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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Bueno el enunciado es el siguiente:
Por un conductor que se extiende por los lados de un cubo entre los puntos (0,0,0),(1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,1),(0,-1,0),(0,0,0) circula una corriente I. Determinar la direccion, magnitud y sentido del campo magnetico generado en el centro del cubo.
Hice el dibujo, y masomenos me quedo asi
Plante biot-savart
![[tex]\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{Idl\times (r-r')}{||r-r'||^3}[/tex]](images/latex/d78157b1797577cbdb14aebab15bee6c0dc90886_0.png "[tex]\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{Idl\times (r-r')}{||r-r'||^3}[/tex]")
Arme los dl para cada tramo y los r', me olvide de numerarlos en el dibujo, arranca del (0,0,0) y va en el sentido de la corriente
![[tex]dl_{1,2}=(dx,0,0)[/tex]](images/latex/08a2486a163c282cdd302af681d1d42c8d5accae_0.png "[tex]dl_{1,2}=(dx,0,0)[/tex]") , ![[tex]r'_{1,2}=(x,0,0)[/tex]](images/latex/f4f8f211105d4f4b5980a9e4701370b2cabca7a5_0.png "[tex]r'_{1,2}=(x,0,0)[/tex]")
![[tex]dl_{2,3}=(0,-dy,0)[/tex]](images/latex/b5b89dfd9cf409c3ecfb2fa933e976ed5d6579b0_0.png "[tex]dl_{2,3}=(0,-dy,0)[/tex]") , ![[tex]r'_{2,3}=(1,-y,0)[/tex]](images/latex/478a8931f5f3a24e942f9fe69e299b84e776d51b_0.png "[tex]r'_{2,3}=(1,-y,0)[/tex]")
![[tex]dl_{3,4}=(0,0,dz)[/tex]](images/latex/aa34d563540b98f47cc13ffda4a607c485401c05_0.png "[tex]dl_{3,4}=(0,0,dz)[/tex]") , ![[tex]r'_{3,4}=(1,-1,z)[/tex]](images/latex/4e8fc1e47c54a46ad463939c034b613ff1f0ec74_0.png "[tex]r'_{3,4}=(1,-1,z)[/tex]")
![[tex]dl_{4,5}=(-dx,0,0)[/tex]](images/latex/32c7ab5081afbc8a529720270637ed61b7e2e832_0.png "[tex]dl_{4,5}=(-dx,0,0)[/tex]") , ![[tex]r'_{4,5}=(x,-1,1)[/tex]](images/latex/f7671825e844a18c926c33353e7b38d296e7fe98_0.png "[tex]r'_{4,5}=(x,-1,1)[/tex]")
![[tex]dl_{5,6}=(0,0,-dz)[/tex]](images/latex/81a628cbb4c05570a9b1768caa037f26c42ccc4b_0.png "[tex]dl_{5,6}=(0,0,-dz)[/tex]") , ![[tex]r'_{5,6}=(0,-1,z)[/tex]](images/latex/e969d3c8084243851b9b1259927b279c6516caef_0.png "[tex]r'_{5,6}=(0,-1,z)[/tex]")
![[tex]dl_{6,1}=(0,dy,0)[/tex]](images/latex/6d51f5227249e256ce9ee4d3839a88b14580810a_0.png "[tex]dl_{6,1}=(0,dy,0)[/tex]") , ![[tex]r'_{6,7}=(0,-y,0)[/tex]](images/latex/c177c09498f71249cb79d21895b1aa2d9360e1c1_0.png "[tex]r'_{6,7}=(0,-y,0)[/tex]")
y el r seria: ![[tex]r=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})[/tex]](images/latex/79afc60a07b08d36cc137c0fcf6f5965e8f4ebc1_0.png "[tex]r=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})[/tex]")
Ahora por ejemplo, calculo el campo en el punto central del cubo para el primer tramo (el producto vectorial ni lo puse antes, lo pongo directo en la integral)
![[tex]\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int I\frac{(0,-\frac{dx}{2},-\frac{dx}{2})}{[(\frac{1}{2}-x)^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2]^\frac{3}{2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int I\frac{(0,-\frac{dx}{2},-\frac{dx}{2})}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int I\frac{(0,-\frac{dx}{2},-\frac{dx}{2})}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}=-\frac{\mu_0}{4\pi} I(\int^1_0\frac{\frac{dx}{2}}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}\hat j+ \int^1_0 \frac{\frac{dx}{2}}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}\hat k)[/tex]](images/latex/ae711b8d17ea755cf142b181ddd330c02752a3d4_0.png "[tex]\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int I\frac{(0,-\frac{dx}{2},-\frac{dx}{2})}{[(\frac{1}{2}-x)^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2]^\frac{3}{2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int I\frac{(0,-\frac{dx}{2},-\frac{dx}{2})}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int I\frac{(0,-\frac{dx}{2},-\frac{dx}{2})}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}=-\frac{\mu_0}{4\pi} I(\int^1_0\frac{\frac{dx}{2}}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}\hat j+ \int^1_0 \frac{\frac{dx}{2}}{[x^2-x+\frac{3}{4}]^\frac{3}{2}}\hat k)[/tex]")
Queria saber si arme bien los dl y los r', ya que, en esa integral que deje planteada, no tengo la menor idea como seguir, la busque en tabla y no la encontre (complete cuadrados y tampoco)
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Está bien.
