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tatocristobal
Nivel 3
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Tengo dos definiciones de Momento Angular de un Rígido. Y son diferentes (a menos que A sea un punto del borde). En el gráfico que adjunto se ve todo clarito.
Alguien me puede decir cual esta bien, cual esta mal y porque.
Gracias.
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tatocristobal
Nivel 3
Edad: 33
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koreano
Nivel 9
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Están las dos mal, tenés errores conceptuales boludos:
1) Aplicaste mal el teorema de Steiner, si cambiás el momento de inercia hacia el punto A, entonces tenés que medir la velocidad angular con respecto a ese punto! En cambio, le mandaste ![[tex]\omega[/tex]](images/latex/259e7d0d285148024daf9bf600a78a97db60ec9b_0.png "[tex]\omega[/tex]") que es la velocidad con respecto al CM y no A.
2) Te olvidaste del seno del ángulo cuando calculás el producto vectorial en la definición de momento angular orbital.
En este punto te recomendaría que pares de leer y trates de hacerlo de vuelta sin seguir leyendo mi posible solución.
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Te dije que pares de leer. Bueh, jodete. La deducción que se me ocurre a mí es:
![[tex]\vec{L}_A = \vec{I}_{\text{spin,CM}} + \vec{I}_{\text{orb,A}}[/tex]](images/latex/245c47f83def1a86d40022ed0c6224052eaa226c_0.png "[tex]\vec{L}_A = \vec{I}_{\text{spin,CM}} + \vec{I}_{\text{orb,A}}[/tex]")
![[tex]\vec{L}_A = I_{CM} \cdot \vec{\omega} + m(\vec{R}_A \times \vec{v}_{CM})[/tex]](images/latex/b6fd12a4c9e102715786b922b31ac2a6d1f2c96a_0.png "[tex]\vec{L}_A = I_{CM} \cdot \vec{\omega} + m(\vec{R}_A \times \vec{v}_{CM})[/tex]") , donde ![[tex]\vec{v}_{CM} = \vec{\omega} \times \vec{R_e}[/tex]](images/latex/ce130e1a4e921974251f605c53b2e161588df393_0.png "[tex]\vec{v}_{CM} = \vec{\omega} \times \vec{R_e}[/tex]")
Reemplazando y tomando magnitudes:
![[tex]L_A = I_{CM} \omega + m R_A \omega R_e \sin(\theta)[/tex]](images/latex/7364fc020a8916686d0daf9c67acf579cec1cb69_0.png "[tex]L_A = I_{CM} \omega + m R_A \omega R_e \sin(\theta)[/tex]")
Donde ![[tex]\theta[/tex]](images/latex/623ca5ecf32c4e6b02fcc22cbf1dfe7a6a952c22_0.png "[tex]\theta[/tex]") es el ángulo entre ![[tex]\vec{v}_{CM}[/tex]](images/latex/73d73506e5e6f3bbaea5a0cddc51f3027a9dd26f_0.png "[tex]\vec{v}_{CM}[/tex]") y ![[tex]\vec{R}_A[/tex]](images/latex/a5c89a759140cefeb392fd0c7e4d1a0b221f3662_0.png "[tex]\vec{R}_A[/tex]")
Hay una manera de simplificar esta expresión. Lo que tenemos gráficamente es:
Como el ángulo que podemos tomar puede ser cualquiera de los dos, ![[tex]\alpha[/tex]](images/latex/41745e18c1d8f48f052e396eae97bc8db739704f_0.png "[tex]\alpha[/tex]") o (en otras palabras, el seno es simétrico respecto de ![[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/099837c8b41b61b95e1af79a9a70edec6d66bbd8_0.png "[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]") y se cumple que ![[tex]\alpha + \theta = \pi[/tex]](images/latex/9457c0a364b69824cc3c92653f862d2bb52e1ec0_0.png "[tex]\alpha + \theta = \pi[/tex]") ), tomamos:
![[tex]\sin(\theta) = \sin(\alpha) = \frac{k}{R_A}[/tex]](images/latex/0cd5b1bfce0aeb3735406670edada69522478d54_0.png "[tex]\sin(\theta) = \sin(\alpha) = \frac{k}{R_A}[/tex]") (por trigonometría)
Si reemplazamos en la fórmula original que teníamos
![[tex]L_A = I_{CM} \omega + m R_A \omega R_e \frac{k}{R_A}[/tex]](images/latex/f59bf51815445658a40e004b11bc90123065087b_0.png "[tex]L_A = I_{CM} \omega + m R_A \omega R_e \frac{k}{R_A}[/tex]")
![[tex]L_A = I_{CM} \omega + m \omega R_e k[/tex]](images/latex/a950aa85e7dc02ab8df2e619600b9122074839e5_0.png "[tex]L_A = I_{CM} \omega + m \omega R_e k[/tex]")
O sea que para tener el momento angular bien definido con una cantidad mínima de datos, te conviene tomar un punto donde conocés la distancia perpendicular (la vertical en el gráfico, ![[tex]k[/tex]](images/latex/de61dde472a066a5b90a2ff0be7a2f756110011b_0.png "[tex]k[/tex]") ) y después no te tenés que preocupar por distancias y ángulos. Por ejemplo, si tomás el punto de apoyo (ie, el CIR) en cualquier instante, sabés que la distancia perpendicular va a ser ![[tex]R_e[/tex]](images/latex/59c009848a8f33eb5b2f91d9ca6b8f6271d8eb2a_0.png "[tex]R_e[/tex]") .
