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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Hola gente de fiuba. Creo este post porque necesito un poco de ayuda acerca de un tema que vimos ayer en algebra 1, que es una ecuacion de combinacion convexa.
Suponiendo qe tenemos un segmento AB al cual pertenece X, hay una formula qe es X=tA + (1-t)B, donde t pertenece al intervalo [0,1]. Por ejemplo, el caso de un punto medio es el caso de t=1/2.
Mi pregunta es, para que sirve esto? No entendi bien el concepto, ni tampoco entiendo porque "t" tiene que estar entre [0,1].
Por otro lado me gustaria preguntar acerca de la propiedad de Cauchy-Schwarz, que dice qe V.W=||V||.||W||.cos a
Yo tengo anotado en la carpeta qe el angulo es el que esta comprendido entre ambos vectores teniendo en cuenta obviamente que los dos vectores parten del origen de coordenadas. Pero, ¿Cual es la funcion del coseno? De donde se puede deducir o razonar esta formula? Ademas, habla de una desigualdad triangular expresada por:
||V + W|| <= ||V|| + ||W||,
Entiendo la ecuacion desde el punto de vista matematico, es decir, entiendo qe el resultado de la suma de los vectores va a ser menor o igual qe la suma de los modulos de los vectores pro separado, pero por que se menciona una desigualdad triangular??
Desde ya muchisimas gracias,
Salu2
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Por partes:
- Lo primero que mencionás, sirve para parametrizar el segmento, es decir, obtener una curva ![[tex]R \rightarrow R^3[/tex]](images/latex/3a784190d82706d726140943fc9169c3a33f0232_0.png "[tex]R \rightarrow R^3[/tex]") . Con la parametrización después podés calcular otras cosas interesantes como longitudes de arco (aunque en este caso es trivial) u otras integrales de línea, puntos intermedios, etc.
- Lo del producto escalar como producto de las magnitudes por el producto del coseno del ángulo es por convención, partiendo del caso intuitivo de la geometría en R3 y el producto escalar como proyección.
- La designualdad triangular tiene que ver con que podés pensar a los dos vectores separados como los lados de un trángulo y que su suma siempre va a tener mas (o igual en el caso extremo) magnitud que la altura del triángulo formado por esos dos vectores como lado:
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Gracias, entendi mucho mejor la parte de desigualdadd triangular. De paso aprovecho para preguntar algo acerca del producto escalar. Teniendo en cuenta dos vectores A y B, su producto escalar es:
A.B=a1b1 + a2.b2, y eso va a dar un numero real.
Bien, sin embargo, hay una propiedad, qe dice:
A.B = 1/2.(||B||² + ||A||² - ||B-A||³)
La verdad qe trate de reducir esa expresion para ver si llegaba a la primera formula qe puse de producto escalar pero no llegue a ningun lado la verdad, a no ser que haya hecho mas los calculos. Me gustaria saber a que se llega con la 2da formula qe puse.
Gracias por todo
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liebe_ist
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 85
Carrera: No especificada
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| si hiciste bien las cuentas y no da, puede q sea otro producto interno distinto del canónico. En ese caso, tambien sería confuso porque en la definicion del mismo aparece la norma, que a su vez no aclara por cuál P.I. es inducida
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Muchas gracias che. Me doy cuenta qe la materia es un poco heavy y trato de leer todo lo qe hacemos en clase asi no me trabo en nada xq sino es un problema atrasarme. Algun consejo de como estudiar la materia?
Gracias por todo nuevamente,
Salu2
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Llevarla al día y entender todos los temas. Hacer las guías y preguntar las dudas
???
Profit
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| moncholo11 escribió:
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Teniendo en cuenta dos vectores A y B, su producto escalar es:
A.B=a1b1 + a2.b2, y eso va a dar un numero real.
Bien, sin embargo, hay una propiedad, qe dice:
A.B = 1/2.(||B||² + ||A||² - ||B-A||³)
La verdad qe trate de reducir esa expresion para ver si llegaba a la primera formula qe puse de producto escalar pero no llegue a ningun lado la verdad, a no ser que haya hecho mas los calculos. Me gustaria saber a que se llega con la 2da formula qe puse.
