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Mensaje |
aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Buenas tardes,
Una vez más, yo.
El ejercicio es:
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Sean S una porción de la superficie de ecuación ![[tex]x^{2}+y^{2}=4[/tex]](images/latex/38f38986a4fbfec30bd4b49a027e3e59a7cc49b9_0.png "[tex]x^{2}+y^{2}=4[/tex]") de área 5 y su borde, C, una curva simple y suave. Calcular la circulación del campo ![[tex]\overrightarrow {f}\left( x,y,z\right) =\left( zyx,x,yx\right) [/tex]](images/latex/dd8305d57cf69d865c9a57a71e51fe4842d440c4_0.png "[tex]\overrightarrow {f}\left( x,y,z\right) =\left( zyx,x,yx\right) [/tex]") sobre C. Indicar mediante un gráfico la orientación elegida para la curva C.
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Y lo que intenté para resolverlo:
Sabiendo que la curva es suave y simple, además cerrada porque encierra a S, aplico stokes. Queda algo medianamente sencillo, incluso puedo usar una normal n= (1,0,0) el problema es que no sé los límites de S ya que no dice qué superficie es (ídem C)
Cualquier ayuda es bienvenida.
Saludos,
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florgon
Nivel 6
Edad: 39
Registrado: 07 Jun 2010
Mensajes: 259
Carrera: No especificada
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| si bien no tenes los limites el problema te dice que el area es 5. usando la def de area para una superficie tenes que el area es igual a la integral doble de la norma de la normal por elnde de ahi sacas el valor de la integral doble de la superficie sobre 1. y con eso ya lo resolves porque te tiene que haber dado que la integral doble del rotor sobre la superficie es igual a la integral de 4, sacas 4 por las props de las integrales y listo!
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53 % Ingeniera
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Hola,
Gracias por tu respuesta.
No me está quedando 4 como rotor. Tengo que:
![[tex]\nabla \times F=\left( x,y,1-2z\right) [/tex]](images/latex/96e8f3fbe3fc4826e87ae504c7b82c655b401a87_0.png "[tex]\nabla \times F=\left( x,y,1-2z\right) [/tex]")
![[tex]\int _{c}Fds=\int _{s}\nabla \times F n ds[/tex]](images/latex/1f3d956bbfa9dbd325432e80c53ed365d7fd360d_0.png "[tex]\int _{c}Fds=\int _{s}\nabla \times F n ds[/tex]")
y eso es la integral doble de x si la normal es (1,0,0)
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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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Podes calcular la circulación usando el teorema de Stokes. O sea, calcular el flujo de ![[tex] \int\int _{s} rot(F).N ds[/tex]](images/latex/f7ca6261a9a3737f85ebfb76e40dcb8b319b4dcf_0.png "[tex] \int\int _{s} rot(F).N ds[/tex]")
El rotor de F me da igual que a vos. Parametrizas S usando polares. Te queda S=(2cost;2sent;z). La normal de S la hallas haciendo el producto vectorial S'txS'z= (2cost;2sent;0)
Y ahora calculas el flujo. ![[tex]\int\int _{s} (2cost;2sent;...).(2cost;2sent;0) ds[/tex]](images/latex/a895426407502a9f064304ebccb626e7365efb25_0.png "[tex]\int\int _{s} (2cost;2sent;...).(2cost;2sent;0) ds[/tex]") ![[tex]= \int\int _{s} 4 ds[/tex]](images/latex/e3a9c4bc21bf9fb8c8bbb81c3ada48d000a5bf7d_0.png "[tex]= \int\int _{s} 4 ds[/tex]") Sacas el 4 afuera de la integral porque es constante y te queda
![[tex] 4\int\int _{s} 1 ds[/tex]](images/latex/4bf13f8c998409e21fb9532195576e2fe27e8d95_0.png "[tex] 4\int\int _{s} 1 ds[/tex]")
Bueno, ahora calculas el área de S para ver si podes usar el otro dato que te dan que es que el área es 5. El área se calcula como [tex] \int\int _{s} ǀNǀ dudv[/tex]
Calculas el módulo de la normal que tenías de antes y te da 2. Igualas al dato
![[tex] \int\int _{D} 2 dudv= 5[/tex]](images/latex/3380dc9c0ba71cc31624e6d28ece5992cb189665_0.png "[tex] \int\int _{D} 2 dudv= 5[/tex]")
![[tex] \int\int _{D} dudv= 5/2[/tex]](images/latex/e948fd7c145e95ba0af5ecc2a873a5ffdb50f069_0.png "[tex] \int\int _{D} dudv= 5/2[/tex]")
Reemplazas en el flujo y queda:
Circulación= = 4. 5/2= 10
Medio que no se entendió mucho (?)