En otras palabras, vos sabés que no hay torques netos actuando con respecto al punto A, ya que no hay fuerza neta sobre el cuerpo rígido. Por lo tanto, el momento angular se conserva. Por lo tanto, vale lo mismo sin importar en qué momento lo calcule (siempre con respecto al mismo punto). El momento mas fácil para calcularlo es cuando el ángulo entre ![[tex]\vec{r}[/tex]](images/latex/00d651c1e701a3553a28cffef66b538caf8a380f_0.png "[tex]\vec{r}[/tex]") y ![[tex]\vec{v}[/tex]](images/latex/63a642d2a1d6247bafad54e4b9523d74ffc126b7_0.png "[tex]\vec{v}[/tex]") es 90 y por lo tanto el seno es 1. En este caso, ![[tex]r[/tex]](images/latex/7fca68834c90d92622ea606b0bd71f7d42531d19_0.png "[tex]r[/tex]") es la distancia perpendicular (la mínima distancia) entre el punto de referencia y el CM.
Si te interesa verlo mas dinámicamente, está bien explicado acá: http://oyc.yale.edu/physics/phys-200/lecture-11 , minuto 60~ aprox. Aunque es el caso de una masa puntual, la idea es la misma (solo falta el término orbital).
Si no entendiste el post, te recomiendo que mires el video y lo vuelvas a releer. Si entendiste el post, bien, porque esto es algo que se tarda en digerir y mucha gente aprueba sin tener estos conceptos claros.
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tatocristobal
Nivel 3
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Espectacular, muchas gracias! Entendí mis errores. No dudo sobre el conocimiento del profesor del video, pero el rigid body me hacia mal a la cabeza. Me queda una duda sobre la conservacion de L. Froz no hace torque?
Si te puedo robar un minuto mas, te paso el 2 del final pasado que lo hice mal, asi termino de entender:
2)Se suelta una esfera homogenea de masa M y radio Re desde el reposo tal que en todo el trayecto rueda sin deslizar y da la vuelta un rulo de radio Rr sin caerse. (Dan el tipico grafico de una bola que cae por una pendiente y dsp se encuentra con un rulo).
Pide: Hallar el momento angular de la esfera en el punto mas alto del rulo respecto de C (centro del rulo). ¿Se conserva dicho momento respecto de C? ¿Y de cualquier otro punto del rulo?
Muchisimas gracias enserio!
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koreano
Nivel 9
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En este caso si está en rodadura, la fuerza de rozamiento es 0. Por qué habría de ser distinta de 0? (independientemente de que no pusiste ningun dato de coeficientes de rozamiento)
Para el otro que posteaste: para hallar el momento angular hallás la velocidad (por consideraciones energéticas) en la parte mas alta y hacés la cuentita ![[tex]\vec{L} = m(\vec{r}_{C} \times \vec{v})[/tex]](images/latex/51ee7de17c04068229c7322d71cd549bc6fee14e_0.png "[tex]\vec{L} = m(\vec{r}_{C} \times \vec{v})[/tex]") . Y no, no se conserva porque la fuerza peso está haciendo torque en todo momento. De hecho, la magnitud de la velocidad tangencial es función de la altura (h, ponele) así que no veo como ![[tex]|L(h)| = R \cdot v(h) \cdot \sin(\pi/2)[/tex]](images/latex/cee0552707657049dc08f4aa69392eaaf1643f5b_0.png "[tex]|L(h)| = R \cdot v(h) \cdot \sin(\pi/2)[/tex]") puede ser constante. Y no importa desde que punto lo elijas, tenés cosas que dependen de la altura, incluso si elegís un punto B (distinto de C), la distancia entre dicho punto y el cuerpo va a depender de la altura además de la velocidad, así como el ángulo entre los dos vectores.
