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Final 05/07
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Foros-FIUBA Foros » Académico » Materias » 61. Matemática » 61.03/81.01 Análisis Matemático II A » Final 05/07

Autor

Mensaje

fiw
Nivel 5

Edad: 32
Registrado: 25 Mar 2010
Mensajes: 195

Carrera: Electrónica
CARRERA.electronica.5.gif

Publicado: Mar Jul 10, 2012 10:49 pm Asunto: (Sin Asunto)

Granada escribió:

loonatic escribió:

gmn88 escribió:

ahi vos como sabes que el radio va de 0 a la raiz?
no podria ser que el radio vaya desde la raiz negativa a la raiz positiva?

Contame, que se siente al ver un circulo de radio -78?

:p

No había necesidad de contestar así.

Pelotuda.

Ah sos re malito jajajajaja nos morimos de miedo

_________________
La razón acabará por tener razón

Elmo Lesto
Nivel 8

Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
CARRERA.mecanica.3.jpg

Publicado: Mie Jul 11, 2012 12:47 am Asunto: (Sin Asunto)

Nico_topo: hasta ahora, el llevar o no firmada la libreta dependía del curso. En algunas prácticas te asentaban la cursada en la libreta durante el cuatrimestre, en otras no. No sé si ahora cambiará un poco la cosa con el tema de que se sortean los correctores. Si ves que no vas a darla la próxima fecha, y si nadie que la haya cursado con vos te comenta nada, pegate una vuelta la próxima fecha con la libreta y todo, aunque sea como para preguntarle a Troparevsky, y si te firma, mejor, y listo.

Retomo el comentario sobre el último punto:

Espina escribió:

El 5 lo hice aplicando un circunferencia de radio epsilon donde pude comprobar q la circulacion da 0 para toda curva q rodee al origen

Bien, va encaminada la cosa, a mí me parece que le falta una puntita más para cerrarlo todo. Ahí estás diciendo qué pasa cuando tomás una circunferencia de radio arbitrario... ¿Qué pasaría si la curva que rodea al origen no es una circunferencia?
Como pista: sirve mucho el resultado que hallaste para saber qué pasa con este otro caso.

_________________
$[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]$

andrestrofi
Nivel 3

Edad: 32
Registrado: 26 Feb 2012
Mensajes: 37

Publicado: Jue Jul 12, 2012 8:48 am Asunto: (Sin Asunto)

Espina escribió:

el 3 les dio 18pi?
el 5 lo hice aplicando un circunferencia de radio epsilon donde pude comprobar q la circulacion da 0 para toda curva q rodee al origen

una pregunta, como hiciste la parametrizacion ? ,osea a mi me quedo, tita entre o y 2pi, radio entre cero y 3 y z va desde raiz de 9 - radio cuadrado hasta 12 - radio coseno de tita, te pregunto pq me queda un volumen negativo, obviamente tomando como jacobiano R, muchas gracias. Sludos.

nicobrea
Nivel 2

Registrado: 05 Jul 2012
Mensajes: 13

Publicado: Jue Jul 12, 2012 1:29 pm Asunto: (Sin Asunto)


El 1 me dio raiz de 3. El 3 no lo pude hacer, como hacen con los extremos de integracion? Es la parte de afuera de una esfera cortada por un cilindro con eje z y un plano? No lo pude sacar. El 4 me dio 1 de area.

nicobrea
Nivel 2

Registrado: 05 Jul 2012
Mensajes: 13

Publicado: Jue Jul 12, 2012 1:44 pm Asunto: (Sin Asunto)


Por ahi es una burrada, pero F en el 5) no es un campo conservativo? (al menos en R-{0,0}) por lo tanto la circulacion no depende de la trayectoria sino de los puntos de salida y llegada (Circulacion= func.potencial("B") - func.pot("A")) Si el punto de llegada y el de salida coinciden,asi teniendo una curva cerrada, la circulacion es 0.

nicobrea
Nivel 2

Registrado: 05 Jul 2012
Mensajes: 13

Publicado: Jue Jul 12, 2012 2:02 pm Asunto: (Sin Asunto)


Nono, mala mia, el ejercicio 23 d la practica 7 esta resuelto uno muy parecido a este. el resultado es 2pi

andrestrofi
Nivel 3

Edad: 32
Registrado: 26 Feb 2012
Mensajes: 37

Publicado: Vie Jul 13, 2012 6:58 am Asunto: Re: Final 05/07

Elmo Lesto escribió:

Hago el primero.

