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roberto.p.dalpino
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 Ago 2011
Mensajes: 55
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Industrial
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les dejo las preguntas del tema 2
1) calcular distancia minima de la curva C y el (0,0)
La curva c es solucion de la ec. diferencial: 2xy dx + x² dy = 0 q pasa por el (-1,2)
2) calcular la circulacion de F sobre la curva C. La curva C es la interseccion de z=6-x²-y² y z=x²+2y².
El campo F(x,y) = (?,x,?) (no me acuerdo el campo, o sea, imposible resolver pues dependía de la 3 componente)
3) calcular el volumen del cuerpo K dado en ec.
x²+y² <9>=9, z>=0, x+z<=12
4) calcular el area, dada en coordenadas polares
r²<= 4 cos(2t) pi<=t<=5pi/4
5) calcular la circulacion de cualquier curva C cerrada y suave q rodee el punto (0,0)
F(x,y) = (x/(x²+y²), y/(x²+y²))
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roberto.p.dalpino
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 Ago 2011
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Carrera: Industrial
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| 3) x²+y²<9>=9, z>=0, x+z<=12
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roberto.p.dalpino
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 Ago 2011
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Carrera: Industrial
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roberto.p.dalpino
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 Ago 2011
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Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Industrial
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imposible..no consigo poner bien las condiciones..q mierda...
x²+y²+z² (mayor y igual a 9)
x²+y² (menor y igual a 9)
z(mayor y igual a 0)
x+z (menor y igual a 12)
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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| roberto.p.dalpino escribió:
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imposible..no consigo poner bien las condiciones..q mierda...
x²+y²+z² (mayor y igual a 9)
x²+y² (menor y igual a 9)
z(mayor y igual a 0)
x+z (menor y igual a 12)
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![[tex]x²+y²+z²\geq 9[/tex]](images/latex/577557338f4ebd5936a5345365bc82f46648b98b_0.png "[tex]x²+y²+z²\geq 9[/tex]")
![[tex]x²+y²\leq 9[/tex]](images/latex/f076a14cd239e343c1ae2e834420215a40cc7a85_0.png "[tex]x²+y²\leq 9[/tex]")
![[tex]z\geq 0[/tex]](images/latex/279f0c37a99c839554ed504f6ce306ac143b41af_0.png "[tex]z\geq 0[/tex]")
![[tex]x+z\leq 12[/tex]](images/latex/59e65369c3431174afebbb7fd75d6954e0ce759a_0.png "[tex]x+z\leq 12[/tex]")
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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Espina
Nivel 3
Registrado: 29 Sep 2011
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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| che en el 2 no te fijaste si era potencial?
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Espina
Nivel 3
Registrado: 29 Sep 2011
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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no tomaron nada de flujo?
lpm me hubiera presentado
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roberto.p.dalpino
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 Ago 2011
Mensajes: 55
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Industrial
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No..pues F es un campo en R3...F(xyz)
Alguien sabe cuanto da el 4..el area????
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[Bacardi]
Nivel 2
Registrado: 19 Mar 2011
Mensajes: 16
Ubicación: foo
Carrera: Informática
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| Espina escribió:
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no tomaron nada de flujo?
lpm me hubiera presentado
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El 2do salia con Stokes.
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Espina
Nivel 3
Registrado: 29 Sep 2011
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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| roberto.p.dalpino escribió:
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No..pues F es un campo en R3...F(xyz)
Alguien sabe cuanto da el 4..el area????
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que tiene q ver con q este en R3?
el 1ero les dio raiz de 3 la distancia minima?
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sandane
Nivel 1
Edad: 32
Registrado: 06 Jul 2012
Mensajes: 3
Ubicación: buenos aires
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| Espina escribió:
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| roberto.p.dalpino escribió:
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No..pues F es un campo en R3...F(xyz)
Alguien sabe cuanto da el 4..el area????
