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AMB__
Nivel 3
Registrado: 04 Abr 2013
Mensajes: 25
Carrera: Informática
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Hola!
Siguiendo con la temática de hacer acá las preguntas que tendría que estar haciéndole a mis profesores :p,
les traigo una pregunta sobre el ejercicio 12 de la práctica 3 de la guía que está en la página de la materia.
El ejercicio dice: probar que la función ![[tex]f(x,y) = \sqrt[2]{x^2+y^2}[/tex]](images/latex/4a3de3d01570340f81b7f19d846b47bac8183652_0.png "[tex]f(x,y) = \sqrt[2]{x^2+y^2}[/tex]") tiene derivadas direccionales en todas las direcciones en el origen de coordenadas.
Según el enunciado, asumo que la función tiene efectivamente derivadas direccionales en todas direcciones en el origen de coordenadas.
Ahora... eso es un cono. A mí no me joden, eso es un cono XD Si interseco con cualquier plano que contenga al eje z me debería quedar una función módulo que se que no es derivable en 0.
También, si calculo la derivada direccional según un versor [/tex]](images/latex/9d8f24dcf60e578843f0c071c289c014bc072d13_0.png "[tex](a, b)[/tex]") me queda...
![[tex]\lim_{h \to 0} (a^2+b^2)|h|/h[/tex]](images/latex/0a4383da7d1bbc2a621873edcf6020462e01fc32_0.png "[tex]\lim_{h \to 0} (a^2+b^2)|h|/h[/tex]") que es igual a ![[tex]\lim_{h \to 0} |h|/h[/tex]](images/latex/ca128c884c218fbcac5dbca31a70b4341df949c8_0.png "[tex]\lim_{h \to 0} |h|/h[/tex]") por ser versor.
Entonces, el límite desde los positivos me da 1 y el límite desde los negativos me da -1. O sea, no existe ese límite por lo que no deberían existir las derivadas en ese punto. Me parece coherente, o sea, es una función módulo rotada no? :l
Pero como el ejercicio está en la guía oficial y no en los resueltos que fulano sin nombre resolvió, supongo que soy yo el que le está pifiando (probablemente en alguna boludes, como pasa siempre -.-)
Si alguien me da una mano y me aclara la duda le agradecería.
Saludos, gracias.
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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Te había respondido pero como se me rompió el cerebro no lo puse bien..
Esta bien; hacer la derivada direccional para un versor ![[tex]\bar{v}[/tex]](images/latex/da677d6e5ccc4a21eab4ce7a07a492d8430ebedf_0.png "[tex]\bar{v}[/tex]")
![[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(\bar{x}+h\bar{v})-f(\bar{x})}{h}[/tex]](images/latex/5e77b51dd20c36ffa2af9ba2dd1ce067da407bbe_0.png "[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(\bar{x}+h\bar{v})-f(\bar{x})}{h}[/tex]")
es lo mismo que:
![[tex]\nabla f \cdot \bar{v}[/tex]](images/latex/6122db9fb1092e3c65c8808be3c0d7804aa88cd6_0.png "[tex]\nabla f \cdot \bar{v}[/tex]")
como
![[tex]\nabla f = \left (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} ,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )[/tex]](images/latex/2ce9685bb21152abdeb03147f04c2d4f94c75d01_0.png "[tex]\nabla f = \left (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} ,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right )[/tex]")
en =(0,0)[/tex]](images/latex/a4ecd06ffe0a8e29a0d79640248168def34b27c3_0.png "[tex](x_0,y_0)=(0,0)[/tex]") no es derivable
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Franzl escribió:
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es lo mismo que:
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No, esas dos cosas son equivalentes en el caso de que la función sea diferenciable. Trivialmente, esta no lo es ya que es la generalización de ![[tex]|x|[/tex]](images/latex/60b0c1040741e936057d67349f30277ea5bd8316_0.png "[tex]|x|[/tex]") para dos variables.
Mirándolo rápido parecería como que las derivadas direccionales existen y dan uno, mañana hago las cuentas y cualquier cosa posteo.
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liebe_ist
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 85
Carrera: No especificada
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Las derivadas direccionales existen y dan efectivamente 1 para todo versor. Sucede que cuando haces el limite, por definicion h-->0+ (o sea, tiende desde los positivos, por definición) y ahi se va ese módulo.
Que estas derivadas direccionales existan no significa que la funcion sea diferenciable, el teorema es :
Si f es diferenciable en un punto --> existen todas las derivadas direccionales en ese punto ( y no visceversa ).
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AMB__
Nivel 3
Registrado: 04 Abr 2013
Mensajes: 25
Carrera: Informática
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Entonces las derivadas direccionales se calculan solo con h tendiendo a 0 desde los positivos?