@__@
Edit: Le puse Latex :B
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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| Megu*~ escribió:
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Podes calcular la circulación usando el teorema de Stokes. O sea, calcular el flujo de
El rotor de F me da igual que a vos. Parametrizas S usando polares. Te queda S=(2cost;2sent;z). La normal de S la hallas haciendo el producto vectorial S'txS'z= (2cost;2sent;0)
Y ahora calculas el flujo. Sacas el 4 afuera de la integral porque es constante y te queda
Bueno, ahora calculas el área de S para ver si podes usar el otro dato que te dan que es que el área es 5. El área se calcula como [tex] \int\int _{s} ǀNǀ dudv[/tex]
Calculas el módulo de la normal que tenías de antes y te da 2. Igualas al dato
Reemplazas en el flujo y queda:
Circulación= = 4. 5/2= 10
Medio que no se entendió mucho (?)
@__@
Edit: Le puse Latex :B
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Hola,
Entiendo la mayor parte pero no logro visualizar bien por qué hay necesidad de calcular la norma:
En una parte llegaste a:
y el ejercicio dice: S tiene área 5
=>
= 20
(??)
Saludos !!
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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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| aimac escribió:
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| Megu*~ escribió:
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Podes calcular la circulación usando el teorema de Stokes. O sea, calcular el flujo de
El rotor de F me da igual que a vos. Parametrizas S usando polares. Te queda S=(2cost;2sent;z). La normal de S la hallas haciendo el producto vectorial S'txS'z= (2cost;2sent;0)
Y ahora calculas el flujo. Sacas el 4 afuera de la integral porque es constante y te queda
Bueno, ahora calculas el área de S para ver si podes usar el otro dato que te dan que es que el área es 5. El área se calcula como [tex] \int\int _{s} ǀNǀ dudv[/tex]
Calculas el módulo de la normal que tenías de antes y te da 2. Igualas al dato
Reemplazas en el flujo y queda:
Circulación= = 4. 5/2= 10
Medio que no se entendió mucho (?)
@__@
Edit: Le puse Latex :B
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Hola,
Entiendo la mayor parte pero no logro visualizar bien por qué hay necesidad de calcular la norma:
En una parte llegaste a:
y el ejercicio dice: S tiene área 5
=>
= 20
(??)
Saludos !!
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Porque eso no es el área e_e el área es con la norma de la normal
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Claro, el tema es que a vos te queda:
y yo pensé que eso significaba la integral doble de la función 1 sobre S..
![[tex] \int\int _{s} 1 ds = \int\int _{S} 1(x(u,v),y(u,v),z(u,v) ) ||\sigma ' u x \sigma ' v || dudv[/tex]](images/latex/d0c2d95da33d87014b5c5f6437cadec82a5596fe_0.png "[tex] \int\int _{s} 1 ds = \int\int _{S} 1(x(u,v),y(u,v),z(u,v) ) ||\sigma ' u x \sigma ' v || dudv[/tex]")
Con sigma una parametrización de S.
Me pareció confuso esa parte pero buen.
Saludos, gracias !
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Megu*~
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2011
Mensajes: 712
Ubicación: Prontera
Carrera: Naval
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| aimac escribió:
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| Megu*~ escribió:
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Podes calcular la circulación usando el teorema de Stokes. O sea, calcular el flujo de
El rotor de F me da igual que a vos. Parametrizas S usando polares. Te queda S=(2cost;2sent;z). La normal de S la hallas haciendo el producto vectorial S'txS'z= (2cost;2sent;0)
Y ahora calculas el flujo. Sacas el 4 afuera de la integral porque es constante y te queda
Bueno, ahora calculas el área de S para ver si podes usar el otro dato que te dan que es que el área es 5. El área se calcula como [tex] \int\int _{s} ǀNǀ dudv[/tex]
Calculas el módulo de la normal que tenías de antes y te da 2. Igualas al dato
Reemplazas en el flujo y queda:
Circulación= = 4. 5/2= 10
Medio que no se entendió mucho (?)
@__@
Edit: Le puse Latex :B
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Hola,
Entiendo la mayor parte pero no logro visualizar bien por qué hay necesidad de calcular la norma:
En una parte llegaste a:
y el ejercicio dice: S tiene área 5
=>
= 20
(??)
Saludos !!
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Ahora que lo pienso, eso también es área. Se me está mezclando área de integrales dobles con la de superficie, vease: alta fruit mi resolución :B
Alguien entiende este ejercicio? : P
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Para mi, el resultado es 20. Sale un poco más directo de lo que propusiste.