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Grimmjow
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| Pero en el punto mas alto tenes que el vector P es paralelo al vector Rc...Entonces da cero el prod vectorial, no se conservaria entonces..?
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Grimmjow
Nivel 3
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| Otra cosa para sacar el L en el punto mas alto, no tenes q poner el Spin tambien?
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tatocristobal
Nivel 3
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Genial. Cada vez afilo mas las dudas, rindo mña y no sabes como me estas ayudando, en serio muchas gracias. Me queda sobre Lc:
-L=m(rc x v) seria el L orbital, el L spin no lo pones pq es 0?
Y sobre torque:
-Entiendo que P hace torque en todo momento, pero no cuando esta arriba. Rc y P estan sobre el mismo eje y el producto vectorial me da 0.
-En este caso la Froz si hace torque o no? Y cuando la grafico en el DCL la pongo en el centro de masa o en el CIR?
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koreano
Nivel 9
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Pero en el punto mas alto tenes que el vector P es paralelo al vector Rc...Entonces da cero el prod vectorial, no se conservaria entonces..?
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Que sea 0 en un punto no quiere decir que sea 0 siempre. Lo que tenés que analizar es la conservación de L con respecto al tiempo, no que L en sí sea cero.
![[tex]\vec{L} = 0[/tex]](images/latex/d3ba9670fa3f442825fc56f0657999793c52ac34_0.png "[tex]\vec{L} = 0[/tex]") no es lo mismo que ![[tex]\frac{ \partial \vec{L} }{ \partial t} = 0 \rightarrow \vec{L} = \text{kte.}[/tex]](images/latex/b870f0627d4b7d9d84937879562b8e4db7ed6467_0.png "[tex]\frac{ \partial \vec{L} }{ \partial t} = 0 \rightarrow \vec{L} = \text{kte.}[/tex]") .
| Cita:
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Otra cosa para sacar el L en el punto mas alto, no tenes q poner el Spin tambien?
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| Cita:
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-Entiendo que P hace torque en todo momento, pero no cuando esta arriba. Rc y P estan sobre el mismo eje y el producto vectorial me da 0.
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Ah perdón, me olvidé del término por el spin. Definitivamente tiene que estar. Y además, depende de la altura (porque la velocidad angular depende de la velocidad tangencial que depende de la altura).
| Cita:
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-En este caso la Froz si hace torque o no? Y cuando la grafico en el DCL la pongo en el centro de masa o en el CIR?
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Sí, también hace torque. Cuando hacés el DCL de un cuerpo no puntual, las fuerzas van en el punto de aplicación de la fuerza. En este caso el CIR.
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Grimmjow
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| Cita:
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Que sea 0 en un punto no quiere decir que sea 0 siempre. Lo que tenés que analizar es la conservación de L con respecto al tiempo, no que L en sí sea cero.
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hmm..disculpá pero no capto bien eso de la conservacion de L, yo pensaba que si me dicen "¿Se conserva L (pto mas alto del rulo) respecto del centro del rulo(C)?" hago la clasica: sumatoria de torques = dL/dt, como la sum de torques es 0, se conserva L...Esta mal eso??
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tatocristobal
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| Claro, yo entiendo que no se conserve el L orbital en todo el trayecto rulo. Pero si me preguntan sobre la conservación en el punto mas alto que onda?
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koreano
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La conservación de momento angular es con respecto al tiempo, no tiene sentido preguntarse "se conserva el momento angular en este punto/instante". Tenés que considerar una trayectoria.
O estás malinterpretando el enunciado, o te están haciendo una pregunta con trampa para que caigas como papanatas.
CONSERVACION DE MOMENTO ANGULAR:
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Grimmjow
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| Si es media mala leche esa pregunta...
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tatocristobal
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| Jaja tal cual el delta t ahi es mas fuerte que si el profesor es un boludo. Gracias Koreano, te pasaste.
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