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Mensaje |
moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Buenas, buenas. Como siempre, yo aca jodiendo con los ejercicios ajaja.
Bueno, el ejercicio creo que lo plantee bien pero nose como expresar la respuesta, a ver si me ayudan.
Dado T1: 3x + 2y - 6z = 1 y T2: -3y + 4z=3, hallar todos los puntos P de R3 que verifiquen:
a)d(P,T1) = d(P,T2)
b)d(P,T1)=d(P,T2)=2
a) N de T1= (3,2,-6), N de T2= (0,-3,4)
Busco algun punto del plano T1. Ese punto puede ser S1=(-1,-1,-1). Busco un punto de T. Ese punto puede ser S2=(0,-2, -3/4)
Planteo las ecuaciones de distancia y luego las igualo
d(P,T1)= |(3,2,-6)|(S1 - P)| / (||N||)
d(p,T1) = |(3,2,-6)| (-1-x, -1 - y-, -1-z) / 7
d(P,T1)= |-3x - 2y + 6z + 1| / 7
AHora saco distancia de P a T2
d(P,T2) = |(0,-3,4).(-x, -2-y, -3/4-z)|/ ||N||
d(P,T2) = |3y - 4z + 3| / 5
Ahora igual las ecuaciones
d(P,T1) = d(P,T2)
|-3x-2y+6z + 1| / 7 = |3y - 4z + 3| / 5
5.|-3x - 2y +6z + 1| = 7|3y - 4z + 3|
Ahora mi problema esta con los modulos, osea voy a tener cuatro combinaciones posibles que van a ser
1) 5(-3x -2y + 6z + 1) = 7(3y - 4z + 3)
-15x - 10 y + 30z + 5 = 21y -28z + 21
-15x - 31 y + 58z = 16
2) 5 (-3x - 2y + 6z + 1) = 7(-3y + 4z - 3)
-15 x - 10y + 30z + 5 = -21y + 28z - 21
-15x + 11y + 2z = -26
3) 5(3x + 2y - 6z - 1) = 7(3y - 4z + 3)
15x + 10y - 30z - 5= 21y - 28z + 21
15x - 11y - 2z = 26
4) 5 ( 3x + 2y - 6z - 1) = 7(-3y + 4z -3)
15x + 10y - 30z - 5 = (-21y + 28z - 21)
15x + 31y - 58z = -16
Dedusco que la ecuacon 1 y 4 son iguales, como la 2 y 3 tmb son iguales. Por lo tanto podria decir que el punto P debe cumplir esas 2 condiciones (las ecuaciones) para distar lo mismo de un plano que del otro, osea, la respuesta que se me cruza por la cabeza es:
P1= -15x - 31y + 58z = 16
P2= -15x + 11y + 2z = -26
La verdad que me quedan dudas si esta bien hecho o no el ejercicio
Respecto al punto b, deberia hacer lo mismo pero simplemente cuando calculo la distancia de cada plano por separado la tengo que igualar a 2 y luego igualos las ecuaciones de distancias, no?
Muchas gracias por todo
Juan
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Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
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Flawless victory.
Este ejercicio es el mas jodido de la guia de rectas y planos.
BIEN PIBE BIEN
(ojo, puede que le hayas errado en una cuenta pero el planteo esta perfecto, el razonamiento de los modulos tambien).
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| koreano escribió:
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Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
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![[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]](images/latex/13b8d7c5145650bf52e1ab2f2b452a407c64bb37_0.png "[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]")
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Silvia_Ramos
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 05 Mar 2011
Mensajes: 70
Carrera: Electrónica
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Lo lei y parece estar bien  (revisa bien que no hayas equivocado en algun numero, puede pasar). Este ejercicio es complicado, por las dudas preguntale a los profesores, pero igual creo que esta bien.
Suerte
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Jajajaa muchas gracias. Igual he encontrado ejercicios mas dificiles en la guia como por ejemplo el de un plano que te dan dos puntos A y B y tenes qe encontrar los puntos C y D pertenecientes al plano para que ABCD sea un cuadrado. Lo plantee de mil formas y no me sale aun.
Ya que estoy pregunto.
Me dan dos planos y me pide averiguar todos los puntos del plano uno que esten a una distancia de 2 del plano 2. Como hago para calcular distancias entre planos? No se podria tomar un punto particular porque habria infinitos 
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Las cuentas del punto a) del primer problema están bien, y el procedimiento, en líneas generales, también. En eso, me sumo al "bien, pibe, bien"
| moncholo11 escribió:
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Dedusco que la ecuacon 1 y 4 son iguales, como la 2 y 3 tmb son iguales. Por lo tanto podria decir que el punto P debe cumplir esas 2 condiciones (las ecuaciones) para distar lo mismo de un plano que del otro
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Alcanza con cumplir una sola de las dos, cualquiera. 1), 2), 3) y 4) son alternativas, y, como bien decís 1) y 4) son en realidad la misma, al igual que 2) y 3). O sea, hay dos alternativas en total.
