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Mensaje |
maicol
Nivel 3
Registrado: 05 Mar 2008
Mensajes: 20
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yo se que uno de buscar el x de long minima para Ax=b es x= pseudo(A).b
pero para buscar el x de long minima para ||Ax-b||, como se hace?
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gk_264
Nivel 9
Edad: 38
Registrado: 30 Ago 2005
Mensajes: 1853
Ubicación: A veces
Carrera: Química
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La solución de eso es la de cuadrados mínimos creo:
![[tex]Ax=b \\A^T A x= A^T b[/tex]](images/latex/bac9289b305384c4cddf509d258f3c62337e6783_0.png "[tex]Ax=b \\A^T A x= A^T b[/tex]")
Este ultimo sistema siempre es compatible, no me acuerdo el porqué, pero lo que terminás haciendo es resolver este ultimo sistema que siempre te queda el de una matriz cuadrada ![[tex]A^T A[/tex]](images/latex/832c66f5370b312fa91d0ecd14be4cb91030a82e_0.png "[tex]A^T A[/tex]") .
![[tex]x=(A^T A)^{-1}A^T b[/tex]](images/latex/9df07ff2d815f81067c821c93ebe3a8a54186c10_0.png "[tex]x=(A^T A)^{-1}A^T b[/tex]")
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http://eradelsilencio.blogspot.com/
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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CREO que era siempre compatible por que AtA siempre es cuadrada y sus vectores columna l.i. entonces para cualquier vector Atb existe otro vector x tal que AtAx=Atb.
En ese caso Ax es el vector en el espacio columna de A que mejor aproxima a b.
(si dije una burrada avisen)
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maicol
Nivel 3
Registrado: 05 Mar 2008
Mensajes: 20
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| Si, eso lo se, pero para el caso de buscar el x de longitud minima de ||Ax-b|| es lo mismo q buscar el x de longitud minima de Ax=b? o en q varía?
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sosey
Nivel 5
Registrado: 01 Abr 2007
Mensajes: 141
Ubicación: Chaco ;)
Carrera: Informática
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Hola maicol, lo que pasa es que el sistema Ax= b no siempre tiene solucion, porque como se sabe
A= ( a1 a2 ...An) donde ai es columna i de A
y X = ( x1....xn) ^t
->
Ax = a1X1 + .. + anXn = b
entonces, si b no pertenece al subespacio generado por col ( A )
Ax = b no tiene solucion, lo que se hace es buscar un X prima , que sea el que más se aproxime a b cuando se lo multiplica por A
es devir
x prima = y ( para que quede mejor )
Ay es lo más parecido a b para todo x
entonces
|| Ay - b || <Ax>
AtAy = A^t b
y de ahi se puede despejar y :p
recordar que y = solucion particular + solucion homogenea
porque si
A x = 0
->
A y = A ( y+ x )
->
la solucion va a ser
Y = Yp + X
espero que me hayas entendido, y que lo que te haya dicho este bien xd
Suerte
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y de nada nos sirvió aprender...
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facundo.olano
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2006
Mensajes: 808
Ubicación: encadenado al ánima
Carrera: Informática
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| Cita:
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Si, eso lo se, pero para el caso de buscar el x de longitud minima de ||Ax-b|| es lo mismo q buscar el x de longitud minima de Ax=b? o en q varía?
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En ese caso es lo mismo lo que tenés que resolver, por que te piden que minimices la distancia entre Ax y b, y la distancia es mínima cuando la resta es mínima; la resta es mínima cuando Ax y b son lo más parecido posibles y esto sucede cuando x es solución por cuadrados mínimos de Ax=b
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