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elindio86
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Registrado: 22 Mar 2006
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| Hola gente! Les cuento que ayer rendi el coloquio de algebra, si alguno lo rindió tambien me gustaria que comparta su opinion sobre el mismo. Cualquier comentario sobre la resolucion de algun ejercicio es bienvenido. A mi me parecio algo complicado, en especial los puntos del ejercicio 2 y el 3b. Saludos!
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Merci
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Yo creo que el ejercicio 2 es así:
Vos tenés que la Q(x) tiene que estar entre 0 y 2 para todos los vectores unitarios, lo cual quiere decir que la matriz de Q tiene que tener autovalores 0 y 2.
Armás el polinomio característico que te queda ![[tex]a^2+ \lambda ^2 -2a \lambda -b^2=0[/tex]](images/latex/8e7c48ff8d76ae115f3b6ff0560af653b3a07699_0.png "[tex]a^2+ \lambda ^2 -2a \lambda -b^2=0[/tex]") . Si reemplazás el valor de ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") por 0 y 2 en dos ecuaciones te queda:
![[tex]a^2 + b^2 = 0[/tex]](images/latex/4a1ea850c856b7f2b8166cc1db0b119a73a8a9d2_0.png "[tex]a^2 + b^2 = 0[/tex]") De acá sacás que ![[tex]a^2 = b^2[/tex]](images/latex/23c35bb54edc53ffe1f5a2d02ec58772bf58c2a4_0.png "[tex]a^2 = b^2[/tex]")
![[tex]a^2-4-4a-b^2=0[/tex]](images/latex/9d2b6838900eec1c30dd023c8bc989b4082e266e_0.png "[tex]a^2-4-4a-b^2=0[/tex]") De acá sacás que ![[tex]a=-1[/tex]](images/latex/921193a90f17abdcd1d4867dad86b92bf7cd6fa1_0.png "[tex]a=-1[/tex]")
Por lo tanto, ![[tex]|b|=1[/tex]](images/latex/c2ec9e5be67a3e1afb1f4f9147e95e192686a925_0.png "[tex]|b|=1[/tex]") y tenés que graficar dos puntos (creo yo).
Para el punto b, tenés que sacar los autovalores de Q con esos nuevos datos, los cuales te dan 4 y -1. armás tu nueva forma cuadrática con ![[tex]4y_1^2-y_2^2 \leq 0[/tex]](images/latex/3c3a3f5aa9c9651e49230081f64bc4ec5484aab5_0.png "[tex]4y_1^2-y_2^2 \leq 0[/tex]") , la cual es una hipérbola y para graficarla tenés que usar los nuevos ejes ; (1,-1)[/tex]](images/latex/a1299b7a81c45b3eb80325e24411df1b1131a094_0.png "[tex](1,1); (1,-1)[/tex]") . Finalmente sólo tenés que sombrear la parte de adentro de las hipérbolas.
Si hice algo mal, avisennnnnn
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Merci
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Mientras me bañaba me descubrí un pequeño detalle. El ejercicio dice que tienen que ser estrictamente mayor a 0 y menor a 2. Lo cual me llevó a pensar lo siguiente:
Si usamos el polinomio característico (yet again) nos queda:
![[tex]\lambda ^2 -2a \lambda +a^2-b^2[/tex]](images/latex/302fcf7af7d706932e77eb69eca29c462ea301f4_0.png "[tex]\lambda ^2 -2a \lambda +a^2-b^2[/tex]") . Usando la formulita esa de las ecuaciones cuadráticas nos queda que los autovalores son ![[tex]a+b[/tex]](images/latex/12e4a6b510a7d64f6dcabcde291c21fdf2105b37_0.png "[tex]a+b[/tex]") y ![[tex]a-b[/tex]](images/latex/573824fa884bc4dd88ef0c9c0eead538a87e8043_0.png "[tex]a-b[/tex]") . Como sí nos dice en el ejercicio que a y b son positivos, sabemos que la suma de positivos es mayor a la resta. Por lo tanto tenemos que:![[tex]a-b>0[/tex]](images/latex/14e2dad6d5a3d5dd7ee935dcc0c29c96a14258fb_0.png "[tex]a-b>0[/tex]") y que ![[tex]a+b<2[/tex]](images/latex/6f0a9011c0141271389febfae63d00a757cec35d_0.png "[tex]a+b<2[/tex]") . De ambos sacamos que ![[tex]b<a<2-b[/tex]](images/latex/1d806b1123bd6a5be863562c732526a058c1f35b_0.png "[tex]b<a<2-b[/tex]") . Y supongo que -eso- se tendrá que graficar.
