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Mensaje |
aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Buen día, nuevamente yo
Me ayudarían con este ejercicio de divergencia?
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Dado el campo vectorial ![[tex]\overrightarrow {F}\left( \overrightarrow {r}\right) = 3 \dfrac {\overrightarrow {r}} {\left\| \overrightarrow {r}\right\| ^{3}} [/tex]](images/latex/788f482affebeb03f959af0b20b17a16d076ff2b_0.png "[tex]\overrightarrow {F}\left( \overrightarrow {r}\right) = 3 \dfrac {\overrightarrow {r}} {\left\| \overrightarrow {r}\right\| ^{3}} [/tex]") , r distinto de 0 , siendo ![[tex]\overrightarrow {r}=\left( x,y,z\right) \in R^3 [/tex]](images/latex/f1008c255e6af60cd48685517cddef1948ca9f9e_0.png "[tex]\overrightarrow {r}=\left( x,y,z\right) \in R^3 [/tex]") el vector posición y ![[tex]\left\| \overrightarrow {r}\right\| [/tex]](images/latex/5e6a6a22ad1a575b70b5beb707a7164c202c6e22_0.png "[tex]\left\| \overrightarrow {r}\right\| [/tex]") su norma.
Probar que ![[tex]div\left( F\left( \overrightarrow {r}\right) \right) =0[/tex]](images/latex/5298392af9024512b452df12c122ae91edc6b51a_0.png "[tex]div\left( F\left( \overrightarrow {r}\right) \right) =0[/tex]") para todo r en R3 no nulo
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Para resolverlo: Intenté calculando la divergencia directamente, pero no me queda igual a 0.
Cada termino de F lo reescribo:
![[tex]F=(\dfrac {3x} {\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\dfrac {3} {2}}} , (\dfrac {3y}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\dfrac {3} {2}}} , (\dfrac {3z}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\dfrac {3} {2}}} [/tex]](images/latex/4d1f23170cfe874d109a0f3b1a92b89b1312eb79_0.png "[tex]F=(\dfrac {3x} {\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\dfrac {3} {2}}} , (\dfrac {3y}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\dfrac {3} {2}}} , (\dfrac {3z}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{\dfrac {3} {2}}} [/tex]")
Y de ahí no parece que la divergencia de F de 0.
Otra cosa que se me ocurrió es buscar F = grad (G) , pero se complica mucho encontrarlo.
Cualquier ayuda es bienvenida.
Saludos,
EDIT:
Por las dudas, el examen es este:
23/02/2010 Ejercicio 5
http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/coloquios10.pdf
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Sino siempre lo podés hacer en coordenadas esféricas y se hace bastante más fácil, aunque no recuerdo si en AMII trabajabas con los operadores en esféricas.
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Si, se trabaja.
Claro, en esféricas tiene más sentido...
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| No, no se trabaja. En AMII se ven coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas (en el caso del espacio). Pero la expresión de los operadores Divergencia, Rotor y Laplaciano en los últimos dos sistemas de coordenadas no se ve. Es distinto coordenadas esféricas a la expresión de los operadores en ese sistema de coordenadas.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Con las herramientas de la primer aparte de la materia los podés deducir, en teoría. Aparte en física 2 los necesitás a veces, así que está bueno ir aprendiendolos :brotip:
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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gracias, bro
Encontré otro parcial del 2010 con un enunciado similar, y salió calculando la divergencia "a manopla". Ojala me toque uno más así en el final 
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![[tex]\vec{F}= \begin{pmatrix} F_x(x,y,z) , F_y(x,y,z) , F_z(x,y,z) \end{pmatrix} [/tex]](images/latex/f6838cab9994fdc4635780c306fa2aa2552fd1a5_0.png "[tex]\vec{F}= \begin{pmatrix} F_x(x,y,z) , F_y(x,y,z) , F_z(x,y,z) \end{pmatrix} [/tex]")
,
![[tex]div \vec{F}= \nabla \cdot \vec{F}= \frac { \partial{F_x}}{\partial x} + \frac { \partial{F_y}}{\partial y} + \frac { \partial{F_y}}{\partial y}[/tex]](images/latex/9003a4d411e5309371327ac4b07b40a8f532e80f_0.png "[tex]div \vec{F}= \nabla \cdot \vec{F}= \frac { \partial{F_x}}{\partial x} + \frac { \partial{F_y}}{\partial y} + \frac { \partial{F_y}}{\partial y}[/tex]")
![[tex]\vec{F}(\vec{r})= 3 \frac{\vec{r}}{|| \vec{r} ||^3}[/tex]](images/latex/5b84fafafbc674de601e941a2e42e1fa9fff45a9_0.png "[tex]\vec{F}(\vec{r})= 3 \frac{\vec{r}}{|| \vec{r} ||^3}[/tex]")
![[tex]div \vec{F}= \frac { 3 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9x^2{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2}} } { {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3} } + \frac { 3 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9y^2{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2}} } { {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3} }[/tex]](images/latex/a1c1f5869c6e830a015038c488fdfaf7a0e45efd_0.png "[tex]div \vec{F}= \frac { 3 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9x^2{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2}} } { {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3} } + \frac { 3 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9y^2{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2}} } { {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3} }[/tex]")
![[tex]+ \frac { 3 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9z^2{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2}} } { {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3} }[/tex]](images/latex/d434df762f62cb8f32a59dae1cd245e18ebe915d_0.png "[tex]+ \frac { 3 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9z^2{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2}} } { {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3} }[/tex]")
![[tex]div \vec{F}= \frac { 9 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9 \begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z ^2 \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2} }}{{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3}}=0[/tex]](images/latex/38cb79acf6e93bf31b06d0cf1882839355c6e234_0.png "[tex]div \vec{F}= \frac { 9 {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{3}{2}} - 9 \begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z ^2 \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{\frac{1}{2} }}{{\begin{pmatrix} x^2 + y^2 + z^2 \end{pmatrix}}^{3}}=0[/tex]")
, ![[tex]\forall[/tex]](images/latex/c7cb47e44de41c0b8ce5e5b821ec85b9005c74af_0.png "[tex]\forall[/tex]")
![[tex]\vec{r} \in {R^3}[/tex]](images/latex/2de11af5e85881fcf006fde8e51a4ff3d5010448_0.png "[tex]\vec{r} \in {R^3}[/tex]")
NO NULO