EDIT: Wolfram la resuelve la integral, creo que con algunos cambios de variable sale.. pero yo lo dejaría planteado nomás.
Después subo un dibujito mas copado
EDIT2:
Para cada par de cables opuestos te tiene que quedar algo así
Significa que te podés ahorrar muchas cuentas así por simetría. Segun el resultado de WA, cada tramo de cable da una contribución ![[tex]\frac{|K|}{\cos(\pi/2)} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{2I}{\sqrt{3}}[/tex]](images/latex/9df19bc6e401390ca66dbd0a120ec09afc72c1a3_0.png "[tex]\frac{|K|}{\cos(\pi/2)} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{2I}{\sqrt{3}}[/tex]") en las direcciones perpendiculares al cable que estés considerando (y el sentido dado por la regla de la mano derecha). El coseno anterior es para proyectar sobre el eje normal, que es equivalente a restarle la contribución que cancela del cable opuesto en cada par. Así que el resultado final sería:
![[tex]\vec{B}(\vec{r}) = 4K(-1,-1,-1)[/tex]](images/latex/bb744e5a38c8c3f5c368afb7da0ee7da0c6e334c_0.png "[tex]\vec{B}(\vec{r}) = 4K(-1,-1,-1)[/tex]")
Probablemente le pifié con algun factor de 2 o algo. Igual lo mas importante a rescatar es lo cualitativo.
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Buenisimo! muchas gracias koreano! 
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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| Fabricio escribió:
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Por un conductor que se extiende por los lados de un cubo entre los puntos (0,0,0),(1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,1),(0,-1,0),(0,0,0) circula una corriente I.
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Vos dibujaste el (0,0,0),(1,0,0),(1,-1,0),(0,-1,1),(0,-1,0),(0,0,0). Te confundiste en el enunciado o en el dibujo? 
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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| Franzl escribió:
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| Fabricio escribió:
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Por un conductor que se extiende por los lados de un cubo entre los puntos (0,0,0),(1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,1),(0,-1,0),(0,0,0) circula una corriente I.
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Vos dibujaste el (0,0,0),(1,0,0),(1,-1,0),(0,-1,1),(0,-1,0),(0,0,0). Te confundiste en el enunciado o en el dibujo?
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creo que no eh , dibuje en el sentido que fui poniendo los puntos (sentido de la corriente)
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Bueno actualizo con otra consulta, es otro ejercicio, de Fuerzas de Lorentz, dice asi:
Un electron entra en el punto (0,0,0) con velocidad (100,0,0)m/s, determinar la magnitud y direccion del campo magnetico B y el campo electrico E para que el electron salga por el punto (10,10,10)
Mi duda es la siguiente, tengo que saber la direccion de la velocidad cuando sale por el punto final??, hice el ejercicio suponiendo que la direccion me la da la resta entre el punto y el origen donde parte el electron
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Hay demasiadas soluciones posibles. No tenés mas condiciones que esas?
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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| koreano escribió:
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Hay demasiadas soluciones posibles. No tenés mas condiciones que esas?
