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Mensaje |
.qwerty.
Nivel 4
Edad: 31
Registrado: 20 Dic 2011
Mensajes: 67
Carrera: Civil
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1) Por qué el determinante de una matriz de rotación es =1 y el de una de rotación y reflexión es =-1?
2) Tengo anotado en apuntes de clase que una TL T: V--> V es diagonalizable sii existe una base de V / [T]BB es diagonal. No entiendo mucho de donde sale esto último.
Si alguien sabe la respuesta de alguna y me quiere ayudar, gracias!!!
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Sebastian Santisi
Administrador Técnico
Edad: 42
Registrado: 23 Ago 2005
Mensajes: 17451
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La primera, la de la reflexión, sale bastante fácil.
Sabés que ![[tex]\det AB = \det A \det B[/tex]](images/latex/badafae68452afb81f6f9b61f1c9d55c39111ab9_0.png "[tex]\det AB = \det A \det B[/tex]")
Entonces, si tenés una reflexión R, podés diagonalizarla como ![[tex]C D C^{-1}[/tex]](images/latex/1d107b909bba588885c0cbf548a4c9e442494fd9_0.png "[tex]C D C^{-1}[/tex]") , de ahí ![[tex]\det R = \det C \det D \det C^{-1} = (\det C \det C^{-1}) \det D = \det D[/tex]](images/latex/33188e0cebc8be67cac77f897d95acbd931e0fb6_0.png "[tex]\det R = \det C \det D \det C^{-1} = (\det C \det C^{-1}) \det D = \det D[/tex]") .
Si D es la matriz diagonal de una reflexión, todos sus AVs tienen que ser 1 salvo el del eje de reflexión (la propiedad se cumple siempre y cuando rotes sobre un número impar de ejes).
La propiedad de la de rotación viene por el mismo lado; la rotación tiene que preservar la escala, por lo que los autovalores deberían ser todos 1.
(Alguien que me corrija si estoy "integrando fuera del recinto", hace bastante que no toco álgebra.)
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 ![[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]](images/latex/d678cf273c99d2546c259db3422b3d968b184721_0.png "[tex] ${. \ \ \ \ \ \ \ \ \ .}$ [/tex]") ![[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]](images/latex/1e6580e1ed9e054ddefd65c0551c670c44f57f38_0.png "[tex] ${\Large Usá \LaTeX, no seas foro...}$ [/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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1) Lo que dijo SS está impecable.
2) Es sencilla la idea, basta aplicar la definición de AVA/AVE. Si ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") es AVE de ![[tex]T[/tex]](images/latex/d2e04dadb5f6870434e79813f5ee568b1864df29_0.png "[tex]T[/tex]") asociado a ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") , entonces ocurre que ![[tex]T(v) = \lambda v[/tex]](images/latex/8fcd94d522e45ae98dbcaa57805080983b32c22d_0.png "[tex]T(v) = \lambda v[/tex]") (esto sale de la definición de AVA/AVE).
Considera una base de V (de dimensión finita) ![[tex]B = \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \right\}[/tex]](images/latex/39f01e8d38b7225f3bf561cb59b503b44e7c7e92_0.png "[tex]B = \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \right\}[/tex]") que este compuesta por autovectores de T. Escribí la matriz ![[tex][T]_{B}[/tex]](images/latex/d09187acd7440b6a6f03fc41a890e9ce53ca7891_0.png "[tex][T]_{B}[/tex]") a ver qué te da.
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.qwerty.
Nivel 4
Edad: 31
Registrado: 20 Dic 2011
Mensajes: 67
Carrera: Civil
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