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LargoXXI
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 2059
Ubicación: Ciudad de Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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¡Buenas a todos!
Les traigo el siguiente desafío, a ver quién lo puede resolver.
Sean ![[tex]A, B, F \in R^{n \times n}[/tex]](images/latex/12db6b2f6d1e9f7434429b8b0ff6e7b5958287cc_0.png "[tex]A, B, F \in R^{n \times n}[/tex]") tales que ![[tex]A=A^{T}[/tex]](images/latex/d2da0a50266b1d42a0d0252b7dbc4f2c9a6ff267_0.png "[tex]A=A^{T}[/tex]") y definida positiva, ![[tex]F=F^{T}[/tex]](images/latex/cfd24d9531d8228387cb90a6c0b71714df962017_0.png "[tex]F=F^{T}[/tex]") y definida positiva, y tales que
![[tex] (A ( A+B)^{-1})^{T} (A(A+B)^{-1})=F[/tex]](images/latex/9ca64ca6082334bbd814b15d2d06fd045bba2fb3_0.png "[tex] (A ( A+B)^{-1})^{T} (A(A+B)^{-1})=F[/tex]")
Entonces, si ![[tex]F^{1/2}[/tex]](images/latex/f2ea84e58ec221b2d4d61bd6e15c67d26a17a144_0.png "[tex]F^{1/2}[/tex]") es la única matriz simétrica y definida positiva tal que ![[tex]F^{1/2} F^{1/2} = F[/tex]](images/latex/c4994cb91b0ea751f0c9a25e51c3a80875e9007c_0.png "[tex]F^{1/2} F^{1/2} = F[/tex]") , y además yo tengo que ![[tex]G^{T} G = F[/tex]](images/latex/d7e1c49146397e6119360d13c79ac69ecc0902b5_0.png "[tex]G^{T} G = F[/tex]") para una G no simétrica, puedo escribir esa G como ![[tex]G = U F^{1/2}[/tex]](images/latex/eb9f3a7c9a83f9ccde832a282eefae39c5a9a3fe_0.png "[tex]G = U F^{1/2}[/tex]") con ![[tex]U \in R^{n \times n}[/tex]](images/latex/9c45e68a3d1316af0a8334a27eaab4bafd067cc5_0.png "[tex]U \in R^{n \times n}[/tex]") ortogonal, ![[tex]U^{T}=U^{-1}[/tex]](images/latex/808ec5bfcc36de2581c1a21aee576fd68f566523_0.png "[tex]U^{T}=U^{-1}[/tex]") .
Con lo cual, yo podría escribir
![[tex]A ( A+B)^{-1} = U F^{1/2}[/tex]](images/latex/4fe9edb19b8dbb47593d6b03b1ee9fb842e6e591_0.png "[tex]A ( A+B)^{-1} = U F^{1/2}[/tex]")
![[tex]B = (F^{-1/2}U^{T}-I) A[/tex]](images/latex/1db1f7ad62a4cc68a56ca488d72a83ac8aeb9567_0.png "[tex]B = (F^{-1/2}U^{T}-I) A[/tex]")
La pregunta es:
¿Existe AL MENOS UNA matriz ortogonal ![[tex]U[/tex]](images/latex/9817e7675b6edb3a5d569b307744275351d202b2_0.png "[tex]U[/tex]") tal que la matriz ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") sea simétrica?
¡¡Gracias!!
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"La violencia es el argumento de los incapaces"
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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2 preguntas: (1) cuando decís "puedo escribir", exactamente, ¿en qué te basas para afirmar eso?. Y (2), ¿probaste con ![[tex]U = I[/tex]](images/latex/927c41b7437d3471b2759278087220346685a554_0.png "[tex]U = I[/tex]") ?.
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LargoXXI
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 2059
Ubicación: Ciudad de Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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A ver las preguntas.
