo q sea tan directo.
de hecho, en este caso no hay que siquiera hacer un cambio de variables: el trabajo está hecho si partis la fraccion en tres sumandos... y la serie de taylor de la exponencial es totalmente redundante en este caso, ni siquiera hay q expandir la exponencial. siempre te va a quedar una funcion con un polo simple mas una holomorfa.
mmm con respecto a los polos de orden superior... ponele si el polo es de orden m,
multiplicás por z^m y evaluás en el polo. eso te da el c sub menos m.
después derivás, evaluás en el polo y eso te da el c sub -m+1. y así. para el próximo, volvés a derivar pero esta vez dividís por 2. and so on, and so on; para el c sub menos k-ésimo término, vas a tener q dividir por un factorial de k+1.
lo más complicado es derivar; dependiendo de la forma en que tengas factorizada la funcion, puede ser fácil o puede ser Irak.
para polos de hasta orden tres, es fácil de hacer. pero si tenes una funcion con un polo de orden 30, encontrar la parte principal seguramente es más sencillo via manipulacion de series.
salutti
m.
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yuafan2
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 06 Feb 2007
Mensajes: 69
Ubicación: San Miguel - Bs As.
Carrera: Informática
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Gracias loco!
Buenas las explicaciones
abrazo
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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La forma que dice jorge está buena para las racionales. Pero me parece que extenderlo a una función que no lo es tiene sus inconvenientes. Sobre todo con ![[tex]e^z[/tex]](images/latex/a0075195a0cef4ed03e0d6f27270dddf17c30d84_0.png "[tex]e^z[/tex]") dividido polinomios con polos en valores diferentes de cero
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