La ecuación diferencial $[tex]2xy \, dx + x^2 \, dy = 0[/tex]$ es una ecuación diferencial total exacta. Representa el diferencial de un campo escalar $[tex]C^{2}[/tex]$ en $[tex] \mathbf{R} ^ 2 [/tex]$ igualado a 0. Los puntos que cumplen esta ecuación son todos los conjuntos de nivel del campo (justamente, porque ahí, donde el campo se mantiene constante, su incremento es 0), y en particular, hay uno que contiene al (-1,2).
¿Cómo nos damos cuenta de eso? Acá dejo una forma de pensarlo: Si cumple que $[tex]2xy \, dx + x^2 \, dy[/tex]$ es el diferencial de un campo escalar $[tex]C^{2}[/tex]$ , y sabiendo que en estos casos se cumple que $[tex]df=(f_x,f_y) \cdot (dx,dy)[/tex]$ , entonces $[tex]\vec{\nabla}f = (f_x,f_y) = (2xy,x^2)[/tex]$ . Nosotros queremos ver si es verdad que hay (al menos) un campo escalar $[tex]f[/tex]$ que verifica $[tex]\vec{\nabla}f = (2xy,x^2)[/tex]$ . Si el campo que busco es $[tex]C^{2}[/tex]$ en $[tex] \mathbf{R} ^ 2 [/tex]$ (que es abierto), sabemos que, por el lema de Schwarz, las derivadas cruzadas de ese campo escalar tienen que ser iguales. Así que probamos si eso se cumple:
$[tex]f_{xy}=\frac{\partial \left( 2xy \right)}{\partial y}=2x[/tex]$
$[tex]f_{yx}=\frac{\partial \left( x^2 \right)}{\partial x}=2x[/tex]$
Joya, nos dan iguales, lo cual es condición suficiente para decir que hay un campo escalar $[tex]f[/tex]$ que cumple todo esto. Lo buscamos:
$[tex]f_x=2xy[/tex]$ , entonces $[tex]f(x,y)=x^2y+g(y)[/tex]$ , con $[tex]g(y)[/tex]$ a determinar. Derivamos con respecto $[tex]y[/tex]$ , y obtenemos $[tex]x^2 + g'(y)[/tex]$ , lo cual debe ser igual a la segunda componente del gradiente de f, $[tex] x^2 [/tex]$ . Así que $[tex]g'(y)=0[/tex]$ , por lo cual $[tex]g(y)[/tex]$ puede ser cualquier constante arbitraria, que el campo escalar va a seguir cumpliendo lo que queremos. Sacamos una familia de campos: $[tex]f : \mathbf{R} ^ 2 \mapsto \mathbf{R} / f(x,y) = x^2y+c_1[/tex]$ , que cumple todas las hipótesis que decíamos tenía que cumplir. Las curvas de nivel que cumplen la EDTE son $[tex] x^2y+c_1 = c_2 [/tex]$ , para usar una sola constante, las pasamos todas al segundo miembro y a esa diferencia la llamamos k, otra constante. Tenemos $[tex] x^2y = k[/tex]$ . Esta es la familia de curvas de nivel, de todas esas, queremos las que contienen al (-1,2), así que esa constante debe ser tal que cuando especializo el campo en (-1,2), la igualdad se cumple. Haciendo esto, obtengo $[tex]k=2[/tex]$ . Así que la curva que nos interesa es $[tex] x^2y = 2[/tex]$ . Un gráfico de la curva, acá.
Ahora vamos a hallar la distancia mínima entre el origen y la curva. Esto es equivalente a minimizar la función distancia entre el origen y un punto cualquiera de la curva. Cuando la distancia es mínima, el cuadrado de la distancia también lo es, entonces minimizamos el cuadrado de la distancia, que va a ser más cómodo, para no andar complicándonos la vida con raíces.
La curva es $[tex] x^2y = 2[/tex]$ o, lo que es equivalente, $[tex] y = \frac{2}{x^2}[/tex]$ . Podemos pasar dividiendo tranquilos porque sabemos que ningún punto con $[tex]x = 0[/tex]$ va a pertenecer a la curva (es imposible que $[tex] 0^2y = 2[/tex]$ ). Así que, dada la igualdad esa que despejamos, un punto cualquiera de la curva puede escribirse como $[tex] \left( x, \frac{2}{x^2} \right) [/tex]$ , con $[tex] x [/tex]$ distinto de 0.
El cuadrado de la distancia entonces va a ser la función $[tex]d^2: \mathbf{R}-\{ 0 \} \mapsto \mathbf{R} / d^2(x)= x^2 + 4x^{-4}[/tex]$ . Ahora, esto se convierte en un problema de extremos de Análisis I. Derivamos e igualamos a cero:
$[tex]2x-16x^{-5}=0[/tex]$ , esto es $[tex]x^6 = 8[/tex]$ , es decir $[tex] x = \pm \sqrt[6]{8}[/tex]$ . Por el gráfico de la curva se puede ver que con cualquiera de estos dos valores de $[tex]x[/tex]$ obtenemos un mínimo, pero por las dudas lo podemos probar con la segunda derivada, que me da $[tex]2+80x^{-6}[/tex]$ , evaluada en cualquiera de los dos puntos, obtenemos $[tex]2+\frac{80}{8}=2+10=12[/tex]$ , lo cual nos dice, por el criterio de la segunda derivada, que esto es un mínimo.
Especializamos nuestra función cuadrado de la distancia en cualquiera de esos dos valores de $[tex] x [/tex]$ (va a dar lo mismo), y luego le sacamos la raíz a eso que obtenemos para obtener la distancia. Revisá todas las cuentas, a mí la distancia mínima me dio $[tex]\sqrt 3[/tex]$ .