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que tiene q ver con q este en R3?
el 1ero les dio raiz de 3 la distancia minima?
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a mi tambien me dio raiz de 3
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Pardi
Nivel 3
Edad: 31
Registrado: 07 Dic 2011
Mensajes: 30
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| El primero Raiz de 3 y el area del 4 no era 1?
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roberto.p.dalpino
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 01 Ago 2011
Mensajes: 55
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Industrial
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como sacaron la distancia minima??
cuanto dio el area?
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Hago el primero.
La ecuación diferencial ![[tex]2xy \, dx + x^2 \, dy = 0[/tex]](images/latex/b5c543a6702a09c90e677190f5de88550970159b_0.png "[tex]2xy \, dx + x^2 \, dy = 0[/tex]") es una ecuación diferencial total exacta. Representa el diferencial de un campo escalar ![[tex]C^{2}[/tex]](images/latex/bed4c743fc4c1ac8310db3508577a2e7b92bcf58_0.png "[tex]C^{2}[/tex]") en ![[tex] \mathbf{R} ^ 2 [/tex]](images/latex/bf7ca94aee94bce05aeb87be801fc96c705df169_0.png "[tex] \mathbf{R} ^ 2 [/tex]") igualado a 0. Los puntos que cumplen esta ecuación son todos los conjuntos de nivel del campo (justamente, porque ahí, donde el campo se mantiene constante, su incremento es 0), y en particular, hay uno que contiene al (-1,2).
¿Cómo nos damos cuenta de eso? Acá dejo una forma de pensarlo: Si cumple que ![[tex]2xy \, dx + x^2 \, dy[/tex]](images/latex/dbd8e2cf56f6f274deec277538aca74ce04816ee_0.png "[tex]2xy \, dx + x^2 \, dy[/tex]") es el diferencial de un campo escalar , y sabiendo que en estos casos se cumple que ![[tex]df=(f_x,f_y) \cdot (dx,dy)[/tex]](images/latex/03829b43bd1c819a6ba416731af131dfed80ffc2_0.png "[tex]df=(f_x,f_y) \cdot (dx,dy)[/tex]") , entonces ![[tex]\vec{\nabla}f = (f_x,f_y) = (2xy,x^2)[/tex]](images/latex/aa0c1ef2977ce7ae3ac77d6b98d915dd0dc7fb9d_0.png "[tex]\vec{\nabla}f = (f_x,f_y) = (2xy,x^2)[/tex]") . Nosotros queremos ver si es verdad que hay (al menos) un campo escalar ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") que verifica ![[tex]\vec{\nabla}f = (2xy,x^2)[/tex]](images/latex/3201a07e68749f7b49afb49d54ef286e702d23d1_0.png "[tex]\vec{\nabla}f = (2xy,x^2)[/tex]") . Si el campo que busco es en (que es abierto), sabemos que, por el lema de Schwarz, las derivadas cruzadas de ese campo escalar tienen que ser iguales. Así que probamos si eso se cumple:
![[tex]f_{xy}=\frac{\partial \left( 2xy \right)}{\partial y}=2x[/tex]](images/latex/b49160300c35124031c7df69242a7c4289a3622f_0.png "[tex]f_{xy}=\frac{\partial \left( 2xy \right)}{\partial y}=2x[/tex]")
![[tex]f_{yx}=\frac{\partial \left( x^2 \right)}{\partial x}=2x[/tex]](images/latex/aa00b3b2837df3b1eda9036db36905c769e04196_0.png "[tex]f_{yx}=\frac{\partial \left( x^2 \right)}{\partial x}=2x[/tex]")
Joya, nos dan iguales, lo cual es condición suficiente para decir que hay un campo escalar que cumple todo esto. Lo buscamos:
![[tex]f_x=2xy[/tex]](images/latex/28acc4753a11197ec878443f46e490970848119f_0.png "[tex]f_x=2xy[/tex]") , entonces ![[tex]f(x,y)=x^2y+g(y)[/tex]](images/latex/b74cb0814146b97abc8aa4d2c90a7a562fbb7b19_0.png "[tex]f(x,y)=x^2y+g(y)[/tex]") , con ![[tex]g(y)[/tex]](images/latex/482b7d5c33b69cd40835f06cfadda133379d91c6_0.png "[tex]g(y)[/tex]") a determinar. Derivamos con respecto ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") , y obtenemos ![[tex]x^2 + g'(y)[/tex]](images/latex/577fe23c0480a5278b7f04fbadf81d5fd1984476_0.png "[tex]x^2 + g'(y)[/tex]") , lo cual debe ser igual a la segunda componente del gradiente de f, ![[tex] x^2 [/tex]](images/latex/84b7461c92fbf4208faba4eab63836993a572a9d_0.png "[tex] x^2 [/tex]") . Así que ![[tex]g'(y)=0[/tex]](images/latex/de79894f6e1e919268e7be1691fda83582e79a36_0.png "[tex]g'(y)=0[/tex]") , por lo cual puede ser cualquier constante arbitraria, que el campo escalar va a seguir cumpliendo lo que queremos. Sacamos una familia de campos: ![[tex]f : \mathbf{R} ^ 2 \mapsto \mathbf{R} / f(x,y) = x^2y+c_1[/tex]](images/latex/08acb6187990eaef809506ea80507b1eccbfa752_0.png "[tex]f : \mathbf{R} ^ 2 \mapsto \mathbf{R} / f(x,y) = x^2y+c_1[/tex]") , que cumple todas las hipótesis que decíamos tenía que cumplir. Las curvas de nivel que cumplen la EDTE son ![[tex] x^2y+c_1 = c_2 [/tex]](images/latex/a350af181ac136d545e272087ad832918b22254c_0.png "[tex] x^2y+c_1 = c_2 [/tex]") , para usar una sola constante, las pasamos todas al segundo miembro y a esa diferencia la llamamos k, otra constante. Tenemos ![[tex] x^2y = k[/tex]](images/latex/30dd08b77dcb1547ae85f8e4c096fc1608088235_0.png "[tex] x^2y = k[/tex]") . Esta es la familia de curvas de nivel, de todas esas, queremos las que contienen al (-1,2), así que esa constante debe ser tal que cuando especializo el campo en (-1,2), la igualdad se cumple. Haciendo esto, obtengo ![[tex]k=2[/tex]](images/latex/a8983c72461d984ba281a12f680cfc27d087d802_0.png "[tex]k=2[/tex]") . Así que la curva que nos interesa es ![[tex] x^2y = 2[/tex]](images/latex/2897ca9176572db4a8600b1a4379f7210cfaba0b_0.png "[tex] x^2y = 2[/tex]") . Un gráfico de la curva, acá.
Ahora vamos a hallar la distancia mínima entre el origen y la curva. Esto es equivalente a minimizar la función distancia entre el origen y un punto cualquiera de la curva. Cuando la distancia es mínima, el cuadrado de la distancia también lo es, entonces minimizamos el cuadrado de la distancia, que va a ser más cómodo, para no andar complicándonos la vida con raíces.
La curva es o, lo que es equivalente, ![[tex] y = \frac{2}{x^2}[/tex]](images/latex/ac8175c67b23962637bcf0b23519b8d9660ded17_0.png "[tex] y = \frac{2}{x^2}[/tex]") . Podemos pasar dividiendo tranquilos porque sabemos que ningún punto con ![[tex]x = 0[/tex]](images/latex/3fc5017f094c888021acacc8ad8662850ac8a1e7_0.png "[tex]x = 0[/tex]") va a pertenecer a la curva (es imposible que ![[tex] 0^2y = 2[/tex]](images/latex/b920145c8ff242b66bee16b29f5031e74b49efb8_0.png "[tex] 0^2y = 2[/tex]") ). Así que, dada la igualdad esa que despejamos, un punto cualquiera de la curva puede escribirse como ![[tex] \left( x, \frac{2}{x^2} \right) [/tex]](images/latex/63ac3851b224569d1b105439d334498ad7d0e7a8_0.png "[tex] \left( x, \frac{2}{x^2} \right) [/tex]") , con ![[tex] x [/tex]](images/latex/478db92c8145ece9ac63aa8f5d0668de57926896_0.png "[tex] x [/tex]") distinto de 0.
