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fridafiuba
Nivel 2
Registrado: 09 Jul 2013
Mensajes: 12
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| en algunos casos no se pone el jacobiano al usar coordenadas polares , alguno sabría alguna "regla" o explicación. gracias.
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fernandodanko
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 859
Ubicación: Berazategui - BS.AS
Carrera: Electrónica
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| Ahora no se me viene ninguno a la cabeza. ¿Ejemplo y contraejemplo?
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fridafiuba
Nivel 2
Registrado: 09 Jul 2013
Mensajes: 12
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| en el caso por ejemplo de calcular el área de una elipse, x^2+(y-1)^2/4 =1 como lo harías???
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Aedixzoo
Nivel 1
Edad: 32
Registrado: 11 Jul 2013
Mensajes: 2
Ubicación: capital federal
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Para la elipse podes calcular el jacobiano que da "abr" con "r" variando (radio entre 0 a 1) y planteas la integral doble para el calculo del área sabiendo que el angulo da toda la vuelta ( angulo entre 0 y 2(pi) ).. lo calculas y te da 2(pi) ..
Sobre cuando usar polares me parece que al casar una "normal" en cartesianas y la queres pasar a polares en ese caso le colocas el jacobiano, pero si calculas la "normal" directamente con la superficie parametrizada ya no es necesario.. de las dos maneras debe dar igual..
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fridafiuba
Nivel 2
Registrado: 09 Jul 2013
Mensajes: 12
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| en el ejercicio puede ser que el ángulo varíe de 0 a Pi???
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Aedixzoo
Nivel 1
Edad: 32
Registrado: 11 Jul 2013
Mensajes: 2
Ubicación: capital federal
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| pero si colocas de 0 a pi calculas solo la mitad del área, en este caso no hay restricción y se calculaa todo el área.. ojala t ayudara( fijate q te tiene q dar igual con la formula directa del área de una elipse)
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juanminho_16
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 20 Oct 2009
Mensajes: 182
Carrera: Civil
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| si planteas la integral directamente parametrizada en (ro,tita) con los limites de integracion correspondientes no va el jacobiano. Si planteas la integral en cartesianas y vas a pasar a polares dentro de la integral agrega el jacobiano
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Aguante Civil!!!
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fridafiuba
Nivel 2
Registrado: 09 Jul 2013
Mensajes: 12
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AMB__
Nivel 3
Registrado: 04 Abr 2013
Mensajes: 25
Carrera: Informática
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Fijate que en el foro hay un tema parecido: http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=13297&postdays=0&postorder=asc&start=0
Dicen bastantes cosas interesantes (aunque parece que a veces no se ponen de acuerdo). Capaz te haces una mejor idea si le pegas una leída.
Ahora estoy viendo extremos condicionados (que por subestimar el tema me la pusieron en el coloquio). Después me pongo con integrales de nuevo y si encuentro una respuesta definitiva te digo.
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juanminho_16
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 20 Oct 2009
Mensajes: 182
Carrera: Civil
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| agarras la superficie curva o lo que sea, la parametrizas en polares y definis los limites de integracion y listo armas la integral con los limites en (ro,tita) e integras obviamente en las mismas variables sin necesidad de incluir el jacobiano. si lo haces asi te olvidas del jacobiano
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Aguante Civil!!!
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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@juanminho_16: cuando decís "la parametrizas en polares" tenes que aclarar a qué te referís. Si de hecho vos parametrizas en un sistema de coordenadas polares (cosa que lleva el jacobiano para rescalear el resultado) o si parametrizas en coordenadas cartesianas usando trigonometría o lo que sea.
La pregunta que te tenés que hacer es, que versores estoy usando para mi parametrizacion? Si son los x,y,z que conocemos, no se incluye el jacobiano. Si uso cilindricas o esféricas, tengo que agregar el jacobiano a la integral.
Por ejemplo, el punto (1,1,1) en cartesianas es muy distinto que el punto (1,1,1) en esféricas.