Cualquier cosa que encuentren, corrijan, o pregunten. Sobre todo acerca de las condiciones necesarias y suficientes para cada cosa.

roberto.p.dalpino escribió:

4) calcular el area, dada en coordenadas polares

r²<= 4 cos(2t) pi<=t<=5pi/4

¿Tuviste algún problema con este? Contá cómo lo hiciste cualquier cosa.

roberto.p.dalpino escribió:

5) calcular la circulacion de cualquier curva C cerrada y suave q rodee el punto (0,0)
F(x,y) = (x/(x²+y²), y/(x²+y²))

Se me ocurre una forma de hacerlo, muy rebuscada como para que se le ocurra a alguien en un final... ¿Alguien lo hizo? ¿Cómo lo harían? (Los que la están cursando, en lo posible

)

Hola, mira si te referis al 5) a mi se me ocurre lo siguiente:
el (0,0) No esta en el dominio del campo F, por ende cualquier circunferencia que vos tomes alrededor del origen te va a dar un dominio multiplemente conexo, osea que ya no se cumple una de las propiedades que necesitas para que el campo resulte CONSERVATIVO!!!, aca esta la trampa, que vos digas como las derivadas parciales dan igual y la curva es cerrada, estes tentado a decir que el campo es CONSERVATIVO, por ende la circulacion va a dar cero!!!, ERROR!, justamente no se cumple de que el dominio sea arco-conexo!, por ende por mas que la curva sea cerrada y las derivadas den correctamente, NO va a dar cero esa circulacion. No hice la cuenta pero seguramente va a dar distinto de cero. Smile

Sludos.!

Elmo Lesto
Nivel 8

Edad: 33
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Carrera: Mecánica
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Publicado: Sab Jul 14, 2012 4:26 am Asunto: (Sin Asunto)

Cualquier cosa que no se entienda, pregunten, y si alguno que ya la haya aprobado le pinta pegarle una leída, bienvenido sea, deben haber un par de pifies de dormido.

Nicobrea, guarrrda con sacar conclusiones de un problema particular y llevarlas a otro distinto. Si bien, mirando muy (muy) por arriba, los dos campos se ven parecidos, son muy (muy) distintos. El de la guía es ortogonal a este que tenemos acá, y cambia todo.

