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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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Adoptando como intervalo un [a;b] sobre la recta real, y el producto interno como la integral entre a y b del producto de dos funciones (definiendo la función "peso"= 1), me pregunté acerca de cómo debían ser las funciones trigonométricas que usualmente usamos para construir las S.F. Trabajé solamente con las funciones/vectores "seno" de la base. Supongo que las conclusiones se extenderán a la base completa (al menos lo aquí expuesto es una restricción a cumplir). En forma genérica:
vn = sen (n pi x / c); con n entero; a<x
Si a distinto de 0 => c = (b-a)/k; con k = 2, 3, 4,...
Si a = 0 => c = (b-a)/k; con k = 1, 2, 3, 4,...
Nótese que, si mis cuentas están bien, k no puede ser 1 si a distinto de 0.
Saludos.
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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donde dice vn = sen (n pi x / c); con n entero; a<x
debe decir vn = sen (n pi x / c); con n entero; a<x<b; c cualquier real
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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Para que vn sea ortogonal a vm (n distinto de m), deberá cumplirse:
Si a distinto de 0 => c = (b-a)/k; con k = 2, 3, 4,...
Si a = 0 => c = (b-a)/k; con k = 1, 2, 3, 4,...
Nótese que, si mis cuentas están bien, k no puede ser 1 si a distinto de 0.
Saludos.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| No entiendo si hay alguna duda o es sólo a modo informativo todo esto.
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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| Es informativo, no hay duda. ¿lo habías pensado en algún momento? yo recién hoy y me pareció que les podía interesar... mucho se dice del intervalo [-t;t] ó, como "mucho", el [0;2t]. Pero nunca vi un tratamiento más genérico al tema. ¿qué opinás?
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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| Además, cumpliendo con la restricción enunciada arriba para el valor de c, la norma al cuadrado de vn es (b-a)/2; independientemente de c
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| No offense, pero cuando usas (serie de) fourier para funciones entre a y b, en realidad estás haciendo eso creo.
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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| "Hacer corresponder" a una función en un [a;b] una combinación lineal (con infinitos términos) de funciones ortogonales (en el [a;b]), donde los coeficientes son tales que minimizan el cuadrado de la diferencia, "esa" es la S.F. de la función. Luego vendrá el estudio de la convergencia y la correspondencia podrá o no ser un "=". Las funciones trigonométricas son casos particulares de funciones ortogonales en un [a;b], bajo ciertas restricciones. La motivación surgió de esto último, a saber: ¿cuáles son las restricciones? Algunas las tenemos muy vistas, otras no tanto. Por ejemplo, para vn = sen (n pi x / c); ¿puede "c" ser cualquier número?
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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| "esa" es la S.F. de la función con respecto a "esos vectores/funciones" ortogonales.
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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Ya que estoy, agrego lo siguiente,
Para que vn y um sean ortogonales en [a;b] siendo
vn = sen (n pi x/c); um = cos (m pi x/c); n, m enteros
=> c = (b-a)/2k; k = 1, 2, 3,...
Y esta condición es más restrictiva que la anterior cuando se pretende utilizar {1, vn, um} en un [a;b].
Esto ayuda a entender porqué, por ejemplo, en el ejercicio 1) del final del 10/02/2010, en [0;L], cos(pi x/L) NO es ortogonal a: vn = sen (n pi x/L) para todo n.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| No latex, I do not approve of this post
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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Tal vez, y solo tal vez, debamos cultivar un poco la tolerancia. Hasta donde yo sé, el uso del citado lenguaje no es condición necesaria para participar de este foro. Claro, vos igual estás en todo tu derecho de "no aprobar" mis comentarios al no utilizarlo (y aquí es donde yo debo ser tolerante contigo), te respeto si es tu opinión.
Finalmente creo que el espíritu que debemos cultivar es el de intercambiar información, compartir y debatir los temas de interés común. Ahora ya sabés que no uso latex, si ves mi nombre en un post podés saltearlo y pasar al siguiente o bien leerlo y sacar lo que te resulte útil, tolerando el hecho de que esté en un lenguaje simbólico "precario". Me parece que haciendo un pequeño esfuerzo y poniendo buena voluntad, las cosas se entienden igual, máxime cuando, dada mi limitación en este sentido, me cuido de exponer cosas sencillas, que no requieren de mayor complejidad simbólica.
Saludos!
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Fue un chiste, Sheldon Abelcius, acá la gente es muy buena onda, muchos nos conocemos, nos hacemos bromas y nos juntamos todos los domingos a resolver la Ecuación de Laplace en Coordenadas Generalizadas. Somos todos re tolerantes.