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La segunda expresión (AKA el "teorema del coseno" de la geometría) está mal escrita, la norma de la diferencia de vectores es al cuadrado, no al cubo:
![[tex]A \bullet B = \frac{1}{2}(\|A\|^2 + \|B\|^2 - \|B - A\|^2)[/tex]](images/latex/f6ab8149ccc91c5720a6b272abe506ce7f016fdd_0.png "[tex]A \bullet B = \frac{1}{2}(\|A\|^2 + \|B\|^2 - \|B - A\|^2)[/tex]")
Y en realidad es ésta la que se deduce de la primera expresión, que se toma como definición del producto escalar. Pero podés ir al revés tomando como definición que:
![[tex]\|A\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}[/tex]](images/latex/b787d2bcfe21a65a4c26d77a43ad578c5aa87d77_0.png "[tex]\|A\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}[/tex]")
Entonces:
![[tex]\|B - A\|^2 = (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 = b_1^2 - 2a_1b_1 + a_1^2 + b_2^2 - 2a_2b_2 + a_2^2 =[/tex]](images/latex/07252e967113186cb3fd2363ba9c85884d07f1bc_0.png "[tex]\|B - A\|^2 = (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 = b_1^2 - 2a_1b_1 + a_1^2 + b_2^2 - 2a_2b_2 + a_2^2 =[/tex]")
![[tex]= \|A\|^2 + \|B\|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2)[/tex]](images/latex/e76489e7a263987a13a014edd6bfdf931155711b_0.png "[tex]= \|A\|^2 + \|B\|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2)[/tex]")
Por lo tanto:
![[tex]\|A\|^2 + \|B\|^2 - \|B - A\|^2 = 2(a_1b_1 + a_2b_2)[/tex]](images/latex/a38f62a6b1aa3bebb0098ad75c643c23cde95d36_0.png "[tex]\|A\|^2 + \|B\|^2 - \|B - A\|^2 = 2(a_1b_1 + a_2b_2)[/tex]")
![[tex]\frac{1}{2}(\|A\|^2 + \|B\|^2 - \|B - A\|^2) = a_1b_1 + a_2b_2[/tex]](images/latex/f13244eff59d20581ac68a38eabcb51b966a640d_0.png "[tex]\frac{1}{2}(\|A\|^2 + \|B\|^2 - \|B - A\|^2) = a_1b_1 + a_2b_2[/tex]")
Y como , entonces queda:
![[tex]A \bullet B = a_1b_1 + a_2b_2[/tex]](images/latex/218716761603c40bba20e21e79a16c4eacf1f550_0.png "[tex]A \bullet B = a_1b_1 + a_2b_2[/tex]")
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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Hola muchas gracias por las respuestas, ya mas o menos voy entendiendo de que se trata
Estaba haciendo un ejercicio que pedia todos los vectores (x,y) que sean perpendiculares a V=(1,2) entoncs lo que yo plantee fue:
(x,y).(1,2) = 0
x + 2y = 0
Esa seria la respuesta, es decir, se tiene qe cumplir esa condicion para qe algun vector sea perpendicular a V.
Mi duda esta cuando grafico. Yo grafico el vector V, y de ahi voy grraficando vectores que cumplan esa condicion de perpendicularidad pero me llamo la atencion que todos los vectores estan en la misma direccion de una recta perpendicular que pasa por el ORIGEN de V, osea, no podria haber vectores perpendiculares a V en rectas qe pasen por algun otro punto de V que no sea el origen? Hay algo qe estoy haciendo mal?
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Keyword
Nivel 6
Edad: 32
Registrado: 19 Jul 2011
Mensajes: 224
Carrera: Informática
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Para que la recta de soluciones esté en ![[tex] R^2 [/tex]](images/latex/a579742b2bdfa2ac8c1e9ab2c6f63a9a85d6e1e3_0.png "[tex] R^2 [/tex]") (calculo que estás trabajando en ese espacio vectorial), tiene que pasar por el 0.
Creo.
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Está bien tu planteo, y es una pregunta interesante la que hacés.
Para responderla, tenemos que ver algo antes.
Suponete que tenés un punto del plano, ![[tex]A=(a_x,a_y)[/tex]](images/latex/3a98136bddf57b0402f1b0a1549befaff1600f1e_0.png "[tex]A=(a_x,a_y)[/tex]") , y otro ![[tex]B=(b_x,b_y)[/tex]](images/latex/d950ca2d75028b20c9320434f4c6fe14b25c8364_0.png "[tex]B=(b_x,b_y)[/tex]") . Vos sabés que la dirección, el sentido, y la norma del vector que va desde ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") hasta ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") está bien determinada por ![[tex]B-A=(b_x,b_y)-(a_x,a_y)=(b_x-a_x,b_y-a_y)[/tex]](images/latex/956b1800461901fb22fed1a4493a8c321f6238e0_0.png "[tex]B-A=(b_x,b_y)-(a_x,a_y)=(b_x-a_x,b_y-a_y)[/tex]") .