Andrés, bien por ponerle onda y responder.
Paso a comentarte algunas cosas.
-Está bien que notes que (0,0) no pertenece al dominio del campo vectorial. El tema es qué es lo que te arruina eso. Para eso, te comento más o menos dos definiciones:
Un conjunto es arco conexo si para cualquier par de puntos en el dominio, podés trazar una curva que los una. Y un conjunto es simplemente conexo si toda curva cerrada que esté en el dominio se puede contraer continuamente a un punto en el dominio. En $[tex] \mathbf {R} ^2 [/tex]$ , se traduce en que no tenga "agujeros".
En este caso, al no tener el (0,0) en el dominio, deja de ser simplemente conexo. Arco conexo sigue siendo, porque vos podés seguir uniendo cualquier par de puntos del dominio por una curva.
- Yo siempre que veo una curva cerrada en el plano, más que sonarme a campos conservativos, me suena el Teorema de Green, pero bueno, está bien que siempre definimos campos conservativos en dominios abiertos y simplemente conexos, y está bien que por no ser el dominio simplemente conexo se nos pudre lo usar tan directamente que la circulación de un campo con rotor nulo en una curva cerrada y suave es nula.

Sin embargo, con decir "ah, no, no es simplemente conexo", ¿Podemos asegurar con tanta seguridad que la circulación es distinta de cero?
Ojo con suponer estas cosas de entrada. El teorema nos dice: tenés una región abierta simplemente conexa, una curva cerrada y suave, y un campo irrotacional, ambas cosas definidas en esa región... entonces la circulación del campo sobre la curva es nula. Nada me dice sobre qué pasa cuando algunas de esas hipótesis no se cumplen. Así que en el otro caso nos puede dar cualquier cosa.
Tal vez esta parte sea la más importante de este posteo. El teorema nos habla de qué pasa cuando se cumplen ciertas condiciones, pero de ningún modo nos dice qué pasa cuando alguna no se cumple. Eso es algo a tener presente, no tanto como concepto matemático particular de este caso sino como interpretación general de cualquier cosa que se estudie.

Volviendo un poco al problema, justamente estamos en un caso donde, a pesar de todo lo que vimos que no se cumplía, nos da cero esa circulación, para cualquier curva que encierre al punto. Voy a partir de lo que dijo el usuario Espina y a darle un par de pasos más como para terminar de cerrar el problema.

Espina escribió:

El 5 lo hice aplicando un circunferencia de radio epsilon donde pude comprobar q la circulacion da 0 para toda curva q rodee al origen

Arrancamos por esto. Calculamos esta integral de línea con la definición. Esto es, si $[tex] \vec { \gamma } : [ a , b ] \mapsto \mathbf {R} ^ 2 [/tex]$ es una parametrización regular de la curva, la integral me quedaría $[tex] \int _ {a} ^ {b} \vec {f} \left( \vec { \gamma} (t) \right) \cdot \vec { \gamma }' (t) \, dt [/tex]$

Una parametrización de la circunferencia sería $[tex] \vec { \gamma } : [ 0 , 2 \pi ] \mapsto \mathbf {R} ^ 2 \, / \, \vec { \gamma } (t) = \epsilon \left( \cos (t), \sin (t) \right)[/tex]$ .
$[tex] \vec {f} \left( \vec { \gamma } (t) \right) = \frac { 1 }{ \epsilon } \left( \cos (t), \sin (t) \right) [/tex]$
$[tex] \vec { \gamma }' (t) = \epsilon \left( - \sin (t) , \cos (t) \right)[/tex]$
Entonces, el producto escalar $[tex] \vec {f} \left( \vec { \gamma} (t) \right) \cdot \vec { \gamma }' (t) [/tex]$ nos da 0 para todo t, independientemente del radio de la circunferencia. Con esto probamos que para cualquier circunferencia centrada en el origen la circulación de ese campo es nula.
Falta ver que lo es también para cualquier otra curva cerrada y suave que rodee al origen. Para eso, podemos dibujar esa otra curva cualquiera cerrada y suave que contenga a nuestra circunferencia de radio arbitrario, y ver cómo nos las ingeniamos para calcular la circulación a partir de conocer la de la circunferencia.
Una estrategia (que no se me ocurrió a mí ni en pedo, se le debe haber ocurrido a uno de esos grossos totales tipo Green o Cauchy), es la de circular "pasando" por la circunferencia, esto sería, haciendo un caminito hasta la circunferencia, pegar la vuelta, y volver por el mismo caminito a la curva de afuera. Del Apostol saqué este dibujo que usa para explicar esta idea (usa dos caminos, pero la idea es la misma):

[nota: a partir de acá me dio mucha paja escribir en latex. Si algo no se entiende, pregunten, seguramente lo de abajo es la parte más enquilombada de todas]