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todoseapormi
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| para el 3b podias armar una DVS, tenias que tener bien claro como se forman U y V con bases del col y el nul de A...
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MLI
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Merci
Nivel 9
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Quiero corregir algo. ![[tex]A \in R^{2x3}[/tex]](images/latex/b9d61ec491bc9ec087003230531280e38ca21f2b_0.png "[tex]A \in R^{2x3}[/tex]") .
Esto es lo que me parece a mi del 3b.
Tengo de datos el Nul de A, la proyección sobre el Col de A y un valor singular de A.
En la forma reducida, U se completa con cosas del ![[tex]Nul(A^T)[/tex]](images/latex/bd78fdb54e5cc0dcbe7c131da64721dd6284af25_0.png "[tex]Nul(A^T)[/tex]") y V con cosas del ![[tex]Nul(A)[/tex]](images/latex/c2a99ab52d8317fe0c53f4a800d6569640e0d22b_0.png "[tex]Nul(A)[/tex]") .
Según los datos, ![[tex]Nul(A)=gen \{ (1,-1,0)(0,0,1) \}[/tex]](images/latex/f4de857930da9d2843b42742b2aff3cc68fcf0b1_0.png "[tex]Nul(A)=gen \{ (1,-1,0)(0,0,1) \}[/tex]") y un valor singular de A es 2. Si el ![[tex]rg(Nul(A))=2[/tex]](images/latex/e18cb97af0842dffeb7f3e08ced509ef32bda17c_0.png "[tex]rg(Nul(A))=2[/tex]") quiere decir que el ![[tex]rg(V)=1[/tex]](images/latex/8fb042ae237098678622f007cec8985552e79a2c_0.png "[tex]rg(V)=1[/tex]") , lo cual me lleva a pensar que en la forma reducida, ![[tex]V^T \in R^{1x3}[/tex]](images/latex/377a24b1538c6d3201a740208f0d7189d995bfc9_0.png "[tex]V^T \in R^{1x3}[/tex]") . Si esa matriz es de ese tamaño, entonces ![[tex]\Sigma \in R^{1x1}[/tex]](images/latex/124b0b69f785bfd3a936b91d99e3fe8f6cab62c8_0.png "[tex]\Sigma \in R^{1x1}[/tex]") ya que siempre es cuadrada en la forma reducida. Y finalmente para que quepa, ![[tex]U \in R^{2x1}[/tex]](images/latex/cd746c85cf488526377cf162b14ac1f912b41973_0.png "[tex]U \in R^{2x1}[/tex]") .
Empiezo a armarlas.
Para V, busco un vector ortogonal al que genera el , como el [/tex]](images/latex/cc21a562d75d4a9367c28ce64b21ea8c782e9170_0.png "[tex]( \frac {\sqrt {2}} {2},\frac {\sqrt {2}} {2},0)[/tex]") . A ![[tex]\Sigma[/tex]](images/latex/e5ce1e95bf48d52d49f1e09078b6bc5e47f97ce6_0.png "[tex]\Sigma[/tex]") la escribo simplemente como el número ![[tex]2[/tex]](images/latex/a3f0af37b561490534744a58bf7ca3b44dca2369_0.png "[tex]2[/tex]") .