Ahora, suponete que en vez de conocer y , conocés el resultado ese, y te dio [/tex]](images/latex/14fcffae2bc5863e0df878e4ecf39df72b7bfa5d_0.png "[tex](1,2)[/tex]") .
¿Conocés ? ¿Y ? A priori, pueden ser cualquier par de puntos que cuando los restás te den , por ejemplo
![[tex]A=(0,0)[/tex]](images/latex/0eb7c939c6e6f4aff01f0bf713dc72dfb0e53efd_0.png "[tex]A=(0,0)[/tex]") y ![[tex]B=(1,2)[/tex]](images/latex/d184e573267d7c702a99f625251e2ab4e38e73da_0.png "[tex]B=(1,2)[/tex]")
![[tex]A=(1,2)[/tex]](images/latex/1077b5b7b55abb07a0e0c6624a6934dcd143ac2c_0.png "[tex]A=(1,2)[/tex]") y ![[tex]B=(2,4)[/tex]](images/latex/1d8af145d346963cd596864e221444f5efc59dae_0.png "[tex]B=(2,4)[/tex]")
![[tex]A=(-1,-2)[/tex]](images/latex/7919258d1636a420af09b40537db28bd9f770bbd_0.png "[tex]A=(-1,-2)[/tex]") y ![[tex]B=(0,0)[/tex]](images/latex/160cca222fa0c18500ef7799bd85cd2591cc450a_0.png "[tex]B=(0,0)[/tex]")
... y así podría seguir todo el día. ¿A qué voy con esto? A que cuando vos tenés un vector expresado de la forma [/tex]](images/latex/69e9d586648fa97c705240acd6e69468743e00c3_0.png "[tex](x_0,y_0)[/tex]") , ¡En ningún lado aparece la información del punto de aplicación! Sólo podés conocer la norma, la dirección y el sentido.
Entonces, ante esta indeterminación, por convención, al vector lo dibujamos empezando en el [/tex]](images/latex/583815add73f267127a35e3c388acead6b75ce4b_0.png "[tex](0,0)[/tex]") y terminando en .
Entonces, cuando vos planteaste que el producto escalar entre y el [/tex]](images/latex/054044cb21957bbf7cfeba616ee7eb642c88616b_0.png "[tex](x,y)[/tex]") te de cero, lo que planteaste es que las direcciones sean perpendiculares.
Así, la ecuación ![[tex]x+2y=0[/tex]](images/latex/dd0a94cfb185b949f5476dfcd31f4bea2deefa03_0.png "[tex]x+2y=0[/tex]") te está determinando la dirección de tu vector. Si ponemos una componente en función de la otra, tenemos ![[tex]x=-2y[/tex]](images/latex/9af292fe0878f10640e86bf8fdfa3c326e2d418e_0.png "[tex]x=-2y[/tex]") , entonces, tu vector perpendicular es de la forma [/tex]](images/latex/0f40e0b59318c9f4175d49d6b732347a5e58a210_0.png "[tex](-2y,y)[/tex]") ; para cualquier valor real de ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") que quieras, siempre vas a tener un vector perpendicular a . ¡Y en ningún momento hablamos del punto de aplicación de ninguno de los dos!
Ah, una cosa más: ojo con cómo das la respuesta al problema. Si te pide un vector como respuesta, dalo en forma de vector (por ejemplo, ), no en forma de recta. Justamente, tal vez por no tironear un poco más de la respuesta y expresarlo como vector, no queda bien claro el tema de si todos los vectores perpendiculares al nacen en el origen o hay otros.
Así que, respondiendo a tu pregunta, los vectores perpendiculares son infinitos, todos vienen de esa forma que puse antes, y estén en donde estén en el plano, si cumplen la condición que utilizaste (que el producto escalar entre esos dos vectores de de cero), van a ser perpendiculares.
Espero que te haya servido.
Cualquier error que encuentren los que la tienen más clara con esto, corrijan.
Saludos!
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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liebe_ist
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 19 Ago 2009
Mensajes: 85
Carrera: No especificada
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| muy prolijo lo de elmo lesto bien
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moncholo11
Nivel 4
Edad: 30
Registrado: 01 Ene 2012
Mensajes: 83
Carrera: No especificada
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| Muchisimas gracias. Me quedo todo super claro, gracias por todo, enserio
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