Otro ejemplo: si yo tengo la siguiente parametrizacion ![[tex]f(a,b) = (a, b, 0)[/tex]](images/latex/409c33886f84ccca0049ac182541a65c9a89a89f_0.png "[tex]f(a,b) = (a, b, 0)[/tex]") con ![[tex]a \in [0, 1][/tex]](images/latex/e48e2872b7eb2aec6831efe2efaa8f03117e34f8_0.png "[tex]a \in [0, 1][/tex]") y ![[tex]b \in [0, 2\pi][/tex]](images/latex/afdf6a427a505295736dfabae305448ab868d5dc_0.png "[tex]b \in [0, 2\pi][/tex]") , depende totalmente del sistema de coordenadas que use lo que esto representa. Por ejemplo, en el sistema cartesiano sería un rectangulo sobre el plano xy de area ![[tex]1 \cdot 2\pi[/tex]](images/latex/237b460cb3c9248217234f070d1064bfd7a77eef_0.png "[tex]1 \cdot 2\pi[/tex]") . En cambio, si es una parametrizacion en cilindricas (asumiendo que las componentes son r,t,z), te queda un circulo de radio 1 sobre el plano xy. Como calculo ahora el area (o cualquier integral funcion) de eso que está en este sistema de coordenadas distinto? Hago la integral, pero incluyo el jacobiano.
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AMB__
Nivel 3
Registrado: 04 Abr 2013
Mensajes: 25
Carrera: Informática
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Aver... resumiendo lo que voy entendiendo (gracias koreano)...
Suponiendo que tengo esto:
![[tex]\vec{\sigma}(r, \theta{}) = (r, \theta{}) \qquad r \in [0, 4], \theta{} \in [0, 2\pi{}][/tex]](images/latex/2e2bbb59e768e7ac103d6f3f13caeedb53a54b75_0.png "[tex]\vec{\sigma}(r, \theta{}) = (r, \theta{}) \qquad r \in [0, 4], \theta{} \in [0, 2\pi{}][/tex]")
Esto en ejes [/tex]](images/latex/a09f5349a4a793a0b54f626f5cbbdaefe4a831d7_0.png "[tex](r, \theta{})[/tex]") me define un rectángulo.
En ejes [/tex]](images/latex/32f5531d993ff1dbaa269d852ed06fc4956b04b4_0.png "[tex](x, y)[/tex]") , suponiendo que se mantienen todas las relaciones de coordenadas polares, me define un círculo.
Entonces ![[tex]\iint \, dr \, d\theta{}[/tex]](images/latex/1baec6750ebcf16416abae1d8aab6edee6fbe123_0.png "[tex]\iint \, dr \, d\theta{}[/tex]") con los límites correspondientes me da el área de un rectángulo.
Si a esa integral le agrego el jacobiano de la transformación de cartesianas a polares, me reescala el resultado al área del círculo que representa en cartesianas.
Me faltaría ver porqué no tengo que poner el jacobiano cuando planteo una integral de superficie a partir de una parametrización (por ejemplo en cilíndricas) :v Supongo que en ese caso iría el jacobiano solo si reparametrizo la superficie en otro sistema de coordenadas, y en ese otro sistema me queda cualquier otra cosa ¿no?
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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No entendí bien lo ultimo, ademas me parece que pusiste al revés de lo que querías decir.
| Cita:
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Esto en ejes me define un rectángulo.
