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Gulla
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 17 Sep 2006
Mensajes: 50
Carrera: Industrial
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Como estan!
Les hago una consulta... me trabé con el siguiente ejercicio:
Determinar para que valores de ![[tex] \alpha [/tex]](images/latex/cb7f4cb9d8584697dde0587b683d59879243fa34_0.png "[tex] \alpha [/tex]") la siguiente matriz es diagonalizable:
![[tex][T]_B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\alpha & 1 & \alpha \\ \end{array} \right)[/tex]](images/latex/335f2ad6b53900b982660ff45ea1d58688aeb2cc_0.png "[tex][T]_B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\alpha & 1 & \alpha \\ \end{array} \right)[/tex]")
Podrían darme una pista?
Yá probé buscando las raices del polinomio caracteristico, pero no veo la solucion.
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Juancito22
Nivel 5
Registrado: 07 Oct 2005
Mensajes: 167
Carrera: No especificada
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| Gulla escribió:
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Como estan!
Les hago una consulta... me trabé con el siguiente ejercicio:
Determinar para que valores de la siguiente matriz es diagonalizable:
Podrían darme una pista?
Yá probé buscando las raices del polinomio caracteristico, pero no veo la solucion.
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Qué número de ejercicio es en la guía o, en todo caso, de qué parcial es?
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[CAMPAÑA] Colaboremos entre todos por un foro más ordenado (click aquí)
Última edición por Juancito22 el Mar Jul 17, 2007 5:41 pm, editado 1 vez
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phnx2k
Nivel 8
Edad: 37
Registrado: 08 May 2006
Mensajes: 660
Ubicación: Mas cerca que.....En el infinito!
Carrera: Informática
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polinomio caracteristico:
![[tex]{\lambda}^{3}-a{\lambda}^{2}-\lambda+a[/tex]](images/latex/912715490a3c27bf0ca9037c704af4d00300c264_0.png "[tex]{\lambda}^{3}-a{\lambda}^{2}-\lambda+a[/tex]")
sus raices: ![[tex]\lambda_1 = 1\\\lambda_2=-1\\\lambda_3=a[/tex]](images/latex/def6f357b2dbc2d50665dcbc0e32ea36c5d66952_0.png "[tex]\lambda_1 = 1\\\lambda_2=-1\\\lambda_3=a[/tex]")
pares [/tex]](images/latex/91f88f2a61461b4c683b038bdf763d45850bce91_0.png "[tex](\lambda,v)[/tex]") autovalor,autovector:
[/tex]](images/latex/04a6978104d295266d2f102de33ed9073bac46b0_0.png "[tex](1,\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \end{array}\right]^T)[/tex]")
[/tex]](images/latex/7f989bacc355904b6ddcf38b3203f029609204b6_0.png "[tex](-1,\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \end{array}\right]^T)[/tex]")
[/tex]](images/latex/7d054998706d7c883a11a4468721fa9105a79cf7_0.png "[tex](a,\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{a^2} & \frac{1}{a} & 1 \end{array}\right]^T)[/tex]")
(a distinto de 0)
bien, si a=1, el autovector ![[tex]\lambda = a[/tex]](images/latex/469d1729bf4b08be7d96ceb64c6efdbfd67878f1_0.png "[tex]\lambda = a[/tex]") tiene un autovector LD con el autovector de ![[tex]\lambda = 1[/tex]](images/latex/11e23469594e4eb2519729d4c41fd5dc60920595_0.png "[tex]\lambda = 1[/tex]") , lo cual no nos dá una base de autovectores de la matrix.
Lo mismo aplica para a= -1, nos hace LD su autovector, con el de ![[tex]\lambda = -1[/tex]](images/latex/de352ec9f22c67b777a310181e86668268bd787c_0.png "[tex]\lambda = -1[/tex]") .
Esto fue el analisis de multiplicidades geometricas/algebraicas.
Para todo otro cualquier valor de a, es diagonalizable porque existe base de autovectores
La respuesta es que la matriz diagonaliza solo si a es distinto de 1, -1 y cero, por supuesto.
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¨La Matrix es un sistema, un sistema enemigo. Pero cuando estás dentro, ¿ qué ves ? Maestros, abogados, carpinteros, hombres de negocios. La mente de la gente que queremos salvar. HASTA NO SALVARLA, ESTA GENTE ESTÁ EN EL SISTEMA Y POR LO TANTO ES ENEMIGA. TIENES QUE ENTENDER QUE MUCHA DE ESTA GENTE NO ESTÁ LISTA PARA QUE LA DESCONECTEN. MUCHOS ESTAN TAN HABITUADOS, DEPENDEN TANTO DEL SISTEMA, QUE PELEARÁN PARA PROTEGERLO¨
Morpheus
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Gulla
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 17 Sep 2006
Mensajes: 50
Carrera: Industrial
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Muchas Gracias Phnx2k!!! Una consulta más: Las raices las sacaste por tanteo?
Juancito, es el ejercicio #3 de los Adicionales que están en la web de la materia.
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martin.