| moncholo11 escribió:
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el ejercicio creo que lo plantee bien pero nose como expresar la respuesta
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Vos lo expresaste así:
| moncholo11 escribió:
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P1= -15x - 31y + 58z = 16
P2= -15x + 11y + 2z = -26
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¿Qué vendrían a ser x, y, z en cada una de las ecuaciones? Serían las coordenadas del punto P que satisface lo pedido en el enunciado. ¿Y cuántos puntos P cumplen cada una? Infinitos. Además, por lo dicho arriba, las condiciones son alternativas, un punto que P cumpla una de las dos satisface lo pedido en el enunciado. Y, por último, si las mirás con cariño, son ecuaciones de planos.
Entonces, una forma de expresar la solución es decir que el conjunto de puntos P que verifican la condición a) es T3 U T4, donde T3 y T4 son los planos definidos por las ecuaciones:
T3: -15x - 31y + 58z = 16
T4: -15x + 11y + 2z = -26
Una avivada para hacer menos cuentas:
| moncholo11 escribió:
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Busco algun punto del plano T1. Ese punto puede ser S1=(-1,-1,-1). Busco un punto de T. Ese punto puede ser S2=(0,-2, -3/4)
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Está bien, pero en realidad no lo necesitás. La fórmula de la distancia de P a T1, por ejemplo, se puede escribir:
![[tex]d(P, T_1) = \frac{|(3, 2, -6) \bullet (S_1 - P)|}{\|(3, 2, -6)\|} = \frac{|(3, 2, -6) \bullet S_1 - (3, 2, -6) \bullet P|}{\|(3, 2, -6)\|}[/tex]](images/latex/776a8448c4df48ef11c88bc19ced87210b9cbdd8_0.png "[tex]d(P, T_1) = \frac{|(3, 2, -6) \bullet (S_1 - P)|}{\|(3, 2, -6)\|} = \frac{|(3, 2, -6) \bullet S_1 - (3, 2, -6) \bullet P|}{\|(3, 2, -6)\|}[/tex]")
Y la ecuación del plano T1 se puede escribir como  \bullet (x, y, z) = 1[/tex]](images/latex/a42839315eea3bfd3d8e8be207059247d7049ace_0.png "[tex](3, 2, -6) \bullet (x, y, z) = 1[/tex]") . Como S1 tiene que satisfacer la ecuación del plano,  \bullet S_1 = 1[/tex]](images/latex/510fa5fff805e61024f55b69536ae6d503b30611_0.png "[tex](3, 2, -6) \bullet S_1 = 1[/tex]") y:
![[tex]d(P, T_1) = \frac{|1 - (3, 2, -6) \bullet P|}{\|(3, 2, -6)\|}[/tex]](images/latex/7066fe81eb891516662724c9f914a488f62542ce_0.png "[tex]d(P, T_1) = \frac{|1 - (3, 2, -6) \bullet P|}{\|(3, 2, -6)\|}[/tex]")
En otras palabras, si tenés la ecuación del plano escrita como ax + by + cz = d, podés poner el término independiente de la ecuación (d) directamente en una forma modificada de la fórmula de la distancia. Análogamente:
![[tex]d(P, T_2) = \frac{|(0, -3, 4) \bullet (S_2 - P)|}{\|(0, -3, 4)\|} = \frac{|3 - (0, -3, 4) \bullet P|}{\|(0, -3, 4)\|}[/tex]](images/latex/ee1365042625e798e508398684ed6dfa726b2366_0.png "[tex]d(P, T_2) = \frac{|(0, -3, 4) \bullet (S_2 - P)|}{\|(0, -3, 4)\|} = \frac{|3 - (0, -3, 4) \bullet P|}{\|(0, -3, 4)\|}[/tex]")
| moncholo11 escribió:
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Me dan dos planos y me pide averiguar todos los puntos del plano uno que esten a una distancia de 2 del plano 2. Como hago para calcular distancias entre planos? No se podria tomar un punto particular porque habria infinitos
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La ecuación del plano 1 se puede escribir ![[tex]N_1 \bullet X = a[/tex]](images/latex/b445d24a8b98758716b5ed31c530c7eed943740f_0.png "[tex]N_1 \bullet X = a[/tex]") , la del plano 2 como ![[tex]N_2 \bullet X = b[/tex]](images/latex/8bedfdc2832f5d014d2c0dd7aa3e304300ca21e1_0.png "[tex]N_2 \bullet X = b[/tex]") . La distancia de un punto P del plano 1 al plano 2 es:
![[tex]d(P, T_2) = \frac{|b - N_2 \bullet P|}{\|N_2\|} = 2[/tex]](images/latex/943b8a983b27727d598e48c0708fb7758292c1a1_0.png "[tex]d(P, T_2) = \frac{|b - N_2 \bullet P|}{\|N_2\|} = 2[/tex]")
Combinando esa ecuación con la del plano 1, puesto que P tiene que ser del plano 1, ![[tex]N_1 \bullet P = a[/tex]](images/latex/c1678166400683aed61e53ac511bfd1e5f155a12_0.png "[tex]N_1 \bullet P = a[/tex]") . Tenés dos ecuaciones con tres incógnitas (las tres coordenadas de P), y queda algo parecido al punto b) del problema anterior que pusiste. ¿Lo resolviste completo?