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Si estabas en polares, te define un circulo eso. En cartesianas un rectangulo.
| Cita:
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Me faltaría ver porqué no tengo que poner el jacobiano cuando planteo una integral de superficie a partir de una parametrización (por ejemplo en cilíndricas)
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Si el sistema de coordenadas es cilindricas entonces si necesitás el jacobiano
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AMB__
Nivel 3
Registrado: 04 Abr 2013
Mensajes: 25
Carrera: Informática
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Gracias por la respuesta.
| koreano escribió:
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Si el sistema de coordenadas es cilindricas entonces si necesitás el jacobiano
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Disculpá por joder mucho, pero me parece que algo no estoy entendiendo. Si ya se, soy un perejil, disculpá, pero mira lo que me pasa:
Tengo un cilindro:
![[tex]x^2 + y^2 = 4 \quad z \in [0, 2][/tex]](images/latex/ff2d1574530bd02b91efb14fefd702f5616dab90_0.png "[tex]x^2 + y^2 = 4 \quad z \in [0, 2][/tex]")
Osea, un cilindro de radio 2 y altura 2 ¿no?
Sin calcular ninguna integral, ya se que el área de la cara lateral de un cilindro es ![[tex]2 \pi \, r \, h[/tex]](images/latex/ca48820cbe735ba6883f3de1b5036c4d90dea082_0.png "[tex]2 \pi \, r \, h[/tex]") , siendo ![[tex]r[/tex]](images/latex/7fca68834c90d92622ea606b0bd71f7d42531d19_0.png "[tex]r[/tex]") el radio y ![[tex]h[/tex]](images/latex/dba6f75029d64b60539dea1182c5717c286e8d54_0.png "[tex]h[/tex]") la altura.
Entonces, se que el área de la cara lateral de este cilindro es ![[tex]8 \pi{}[/tex]](images/latex/d7fb5605efaff078c2dc96ca847c1b5d4c214d69_0.png "[tex]8 \pi{}[/tex]") ya de entrada sin integrar nada ¿no?
Ahora, si parametrizo en cilíndricas con el radio fijo en 2, tengo:
![[tex]\vec{\gamma}(\theta{}, z) = (x, y, z) = (2cos\theta{}, 2sen\theta{}, z) \quad \theta{} \in [0, 2\pi{}], z \in [0, 2][/tex]](images/latex/eede994169e1b042d253dbc9a4d243a7bc67c609_0.png "[tex]\vec{\gamma}(\theta{}, z) = (x, y, z) = (2cos\theta{}, 2sen\theta{}, z) \quad \theta{} \in [0, 2\pi{}], z \in [0, 2][/tex]")
Tengo entonces que el producto vectorial entre los vectores tangentes es:
[/tex]](images/latex/8d8e0b8ff4ec41c0543b4f8abd2facd75f1ddd0b_0.png "[tex](2cos\theta{}, -2sen\theta{}, 0)[/tex]") y su norma es siempre 2.
Entonces la integral de superficie sin ningún jacobiano ni nada parecido me queda:
![[tex]\iint d\sigma{} = 2 \int_{0}^{2\pi{}} \, d\theta{} \, \int_{0}^{2} \, dz = 8\pi{}[/tex]](images/latex/ecef500ad9bbdc606686da26b4234e17a932180b_0.png "[tex]\iint d\sigma{} = 2 \int_{0}^{2\pi{}} \, d\theta{} \, \int_{0}^{2} \, dz = 8\pi{}[/tex]")
que me da como debería darme...
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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O sea, el sistema de coordenadas de tu parametrizacion es cartesianas por mas que uses cosenos, senos, etc, etc.
La parametrizacion de eso en cilindricas sería:
![[tex]\vec{\gamma}(\theta, z) = (r, \theta, z) = (2, \theta, z) \quad \theta{} \in [0, 2\pi{}], z \in [0, 2][/tex]](images/latex/b5859b804492ae67467b24e64ae0f87c5de2331f_0.png "[tex]\vec{\gamma}(\theta, z) = (r, \theta, z) = (2, \theta, z) \quad \theta{} \in [0, 2\pi{}], z \in [0, 2][/tex]")
Fijate que si ahora calculas esa integral, sin jacobiano, te da cualquier verdura, pero con el jacobiano de cilindricas (igual al de polares iirc), te tiene que dar el mismo resultado.
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