Voy con la más fácil: Si yo pongo , me queda
![[tex] B = ( F^{-1/2} - I ) A [/tex]](images/latex/705184b0431f2b67c5b33166312a2787f2175a7e_0.png "[tex] B = ( F^{-1/2} - I ) A [/tex]")
![[tex] B = F^{-1/2} A - A [/tex]](images/latex/aab3a38aa9ad10590b4798107abe903a6c2cf17f_0.png "[tex] B = F^{-1/2} A - A [/tex]")
![[tex] B^{T} = A F^{-1/2} - A [/tex]](images/latex/19358753631fe58f73b1f70c95d3eccf663d2125_0.png "[tex] B^{T} = A F^{-1/2} - A [/tex]")
Es decir, B es simétrica, ![[tex]B = B^{T}[/tex]](images/latex/cf15e1bb38ab3a4876c05396ea55e5a4074c919d_0.png "[tex]B = B^{T}[/tex]") únicamente si ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") y ![[tex]F^{-1/2}[/tex]](images/latex/8e6e766ee07743b177dda89f7c8788b124998d5e_0.png "[tex]F^{-1/2}[/tex]") conmutan, cosa que no es cierta para cualquier A y F simétricas y definidas positivas.
Por otro lado, si yo tengo que un producto de matrices de la forma con ![[tex]F[/tex]](images/latex/bb62e9cec12b60fee997f43b7a79e0fc0e7b08f3_0.png "[tex]F[/tex]") definida positiva, sé que yo siempre puedo escribir F como el producto de dos matrices iguales. Ahora bien, la raíz cuadrada de una matriz se define como la única de estas matrices que es simétrica y definida positiva, . Es decir, de todas las posibles matrices G tales que , la única que es simétrica y definida positiva es ![[tex]G = F^{1/2}[/tex]](images/latex/5120e0701bfdd7fabf4813c4978ccd19782715ce_0.png "[tex]G = F^{1/2}[/tex]") .
Ahora bien, como yo tengo que pero ![[tex] G [/tex]](images/latex/82fe7a3c8d2d8c3699dca4e9b1a59c724463c04a_0.png "[tex] G [/tex]") no es simétrica porque
![[tex]A ( A+B )^{-1}[/tex]](images/latex/d580c7d0e17a321ab0f354017bf6247cb09ddc3f_0.png "[tex]A ( A+B )^{-1}[/tex]")
no es simétrica, entonces hay un teorema que dice que yo puedo escribir esa G como para alguna U ortogonal, de hecho, si te fijás,
![[tex] G^{T} G = (U F^{1/2})^{T} (U F^{1/2}) = F^{1/2} U^{T} U F^{1/2} = F^{1/2} F^{1/2} = F [/tex]](images/latex/16b97c1d39c38ebe91e1479b9c6d2ceda3bae92a_0.png "[tex] G^{T} G = (U F^{1/2})^{T} (U F^{1/2}) = F^{1/2} U^{T} U F^{1/2} = F^{1/2} F^{1/2} = F [/tex]")
Entonces, si G es no simétrica (como en este caso) yo no puedo decir ![[tex]G=F^{1/2}[/tex]](images/latex/5bff368f53cb960f4088b7d2e6435d00ce71bff3_0.png "[tex]G=F^{1/2}[/tex]") pero sí puedo decir ![[tex] G = U F^{1/2} [/tex]](images/latex/696a240a4b47fec93f5938a5005d263976164c00_0.png "[tex] G = U F^{1/2} [/tex]") con U ortogonal.
Espero haberme explicado lo suficiente para que se entienda algo, sino preguntame y sigo expandiendo sobre el problema.
¡¡Gracias!!
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"La violencia es el argumento de los incapaces"
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Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
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| De donde sacaste ese problema? Ese teorema que mencionaste no lo dieron cuando lo curse Jaja
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| koreano escribió:
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Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
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![[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]](images/latex/13b8d7c5145650bf52e1ab2f2b452a407c64bb37_0.png "[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]")
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LargoXXI
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 2059
Ubicación: Ciudad de Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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Es un problema con el que me topé y que estoy tratando de resolver.
Yo tengo que probar que, para B definida como
![[tex]B = ( F^{-1/2} U^{T} - I ) A[/tex]](images/latex/f937b3f17a78998480a422d29aabca5f3be7a62e_0.png "[tex]B = ( F^{-1/2} U^{T} - I ) A[/tex]")
Existe al menos un ortogonal que haga que sea simétrica y definida positiva. Yo estoy por la parte de simetría recién.