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 05 Jul 2007
Mensajes: 732
Ubicación: Frente de Estudiantes Libertarios
Carrera: Informática
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La primera la sacas por tanteo, después haces ruffini y lo que te queda es un polinomio de grado dos, que supongo que sabrás como sacarlo 
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FRENTE DE ESTUDIANTES LIBERTARIOS
Web: http://www.fel-arg.org/
Email: fel.argentina@gmail.com
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Gulla
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 17 Sep 2006
Mensajes: 50
Carrera: Industrial
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buuu para mi!!! No se me ocurrió ruffini!
Muchas Gracias a todos!!!!
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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Otra forma de hacerlo sin calcular los autovectores de cada autovalor es la siguiente:
Caso 1: a no es ni 1 ni -1 la matriz tiene 3 autovalores diferentes. Como A es 3X3 es diagonalizable (hay un teorema que dice que si una matriz nXn tiene n autovalores diferentes entonces es diagonalizable.
Caso 2: a=1. Para ser diagonalizable el autoespacio asociado al autovalor 1 debería tener dimensión 2 (así coinciden las multiplicidades algebraica y geométrica del autovalor 1), o, lo que es lo mismo, la matriz A-I debería ser de rango 1. En este caso A-I tiene rango 2, luego el autoespacio tiene dimensión 1 (multiplicidad geométrica 1) y A no es diag.
Caso 3: a=-1. Para ser diagonalizable A, el autoespacio asociado a -1 debería tener dimensión 2, o, equivalentemente, el rango de A+I debería ser 1. Como de A+I es 2, tampoco es diag. A.
En este tipo de ejercicios, en general, no conviene calcular los autovectores de autovalores que dependen de un parámetro porque puede ser complicado o perderse casos si uno divide por algo que podría ser 0. Lo mejor es fijarse para qué casos los autovalores son todos diferentes, con lo cual automáticamente la matriz es diagonalizable, y luego analizar aquellos casos en que hay autovalores repetidos, que en general corresponden a un número finito de valores para el parámetro, y uno trabaja con matrices numéricas.
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phnx2k
Nivel 8
Edad: 37
Registrado: 08 May 2006
Mensajes: 660
Ubicación: Mas cerca que.....En el infinito!
Carrera: Informática
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powered by Maple 10
edit: y el caso A = 0??
te lo comes !!!
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¨La Matrix es un sistema, un sistema enemigo. Pero cuando estás dentro, ¿ qué ves ? Maestros, abogados, carpinteros, hombres de negocios. La mente de la gente que queremos salvar. HASTA NO SALVARLA, ESTA GENTE ESTÁ EN EL SISTEMA Y POR LO TANTO ES ENEMIGA. TIENES QUE ENTENDER QUE MUCHA DE ESTA GENTE NO ESTÁ LISTA PARA QUE LA DESCONECTEN. MUCHOS ESTAN TAN HABITUADOS, DEPENDEN TANTO DEL SISTEMA, QUE PELEARÁN PARA PROTEGERLO¨
Morpheus
Última edición por phnx2k el Mar Jul 17, 2007 9:12 pm, editado 1 vez
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todoseapormi
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 18 Mar 2006
Mensajes: 2135
Carrera: Sistemas
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| opa, pero hay que tenerla bastante clara para plantear esa resolución
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MLI
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| phnx2k escribió:
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powered by Maple 10
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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| phnx2k escribió:
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edit: y el caso A = 0??
te lo comes !!!
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Si planteaste todo lo anterior, el caso 0 es el más obvio.
Si a fuera cero, entonces tenés dos filas iguales, por lo tanto hay un autovalor nulo, hay determinante nulo y la matriz no puede ser inversible.
A cero lo tenés que descartar de entrada; incluso fue lo primero que planteaste en tu resolución.
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| Si a=0, siguen habiendo tres autovalores distintos, 1,-1 y 0, con lo cual la matriz es diagonalizable. En el razonamiento que hace phnx2k hay que considerar el caso a=0 por separado, porque el autovector genérico que exhibe no está definido para ese valor de a.
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Merci
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 26 Abr 2006
Mensajes: 1522
Ubicación: Por el terraplén de Palermo
Carrera: Mecánica
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Che...... podemos hacer muchas cosas por muchos métodos...... pero creo que en una materia donde te enseñaron -un- método pretenden evaluarte cómo lo usás...
Un chico hizo el ejercicio de sist de ecs difs de una forma (sin sacar los autovalores de la matriz) y ni se lo miraron... dps se fue a quejar y se lo terminaron aceptando.... pero no es el método que te piden
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Then according to the man who showed his outstretched arm to space
He turned around and pointed revealing all the human race
I shook my head and smiled a whisper, knowing all about the place...
I get up, I get down...
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BOD
Nivel 8
Registrado: 03 Feb 2007
Mensajes: 584
Carrera: No especificada
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Yo hago los de ecuaciones diferenciales en metodo monge (?)
PD: Mi sensei todoseapormi me esta enseñando a desvirtuar
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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| Jorge Pérez escribió:
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Si a=0, siguen habiendo tres autovalores distintos, 1,-1 y 0, con lo cual la matriz es diagonalizable. En el razonamiento que hace phnx2k hay que considerar el caso a=0 por separado, porque el autovector genérico que exhibe no está definido para ese valor de a.
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Confundí diagonalizable con inversible en mi post anterior; ups.
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