Si nos fijamos, entre esas dos curvas ABCD, nos quedaron dos regiones que sí son abiertas simplemente conexas, y en las cuales el campo vectorial está perfectamente definido. Así que en cada una de esas regiones, se cumplen todas las hipótesis necesarias para aplicar el Teorema de Green.
Para cada una de esas regiones vale que la circulación del campo en su frontera es igual a la integral doble de $[tex] Q_x - P_y [/tex]$ en el interior de la región. Para este campo, $[tex] Q_x - P_y = 0[/tex]$ , por lo cual, la circulación total alrededor de cada una de esas curvas ABCD es 0. Si "juntamos" esas dos circulaciones, vemos que circulamos dos veces por dos tramitos rectos: desde A hasta B y dos desde C hasta D, una de ida y una de vuelta en cada tramito, por lo cual estas integrales se cancelan entre sí. Finalmente, uniendo todo lo que sobra, nos queda la circulación en sentido positivo por la curva exterior más la circulación en sentido negativo por la curva interior, todo eso por Green nos dio 0. Es decir que esas dos circulaciones son contrarias entre sí. Invirtiendo el sentido de circulación de la interior y despejando, obtenemos que las dos circulaciones, ambas con sentido positivo, son iguales entre sí. Pero la de adentro es nuestra circunferencia de radio arbitrario, y la de afuera es nuestra curva cualquiera cerrada y suave.
Entonces quiere decir que para cualquier otra curva cerrada y suave, la circulación me da igual que en cualquier circunferencia, es decir 0.

Con eso probamos que para cualquier curva cerrada y suave que tomemos, la circulación de ese campo vectorial da cero.

Espero que les sirva y que se haya entendido lo más posible. Cualquier cosa, en el Apostol está explicado Green para estas regiones chotas con lujo de detalle.

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glandri
Nivel 3

Registrado: 25 Sep 2011
Mensajes: 42

Carrera: Industrial

Publicado: Lun Jul 16, 2012 10:36 pm Asunto: (Sin Asunto)


El 4) era asi, los limites son 0=<r=<(la raiz de 4cos 2t) y el tita como esta ahi, resolves con polares y no te olvides del jacobiano y sale el area es 1/2.

glandri
Nivel 3

Registrado: 25 Sep 2011
Mensajes: 42

Carrera: Industrial

Publicado: Lun Jul 16, 2012 10:37 pm Asunto: (Sin Asunto)


El 4) era asi, los limites son 0=<r=<(la raiz de 4cos 2t) y el tita como esta ahi, resolves con polares y no te olvides del jacobiano y sale el area es 1/2.

glandri
Nivel 3

Registrado: 25 Sep 2011
Mensajes: 42

Carrera: Industrial

Publicado: Lun Jul 16, 2012 10:42 pm Asunto: (Sin Asunto)


El 3 sale por cilindricas, los limites son 0<r<3, 0<£<2pi (£ es el angulo), y. raiz(9-r al cuadrado)<Z<12-r.cos £, no se olviden del jacobiano y listo sale da 90pi. Los resultos que di son correctos porque me lo corrigieron bien!

SMA
Nivel 6

Registrado: 23 Jul 2012
Mensajes: 284

Carrera: Mecánica

Publicado: Lun Jul 23, 2012 4:22 pm Asunto: (Sin Asunto)


Una consulta, el área me da 1 y no 1/2 como dice "glandri". ¿Cuál es el resultado correcto?

fede03
Nivel 5

Edad: 32
Registrado: 28 Jul 2010
Mensajes: 149
Ubicación: Escobar y San Cristobal
Carrera: Sistemas

Publicado: Dom Jul 29, 2012 12:48 am Asunto: (Sin Asunto)


Alguien tiene cual era el campo F(x,y,z) del punto 2 para poder hacer el ejercicio? Gracias!!

_________________
Fedee ! - "Más que una carrera, una caminata universitaria".

Josefina Algo
Nivel 4

Edad: 31
Registrado: 29 Nov 2011
Mensajes: 66

Carrera: Informática
CARRERA.informatica.3.jpg

Publicado: Dom Jul 29, 2012 11:25 pm Asunto: (Sin Asunto)


el campo es f(x,y,z) = (2 exp(x^2), x, 4 sin(z^2)

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