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Nop, solo lo que dice el enunciado, osea la velocidad inicial, el punto donde parte, el punto donde sale, ahora suponiendo que la direccion es como digo, la fuerza sobre la particula deberia apuntar para que salga en el punto en la misma direccion que la velocidad no?, porque con esa suposicion ya tengo las direcciones de B y E
El punto siguiente a ese pregunta puede la particula mantener el modulo de la velocidad, y justificarlo
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| O sea que los B y E tienen que ser uniformes y constantes? Eso es una condición importante. La otra es con qué velocidad o modulo de velocidad tiene que salir. Cómo decís, podés meterle un campo eléctrico nomás y acelerar la partícula directo al punto de salida en linea recta. La otra opción es usar solo un campo B tal que haga una helice y llegue a ese punto con (posiblemente) otra velocidad pero con la misma energía cinética.
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Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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Tengo una duda respecto de los signos.
Por ej., para los tramos llamados 2-3 y 6-1:
r´ queda (algo,-y,0) (no importa lo otro); dr´ no deberia ser su derivada, y por tanto conservar el signo en ambos casos? Y la integral la plantearía entre 0 y -1 para 2-3, y de -1 a 0 para 6-1 .Por ahi habia leido que si vos a dr´ le asignas el sentido de la circulación, integras siempre en sentido creciente y es lo mismo. Es correcto eso?
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| Fabricio escribió:
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[...] en esa integral que deje planteada, no tengo la menor idea como seguir, la busque en tabla y no la encontre (complete cuadrados y tampoco)
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| koreano escribió:
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Wolfram la resuelve la integral, creo que con algunos cambios de variable sale.. pero yo lo dejaría planteado nomás.
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Cuando, aplicando la ley de Biot y Savart, se integra sobre rectas o segmentos de recta y se usa una pametrización lineal, terminan quedando integrales de la forma:
Cuyo resultado es:
En este ejemplo particular c = -1/2, K = 1/2, a = 0 y b = 1, y la integral completa está además multiplicada por 1/2, así termina dando el ![[tex]\textstyle \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]](images/latex/2da8508ea3d099cc4b8a4a7e524f97765ebf9a1f_0.png "[tex]\textstyle \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]") de Wolfram.
| Cachengue escribió:
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Por ahi habia leido que si vos a dr´ le asignas el sentido de la circulación, integras siempre en sentido creciente y es lo mismo. Es correcto eso?
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Una mejor forma de decirlo sería "ajustando mediante cambios de signo, si es necesario, la derivada de r' para que apunte en el sentido deseado de circulación, se integra siempre desde el menor valor del parámetro hasta el mayor".
| Cachengue escribió:
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Para los tramos llamados 2-3 y 6-1:
r´ queda (algo,-y,0) (no importa lo otro); dr´ no deberia ser su derivada, y por tanto conservar el signo en ambos casos? Y la integral la plantearía entre 0 y -1 para 2-3, y de -1 a 0 para 6-1.
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Con las parametrizaciones del primer post y los correspondientes ajustes del signo de la derivada (sin cambio de signo en los tramos 1-2, 2-3 y 3-4, y con cambio de signo en los tramos 4-5, 5-6 y 6-1), ambas integrales son entre 0 y 1. Es 1 y no -1 porque para obtener el punto ("algo", -1, 0) en la parametrización ("algo", -y, 0), tenés que hacer y = 1, no y = -1.
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Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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Ah, claro. Creo que entendi, gracias. Personalmente me resulta mucho menos confuso definir la integral "correcta", ya sea creciente o decreciente. Si entendí bien, para eso pones los parámetros con el signo que corresponde (por ej., el tramo 6-1 esta en -y, su dl´ queda -dy, e integro entre -1 y 0).
Muchas gracias
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| Cachengue escribió:
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(por ej., el tramo 6-1 esta en -y, su dl´ queda -dy, e integro entre -1 y 0).
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Mmm, no, si querés que la integral para el tramo 6-1 sea de -1 a 0, la parametrización tiene que ser r' = (0, y, 0), y dr' = (0, dy, 0).
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Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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| Claro, si pongo el signo en la parametrización, no lo pongo en la integral. Muchas gracias!
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