El cuadrado de la distancia entonces va a ser la función ![[tex]d^2: \mathbf{R}-\{ 0 \} \mapsto \mathbf{R} / d^2(x)= x^2 + 4x^{-4}[/tex]](images/latex/588e7df599964d202db51db0c8a8dddcdb3c4c37_0.png "[tex]d^2: \mathbf{R}-\{ 0 \} \mapsto \mathbf{R} / d^2(x)= x^2 + 4x^{-4}[/tex]") . Ahora, esto se convierte en un problema de extremos de Análisis I. Derivamos e igualamos a cero:
![[tex]2x-16x^{-5}=0[/tex]](images/latex/c86826a093fcb8387c536d75272c8576303099a0_0.png "[tex]2x-16x^{-5}=0[/tex]") , esto es ![[tex]x^6 = 8[/tex]](images/latex/866507444b9b80c8cdb7c0c71cabe40268b5c9a6_0.png "[tex]x^6 = 8[/tex]") , es decir ![[tex] x = \pm \sqrt[6]{8}[/tex]](images/latex/81aef2bf241616611b2a627947899d2879f3aa90_0.png "[tex] x = \pm \sqrt[6]{8}[/tex]") . Por el gráfico de la curva se puede ver que con cualquiera de estos dos valores de ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") obtenemos un mínimo, pero por las dudas lo podemos probar con la segunda derivada, que me da ![[tex]2+80x^{-6}[/tex]](images/latex/be442950eb76f276c6c2c5d9a58de5709020e318_0.png "[tex]2+80x^{-6}[/tex]") , evaluada en cualquiera de los dos puntos, obtenemos ![[tex]2+\frac{80}{8}=2+10=12[/tex]](images/latex/6267634a94e280d32b81e801fef176ea665a315f_0.png "[tex]2+\frac{80}{8}=2+10=12[/tex]") , lo cual nos dice, por el criterio de la segunda derivada, que esto es un mínimo.
Especializamos nuestra función cuadrado de la distancia en cualquiera de esos dos valores de (va a dar lo mismo), y luego le sacamos la raíz a eso que obtenemos para obtener la distancia. Revisá todas las cuentas, a mí la distancia mínima me dio ![[tex]\sqrt 3[/tex]](images/latex/dcbcc181dbf253ac334f2195ca823ca1b275e38b_0.png "[tex]\sqrt 3[/tex]") .
Cualquier cosa que encuentren, corrijan, o pregunten. Sobre todo acerca de las condiciones necesarias y suficientes para cada cosa.
| roberto.p.dalpino escribió:
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4) calcular el area, dada en coordenadas polares
r²<= 4 cos(2t) pi<=t<=5pi/4
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¿Tuviste algún problema con este? Contá cómo lo hiciste cualquier cosa.
| roberto.p.dalpino escribió:
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5) calcular la circulacion de cualquier curva C cerrada y suave q rodee el punto (0,0)
F(x,y) = (x/(x²+y²), y/(x²+y²))
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Se me ocurre una forma de hacerlo, muy rebuscada como para que se le ocurra a alguien en un final... ¿Alguien lo hizo? ¿Cómo lo harían? (Los que la están cursando, en lo posible  )
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Espina
Nivel 3
Registrado: 29 Sep 2011
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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el 3 les dio 18pi?
el 5 lo hice aplicando un circunferencia de radio epsilon donde pude comprobar q la circulacion da 0 para toda curva q rodee al origen
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