El tema con U es el siguiente:
La matriz Moore-Penrose ![[tex]A^+[/tex]](images/latex/6c2df09629c319946a210342ff7845be39a29ff9_0.png "[tex]A^+[/tex]") está definida como ![[tex]V_rD^{-1}U_r^T[/tex]](images/latex/dbef15822f1ddc138b9a7f8bf6b4a5155b7b5020_0.png "[tex]V_rD^{-1}U_r^T[/tex]") , donde todas las matrices son las de la forma reducida (ninguna matriz se completa). Si se multiplica ![[tex]AA^+[/tex]](images/latex/bb06ebcb11f2df1b08d904fbcbb2dced6346e775_0.png "[tex]AA^+[/tex]") , nos queda lo siguiente: ![[tex]U_rDV_r^tV_rD^{-1}U_r^T[/tex]](images/latex/6314ebe56974193ddbc6f75fb3d0170ab0287c5c_0.png "[tex]U_rDV_r^tV_rD^{-1}U_r^T[/tex]") . Tachamos todo y nos queda ![[tex]U_rU_r^t[/tex]](images/latex/20c2e4ec1a67ffce97a0fae5b78f3200c73816a5_0.png "[tex]U_rU_r^t[/tex]") , la cual es una matriz de proyección sobre el ![[tex]Col(A)[/tex]](images/latex/9e3128b585d8a5f1063ba3d18faa2b281642e592_0.png "[tex]Col(A)[/tex]") .
Como ![[tex]UU^T = P[/tex]](images/latex/c58336ea0a53790adfd545d49af7c48b68b78aa7_0.png "[tex]UU^T = P[/tex]") es re simple descomponer a esa matriz, claramente nos queda que ![[tex]U=( \frac {\sqrt {2}} {2},\frac {\sqrt {2}} {2})[/tex]](images/latex/fd7d5278a2e3d662806c2183e8063c08fa9cd15c_0.png "[tex]U=( \frac {\sqrt {2}} {2},\frac {\sqrt {2}} {2})[/tex]") .
Se multiplican las 3 matrices y nos queda A.
![[tex]\left[ \begin{array}{cc} \frac {\sqrt {2}} {2}\\ \frac {\sqrt {2}} {2}\\ \end{array} \right] \left[ 2 \right] \left[ \begin{array}{ccc} \frac {\sqrt {2}} {2} & \frac {\sqrt {2}} {2} & 0\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ \end{array} \right][/tex]](images/latex/af19433df0d443c02732a08c464611e29bf1083d_0.png "[tex]\left[ \begin{array}{cc} \frac {\sqrt {2}} {2}\\ \frac {\sqrt {2}} {2}\\ \end{array} \right] \left[ 2 \right] \left[ \begin{array}{ccc} \frac {\sqrt {2}} {2} & \frac {\sqrt {2}} {2} & 0\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ \end{array} \right][/tex]") .
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elindio86
Nivel 2
Registrado: 22 Mar 2006
Mensajes: 14
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| Merci escribió:
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Mientras me bañaba me descubrí un pequeño detalle. El ejercicio dice que tienen que ser estrictamente mayor a 0 y menor a 2. Lo cual me llevó a pensar lo siguiente:
Si usamos el polinomio característico (yet again) nos queda:
. Usando la formulita esa de las ecuaciones cuadráticas nos queda que los autovalores son y . Como sí nos dice en el ejercicio que a y b son positivos, sabemos que la suma de positivos es mayor a la resta. Por lo tanto tenemos que: y que . De ambos sacamos que . Y supongo que -eso- se tendrá que graficar.
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Si creo que se resolvia asi...lo que hiciste en el primer caso fue buscar el caso extremo donde se cumplia la desigualdad de la FC. En mi caso era menor que 4...entonces el punto pasaba a ser (2,2). Ademas decia que ambos eran mayor a 0...lo que a mi se me ocurrio fue trazar una recta entre ese punto y el origen, esos valores de a y b cumplian con la desigualdad pero me parece que no son todos, ya que estoy considerando que 0 es siempre autovalor al ser a = b si no me equivoco, en el momento no se me ocurrio una mejor forma de resolverlo jeje, no era dificil habia que estar lucido...
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Stampid
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 06 Mar 2007
Mensajes: 86
Ubicación: Cap. Fed.
Carrera: Mecánica
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Yo hice lo mismo en el ejercicio 2 a, el b no se si esta bien graficado, pero espero que si y el 3 b lo hice igual peeeero, como lo hice 5 minutos antes de entregar justifique todo medio pobre (siempre problemas con las justificaciones) y no me alcanzo el tiempo para sacar A, solo la deje como expresada como multiplicacion de esas matrices, pero creo que aceptan eso
Pd: me gustaria si alguien puede mostrar la resolucion del 3-a, era facil, pero creo que no demostre bien que A sea ortogonal. Solo mostre que sus autovalores son de modulo 1 y que esa es una prop de las matrices ortogonales.