La única línea que sigue Koreano en el chiste es que si escribís en un lenguaje más amigable, tus posts son más fáciles de leer para todos (incluso para vos, para revisar si la frase escrita tiene sentido), y a nosotros nos dan más ganas de participar en un debate acerca de la ortogonalidad de las funciones trigonométricas, de la completitud de los espacios de Banach, o sobre si La Gallina Pipa va a compartir foto o no.
Y en tu anteúltimo comentario, no son ortogonales porque las estás tomando en medio período.
La idea de usar L en las series de Fourier, es que al amigo Jean-Baptiste Joseph las series efectivamente se le ocurrieron resolviendo la ecuación del calor.
La barra de Fourier tenía longitud L, lo que hacemos es extender el intervalo a [-L;L], en donde ![[tex]\langle 1 ; v_n ; u_m \rangle[/tex]](images/latex/1bf0363dba54252bd5ba460fa97bbaaeba38b8c2_0.png "[tex]\langle 1 ; v_n ; u_m \rangle[/tex]") sí constituyen un sistema ortogonal. Y encima, al resolver la EDDP, como generalmente queremos la solución sólo en términos de senos o de cosenos, nos terminamos sacando de encima todas las ![[tex]v_n[/tex]](images/latex/f627aed6108d8314048dda5d481e989a834993c6_0.png "[tex]v_n[/tex]") o todas las ![[tex]u_m[/tex]](images/latex/fc75070c23160ff775afb7d99b5d1d2227c964ad_0.png "[tex]u_m[/tex]") .
Para mí, sigue siendo el enfoque más cómodo para verlo, no confundirse nunca, e interpretar bien de qué se está hablando.
Después está muy lindo e interesante el enfoque que le quieran dar los matemáticos, y todo el desarrollo que se haya hecho abstrayéndose al Análisis Funcional y demás.
Pero les re cabe, todo surgió cuando se quiso resolver la Ecuación de la Chaleur en una soberana y dura barra de longitud L. Y Fourier fue, y dijo "esto me dio así, para mí que da", en el momento no le creyeron, y después lo probaron y la tuvieron bien pero bien adentro.
La Matemática agradece de rodillas haber sido el lenguaje con el que se expresaba la Física. Sin masas aceleradas, no había teorema generalizado de Stokes para variedades de dimensión n diferenciables por trozos, orientadas, compactas, y formas diferenciales en M de grado n-1 y de clase ![[tex]C^1[/tex]](images/latex/26878ab3c0c3d82629c5e1eac9e044b7f8c9292a_0.png "[tex]C^1[/tex]") .
Te recomiendo fumarte un churrito relajarte un poco, hacerte un topic de bienvenida en donde corresponde, contarnos si te gusta tu carrera (que no sabemos cuél es) y si te gusta la música, o el vino, o resolver la ecuación de la cuerda con peso no despreciable.
Saludos
PD: Sea P el párrafo que está en itálicas. Luego, el párrafo va en joda.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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Según se explica en el Weinberger (pág. 95), lo que vengo planteando no es exacto. La forma correcta es:
1) Para la ortogonalidad de series de senos Ó cosenos en el [a;b]:
vn = sen {[n pi (x - a)]/(b-a)}; lo mismo con el argumento de las series de cosenos.
2) Para la ortogonalidad de series de senos Y cosenos en el [a;b]:
vn = sen {[n pi (x - a/2 - b/2)]/(b/2 - a/2)}; lo mismo para el argumento de los vectores/funciones coseno.
Ahora sí me parece que queda completo el tema.
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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"Elmolesto", me hiciste reir, gracias por todo lo que decís. Soy un aventurado Industrial en estas tierras lejanas donde para mí, todo esto es optativo. Asique aquí estoy, a 3 finales (incluido AIII "A") + tp prof de recibirme (perdón por no escribir el "+" en latex).
Tu comentario acerca de la no ortogonalidad no lo comparto, si es que lo entiendo bien. El intervalo (o período) está definido como el [a;b] con lo cual, en todo caso, estoy hablando de funciones (b-a) periódicas. Las funciones seno y coseno pueden ser ortogonales definiendo adecuadamente la "función argumento" en cualquier [a;b], no necesariamente en un [-b;b] (ó su equivalente [0;b] extendido al anterior), tal como comenté en el anterior comentario. Eso es lo que buscaba ayer cuando me puse con todo esto. Por mi parte, ya lo conseguí, espero que le sirva a algún otro curioso.
Finalmente si se juntan, por favor avisame, podrás contactarme por mail, donde la función argumento de mi dirección es constante e igual al nick que aquí utilizo, hospedándose la misma en un cierto sitio denominado "hotmail". Un abrazo!
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