Gracias por las respuestas.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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![[tex] \lim_{\vec h \to (0,0)} \frac {\sqrt {\vec h. \vec h} - 0}{\vec |h|} [/tex]](images/latex/21d7ee4a679bf4b34588786950d6563b821f088e_0.png "[tex] \lim_{\vec h \to (0,0)} \frac {\sqrt {\vec h. \vec h} - 0}{\vec |h|} [/tex]")
Lo podés escribir como
![[tex] \lim_{r \to 0} \frac {\sqrt { (r. \cos \theta)^2 + (r . \sin \theta)^2}}{r} = \lim_{r \to 0} \frac {r . \sqrt {\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta}}{r} = \lim_{r \to 0} \frac {r}{r} = 1[/tex]](images/latex/d27e2ac14d7d1a56a1763d01d376328501f64464_0.png "[tex] \lim_{r \to 0} \frac {\sqrt { (r. \cos \theta)^2 + (r . \sin \theta)^2}}{r} = \lim_{r \to 0} \frac {r . \sqrt {\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta}}{r} = \lim_{r \to 0} \frac {r}{r} = 1[/tex]")
En algún lado me mandé alguna, estoy casi seguro, mañana a la tardecita lo corrijo. Si aún no vieron cordenadas polares (eso del r y el ángulo) decime y busco encararlo por otro lado.
Saludos
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V-Hugo
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 27 Ene 2013
Mensajes: 36
Carrera: Informática
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Nuestra profe tocó el tema concluyendo que:
- F no es derivable en 0,0
- F no es diferenciable en 0,0
Es que no existen las derivadas parciales
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Vamos a hacerlo un poco más prolijo
![[tex] \lim_{h \to 0} \frac {(f(0,0) + h \vec v) - f (0,0)}{h} =_{f(0,0)=0} \lim_{h \to 0} \frac {(f(0,0) + h \vec v) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac {\sqrt{ (0 + hv_x)^2 + (0+hv_y)^2}}{h} [/tex]](images/latex/7d79a5718b11137003127496e20a5c9883fa9d28_0.png "[tex] \lim_{h \to 0} \frac {(f(0,0) + h \vec v) - f (0,0)}{h} =_{f(0,0)=0} \lim_{h \to 0} \frac {(f(0,0) + h \vec v) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac {\sqrt{ (0 + hv_x)^2 + (0+hv_y)^2}}{h} [/tex]")
![[tex] \lim_{h \to 0} \frac {\sqrt { h^2 \left ( (v_x)^2 + (v_y)^2 \right ) } } {h} = \lim_{h \to 0} \frac {|h|\sqrt {(v_x)^2 + (v_y)^2 } } {h} [/tex]](images/latex/d0621be766f7507537f5d52ce90f2e87f518eb5f_0.png "[tex] \lim_{h \to 0} \frac {\sqrt { h^2 \left ( (v_x)^2 + (v_y)^2 \right ) } } {h} = \lim_{h \to 0} \frac {|h|\sqrt {(v_x)^2 + (v_y)^2 } } {h} [/tex]")
Límite que no existe.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| sabian_reloaded escribió:
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[...] Límite que no existe.
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... a menos que lo definas para ![[tex]h \to 0^{+}[/tex]](images/latex/7dc2074a3ba5f63da950ae569a5b8de209c24b25_0.png "[tex]h \to 0^{+}[/tex]") , en cuyo caso sí existe y da ![[tex]\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = 1[/tex]](images/latex/82df8cef469260bdafa4e48a67fff822bd37656d_0.png "[tex]\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = 1[/tex]") , considerando que derivada direccional se define para ![[tex]\|\vec v\| = 1[/tex]](images/latex/da6716720a0cde9b248ba7dca490b90620d5f6ba_0.png "[tex]\|\vec v\| = 1[/tex]") . Es lo que escribió liebe_ist más arriba.
| AMB__ escribió:
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Entonces las derivadas direccionales se calculan solo con h tendiendo a 0 desde los positivos?
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Fijate cómo lo definieron "oficialmente" en la clase teórica para sacarte la duda, pero si el problema dice "probar que la función [...] tiene derivadas direccionales" en vez de "determinar si la función [...] tiene derivadas direccionales", seguramente sí.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Si Huey 7, primero había puesto que dependía que entendía uno por derivada direccional... si tenía que existir en la dirección o en el sentido dado, pero después lo edité y borré porque creo que confundía más. En Análisis II se suele definir en ambas direcciones y por eso h puede ser tanto positivo como negativo, si uno tomara una aplicación física, seguramente no tendría problemas con esa asimetría y serían datos valiosos igual.
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