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todoseapormi
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 18 Mar 2006
Mensajes: 2135
Carrera: Sistemas
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como todos los valores singulares de A son 1, y A es cuadrada, al armar una dvs de A. Tu matriz sigma queda igual a la identidad. Asi A=U*Vt, como U y V son matrices ortogonales, A tmb lo es por ser producto de estas... 
/edit, soy medio tarado y confundo palabras
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MLI
Última edición por todoseapormi el Jue Ago 02, 2007 6:52 pm, editado 1 vez
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| todoseapormi escribió:
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como todos los autovalores de A son 1, y A es cuadrada, al armar una dvs de A. Tu matriz sigma queda igual a la identidad. Asi A=U*Vt, como U y V son matrices ortogonales, A tmb lo es por ser producto de estas...
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los que son 1 son los valores singulares (v.s.), no los autovalores. Pero justamente son los v.s. de A los que aparecen en sigma.
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todoseapormi
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 18 Mar 2006
Mensajes: 2135
Carrera: Sistemas
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eso es lo que quise decir  me kungfundi.. disculpas
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MLI
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Stampid
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 06 Mar 2007
Mensajes: 86
Ubicación: Cap. Fed.
Carrera: Mecánica
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| Todavia no tengo noticias del coloquio, deje el mail en el examen para que Seinhart lo responda, pero nada, y tampoco aparecio por el depto de matematica y lo que quiero saber es cuando puedo ver los resultados. El resto de las catedras tienen el mismo problema o ya tienen las notas?
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BOD
Nivel 8
Registrado: 03 Feb 2007
Mensajes: 584
Carrera: No especificada
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| Vargas las entrega el martes segun me dijeron
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todoseapormi
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 18 Mar 2006
Mensajes: 2135
Carrera: Sistemas
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| Mancilla manda las notas el domingo al grupo de yahoo, y el lunes es la revision...
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MLI
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Merci
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 26 Abr 2006
Mensajes: 1522
Ubicación: Por el terraplén de Palermo
Carrera: Mecánica
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| Merci escribió:
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Para el punto b, tenés que sacar los autovalores de Q con esos nuevos datos, los cuales te dan 4 y -1. armás tu nueva forma cuadrática con , la cual es una hipérbola y para graficarla tenés que usar los nuevos ejes . Finalmente sólo tenés que sombrear la parte de adentro de las hipérbolas.
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Not trueeee me encontré un error dps de pensarlo 1000 años. No te da una hipérbola (ya que está igualado, o desigualado a cero), sino dos rectas:
![[tex]y_2 \leq -2y_1[/tex]](images/latex/a7ef37f7c9c1ca1ffadc4bfa27676a46c159878a_0.png "[tex]y_2 \leq -2y_1[/tex]")
![[tex]y_2 \geq 2y_1[/tex]](images/latex/d249da8435769db8fd9dca8e1bf087ed7edd4ee8_0.png "[tex]y_2 \geq 2y_1[/tex]")
La parte a sombrear de las dos rectas corresponde al área comprendida entre ambas rectas y el 2º y 3º cuadrante.
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Juancito_G
Nivel 6
Edad: 37
Registrado: 05 Jul 2006
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Carrera: Industrial
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coincido en lo de las 2 rectas.. pero creeeeeo q le falto algo.. yo tuve en cuenta los 2 autovalores.. es decir q la Q(x) te quedaba -1 < Q(x) < 4 ( perdon pero no se usar latex). entonces como piden q sea menor q cero, te iba a quedar -1 < Q(x) < 0 lo cual es una elipse con las 2 rectas atravesadas, y te termina quedando una especie de porcion de pizza sombreada (hmmmmmm.. pizzaaaa )
Buen, eso es lo q creo q hice yo jejej... ya veremos cuando me entreguen la nota si taba bien..
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...Peldaño por peldaño voy... hacia la cima!
¡BOCA! - LA MITAD MAS 1 TE AMA, el resto te envidia...
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