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"La violencia es el argumento de los incapaces"
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lamorsa
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 14 Nov 2009
Mensajes: 671
Ubicación: Monte Grande (Far South)
Carrera: Informática y Sistemas
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Capas que ya lo pensaste y estoy diciendo algo obio,pero intentaste partiendo de la hipotesis de que exista una B simetrica y definida positiva y de ahi tratar de llegar a una expresión de
Redefiniendo a como ![[tex]B = U D U^{T}[/tex]](images/latex/c6910481c52b55e8f6cd943544eeac7ce31df3ef_0.png "[tex]B = U D U^{T}[/tex]") donde ![[tex]D[/tex]](images/latex/4db8f2a83e5bb46f76520cf5386485420f2aeacf_0.png "[tex]D[/tex]") es una matriz Diagonal con autovalores reales.(Esto ultimo es por el teorema espectral)
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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¿B tiene que tener necesariamente la forma que pedís? Porque, dadas A y F, si no me estoy equivocando, se puede fabricar una B simétrica que cumpla ![[tex][A(A + B)^{-1}]^T [A(A + B)^{-1}] = F[/tex]](images/latex/68adc541cb76b6e31b2b64f97eaf8fa0e240cd43_0.png "[tex][A(A + B)^{-1}]^T [A(A + B)^{-1}] = F[/tex]") haciendo:
![[tex]B = A(AFA)^{-1/2}A - A[/tex]](images/latex/28e2541582fadf46144d502220fc425cbfc8e6b2_0.png "[tex]B = A(AFA)^{-1/2}A - A[/tex]")
Ahora, sobre si será definida positiva, esa resta ahí complica las cosas... Cada uno de los términos, individualmente, sí lo es.
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LargoXXI
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 19 Sep 2007
Mensajes: 2059
Ubicación: Ciudad de Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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| Huey 7 escribió:
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¿B tiene que tener necesariamente la forma que pedís? Porque, dadas A y F, si no me estoy equivocando, se puede fabricar una B simétrica que cumpla haciendo:
Ahora, sobre si será definida positiva, esa resta ahí complica las cosas... Cada uno de los términos, individualmente, sí lo es.
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¡¡¡Genio!!!
¿Cómo la encontraste? Digo, yo encaré el problema pensando en la raíz cuadrada para no tener que pensar todo junto, y por eso introduje esa matriz U que vos acá no usaste.
¿Cómo fue que lo pensaste?
EDIT: Un error en el razonamiento anterior.
Que sea definida positiva a estas alturas ya no me calienta tanto, aunque casi seguro que lo es. Ya con esto tengo suficiente como quería.
¡¡Mil gracias, chabón!! ¡Me tranquilizaste todo el fin de semana!
Ahora, tengo muchísima intriga y curiosidad cómo se te ocurrió proponer esa
Gracias!!!!!!!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| LargoXXI escribió:
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¡Me tranquilizaste todo el fin de semana!
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¿Para tanto? 
| LargoXXI escribió:
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Ahora, tengo muchísima intriga y curiosidad cómo se te ocurrió proponer esa B
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Me imaginé que lo que en realidad querías era una B simétrica que cumpliera la condición . Y que la condición ![[tex]A(A + B)^{-1} = UF^{1/2}[/tex]](images/latex/b6e418a68e2e753cb2e4a3674bd4828ee8eafd92_0.png "[tex]A(A + B)^{-1} = UF^{1/2}[/tex]") era un extra, salido de la forma en que vos habías decidido encarar el problema. Veo que acerté.