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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| Huey 7 escribió:
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Las cuentas del punto a) del primer problema están bien, y el procedimiento, en líneas generales, también. En eso, me sumo al "bien, pibe, bien"
| moncholo11 escribió:
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Dedusco que la ecuacon 1 y 4 son iguales, como la 2 y 3 tmb son iguales. Por lo tanto podria decir que el punto P debe cumplir esas 2 condiciones (las ecuaciones) para distar lo mismo de un plano que del otro
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Alcanza con cumplir una sola de las dos, cualquiera. 1), 2), 3) y 4) son alternativas, y, como bien decís 1) y 4) son en realidad la misma, al igual que 2) y 3). O sea, hay dos alternativas en total.
| moncholo11 escribió:
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el ejercicio creo que lo plantee bien pero nose como expresar la respuesta
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Vos lo expresaste así:
| moncholo11 escribió:
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P1= -15x - 31y + 58z = 16
P2= -15x + 11y + 2z = -26
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¿Qué vendrían a ser x, y, z en cada una de las ecuaciones? Serían las coordenadas del punto P que satisface lo pedido en el enunciado. ¿Y cuántos puntos P cumplen cada una? Infinitos. Además, por lo dicho arriba, las condiciones son alternativas, un punto que P cumpla una de las dos satisface lo pedido en el enunciado. Y, por último, si las mirás con cariño, son ecuaciones de planos.
Entonces, una forma de expresar la solución es decir que el conjunto de puntos P que verifican la condición a) es T3 U T4, donde T3 y T4 son los planos definidos por las ecuaciones:
T3: -15x - 31y + 58z = 16
T4: -15x + 11y + 2z = -26
Una avivada para hacer menos cuentas:
| moncholo11 escribió:
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Busco algun punto del plano T1. Ese punto puede ser S1=(-1,-1,-1). Busco un punto de T. Ese punto puede ser S2=(0,-2, -3/4)
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Está bien, pero en realidad no lo necesitás. La fórmula de la distancia de P a T1, por ejemplo, se puede escribir:
Y la ecuación del plano T1 se puede escribir como . Como S1 tiene que satisfacer la ecuación del plano, y:
En otras palabras, si tenés la ecuación del plano escrita como ax + by + cz = d, podés poner el término independiente de la ecuación (d) directamente en una forma modificada de la fórmula de la distancia. Análogamente:
| moncholo11 escribió:
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Me dan dos planos y me pide averiguar todos los puntos del plano uno que esten a una distancia de 2 del plano 2. Como hago para calcular distancias entre planos? No se podria tomar un punto particular porque habria infinitos
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La ecuación del plano 1 se puede escribir , la del plano 2 como . La distancia de un punto P del plano 1 al plano 2 es:
Combinando esa ecuación con la del plano 1, puesto que P tiene que ser del plano 1, . Tenés dos ecuaciones con tres incógnitas (las tres coordenadas de P), y queda algo parecido al punto b) del problema anterior que pusiste. ¿Lo resolviste completo?
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Entendi lo ultimo que me dijiste. Pero cuando despeje P de la ecuacion de distancia me va a quedar una ecuacion de tres incognitas. Como hago para hacer que ese punto P pertenezca al plano 1??
Gracias che,
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| moncholo11 escribió:
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Entendi lo ultimo que me dijiste. Pero cuando despeje P de la ecuacion de distancia me va a quedar una ecuacion de tres incognitas. Como hago para hacer que ese punto P pertenezca al plano 1??
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Le "pedís" que cumpla la ecuación del plano 1. Si la ecuación del plano 1 es ![[tex]N_1 \bullet (x, y, z) = n_{11}x + n_{12}y + n_{13}z = a \mbox{ y } P = (p_1, p_2, p_3)[/tex]](images/latex/d95e7caaac5895ef70c36e0ec1b9e8a51c0c7392_0.png "[tex]N_1 \bullet (x, y, z) = n_{11}x + n_{12}y + n_{13}z = a \mbox{ y } P = (p_1, p_2, p_3)[/tex]") , entonces tenés una segunda ecuación:
![[tex]n_{11}p_1 + n_{12}p_2 + n_{13}p_3 = a[/tex]](images/latex/789b1164382df997866d2727b706e53abcd8bf3f_0.png "[tex]n_{11}p_1 + n_{12}p_2 + n_{13}p_3 = a[/tex]")
Y quedan dos ecuaciones con tres incógnitas. Que significa que los puntos P que satisfacen lo pedido en el enunciado son más de uno...
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