Pensando al estilo LaMorsa, dije: "bueno, supongamos que B fuera simétrica, aunque no la conozca, ¿qué implicaría eso?". Entre otras cosas, que A + B debe ser simétrica también, y ^{-1}[/tex]](images/latex/a505ec27593a42c09e83c6f3faf47d976457e237_0.png "[tex](A + B)^{-1}[/tex]") , también. Llamémosla P. Entonces, la condición a cumplir para P es:
^T AP = P^T A^T A P = PAAP = F[/tex]](images/latex/8740e19f1e151e180a619dc43649ec1ba43fd83d_0.png "[tex](AP)^T AP = P^T A^T A P = PAAP = F[/tex]")
Luego, mirando eso, dije: "qué lástima que A queda adentro del sandwich, si estuviera afuera, se podría resolver":
![[tex]APPA = F \Rightarrow PP = A^{-1}FA^{-1}[/tex]](images/latex/b47d31745da47fbdc0c5fa6ebbc440c6c2d78f5c_0.png "[tex]APPA = F \Rightarrow PP = A^{-1}FA^{-1}[/tex]")
Y ahí se podría elegir ![[tex]P = (A^{-1}FA^{-1})^{1/2}[/tex]](images/latex/e24b292b2808a43e6ae388351d2658368d66ca0a_0.png "[tex]P = (A^{-1}FA^{-1})^{1/2}[/tex]") , cosa que se puede, porque ![[tex]A^{-1}FA^{-1}[/tex]](images/latex/f4cf7a684ff80285ee94e0aea353f5ff6761ffbc_0.png "[tex]A^{-1}FA^{-1}[/tex]") es simétrica y definida positiva. Y, de yapa, P sería simétrica, como se quería, y definida positiva.
Entonces, busqué una P simétrica que "invierta el sandwich", y pensé ![[tex]P = A^{-1}QA^{-1}[/tex]](images/latex/5e7936d48357d307251d362187a45e8a275e59c4_0.png "[tex]P = A^{-1}QA^{-1}[/tex]") ya que:
![[tex]PAAP = A^{-1}QQA^{-1} = F \Rightarrow QQ = AFA[/tex]](images/latex/ae68ddeb1a16d812c6be96efd203aa5613ba49ed_0.png "[tex]PAAP = A^{-1}QQA^{-1} = F \Rightarrow QQ = AFA[/tex]") , y se elige ![[tex]Q = (AFA)^{1/2} \Rightarrow B = P^{-1} - A = AQ^{-1}A - A[/tex]](images/latex/ef37737c269eb67f9c13e1a5bfe0cd3ab4d72371_0.png "[tex]Q = (AFA)^{1/2} \Rightarrow B = P^{-1} - A = AQ^{-1}A - A[/tex]")
Esto no se me ocurrió en 5 minutos, ni así como lo estoy resumiendo. Esto es una "decantación" de lo que fui pensando, y después de intentar algunos caminos que no me llevaron a nada.
| LargoXXI escribió:
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EDIT: Un error en el razonamiento anterior.
Que sea definida positiva a estas alturas ya no me calienta tanto, aunque casi seguro que lo es.
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(Veo que editaste)
![[tex]Q = (AFA)^{1/2}[/tex]](images/latex/0ef2b6b5a0e938f8d87a25df7a650ac9d1ed140a_0.png "[tex]Q = (AFA)^{1/2}[/tex]") es definida positiva seguro, y ![[tex]AQ^{-1}A[/tex]](images/latex/6086c7e6c4b93eb012779dce210e42ff695e43e4_0.png "[tex]AQ^{-1}A[/tex]") también, pero B es la resta entre eso y A. Si fuera una suma, como cada término es definido positivo, B lo sería también con seguridad. Pero es una resta. Aunque si no importa tanto... 
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LargoXXI
Nivel 9
Edad: 35
Registrado: 19 Sep 2007
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Ubicación: Ciudad de Buenos Aires
Carrera: Electrónica
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¡¡Genial!! ¡¡Gracias!!
Sí, sí. Tenía que tener este resultado para mañana, supuestamente, y ya me había resignado.
Lo otro no debería haberlo editado, ¿no? :$
Pero sí. Tendría que analizar bien las condiciones, pero creo que igual es definida positiva. Igual después lo pienso bien (salvo que se te ocurra algo), pero ya sacarme de encima la simetría me representa un paso gigantezco.
¡¡Gracias!!
¡Y muchas gracias por tomarte el tiempo de revisarlo!
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