Bueno nada, solucionémoslo como buenos aspirantes a ingeniero
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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El problema está en que no es LA NORMAL, es el VERSOR NORMAL
![[tex]\int\int _{s} rot(\vec{F}) \cdot d \vec{s}= \int\int _{s} rot(\vec{F}) \cdot \hat{n} ds[/tex]](images/latex/f6f98ff1a62aca64ac351122a1e88064c17910ad_0.png "[tex]\int\int _{s} rot(\vec{F}) \cdot d \vec{s}= \int\int _{s} rot(\vec{F}) \cdot \hat{n} ds[/tex]")
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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pero guarda que estamos hablando de área (integral doble de F sobre superficie) en donde, a lo sumo, aplica el J por el cambio de variables.
Una vez que se hizo el producto escalar:
![[tex]= \int\int _{s} 4 ds = 4 \int\int _{s} 1 ds [/tex]](images/latex/fb7f2a85d5c533fd54d085e0edccddb9e7dc5096_0.png "[tex]= \int\int _{s} 4 ds = 4 \int\int _{s} 1 ds [/tex]")
Donde ese 1 en la doble integral, es , a mi entender, la ""función"" 1(x,y,z) tal que 1(x,y,z)= 1. y el "ds" es en realidad ![[tex]||\sigma ' u x \sigma ' v || du dv[/tex]](images/latex/48929663e10cc2ae6b091400306b9adb53fb6991_0.png "[tex]||\sigma ' u x \sigma ' v || du dv[/tex]") sobre el que se está integrando. Es decir,
![[tex]\int\int _{s} 1 ds [/tex]](images/latex/0526bfe577273c595a7a94d28e1203b4c8f2c701_0.png "[tex]\int\int _{s} 1 ds [/tex]") = área de S
Creo que la duda respecto a esta cuestión apunta más que nada a saber si, una vez hecho el producto escalar por la normal, igual hay que agregar el Jacobiano del cambio de variable dxdy por dudv
Más opiniones se aceptan.
Saludos gente !
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| No es muy claro el problema. Hay infinitas porciones del cilindro cuya área es 5 y cuyo borde es una curva simple y suave. Cómo sabés cuál de todas usar? Aparte el problema no tiene mucha simetría ni un rotor que permita relacionar las infinitas áreas/curvas posibles que se piden. De dónde lo sacaste?
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Tenés mal la primer componente del campo f. Lo que se me ocurre hacer es lo siguiente. Como te piden que la curva C sea única y suave (y parece que no permite que sea suave a trozos), incrustás una circunferencia de radio R en el cilindro. Con el dato del área determinás el radio. Una vez que tenés la curva, podés aplicar Stokes para averiguar la circulación, eligiendo la orientación que mas te guste. Lo mas difícil de todo el problema es meter una circunferencia "pegada" sobre la superficie cilíndrica. El resto es mecánico.
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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En el enunciado dice que es una curva simple y suave, la parametrización y las componentes de ![[tex]\vec{F}[/tex]](images/latex/b6257d8b07f9a80f642fb65672c43f98e7810c6e_0.png "[tex]\vec{F}[/tex]") es diferenciable por lo que vamos a aplicar el Teorema del Rotor
![[tex]\oint\limits_{\mathcal{C}} \vec{F}d\vec{r}=\iint\limits _{S} rot(\vec{F}) \cdot d \vec{s}= \iint\limits _{S} \nabla \times \vec{F} \cdot \hat{n} ds[/tex]](images/latex/523e38715472b1c4f8117f09be8de1e3a3fb729e_0.png "[tex]\oint\limits_{\mathcal{C}} \vec{F}d\vec{r}=\iint\limits _{S} rot(\vec{F}) \cdot d \vec{s}= \iint\limits _{S} \nabla \times \vec{F} \cdot \hat{n} ds[/tex]")
![[tex]\vec{S}(\theta,z)=(2 cos \theta, 2 sen \theta , z)[/tex]](images/latex/6eebdfc4e11d6616d659cb054ad010710c68ef2a_0.png "[tex]\vec{S}(\theta,z)=(2 cos \theta, 2 sen \theta , z)[/tex]")
![[tex]{{\vec{S}}^{'}}_{\theta}=(-2 sen\theta, 2 cos\theta , 0)[/tex]](images/latex/edcb35ec6d2f0c80f59f928ab18166fe8e43e4d0_0.png "[tex]{{\vec{S}}^{'}}_{\theta}=(-2 sen\theta, 2 cos\theta , 0)[/tex]") , ![[tex]{\vec{S}^{'}}_{z}=(0, 0 , 1)[/tex]](images/latex/9e67ddcf3384d5d280bf2e270ddc6cdce44cce5e_0.png "[tex]{\vec{S}^{'}}_{z}=(0, 0 , 1)[/tex]")
![[tex]{{\vec{S}}^{'}}_{\theta} \times {{\vec{S}}^{'}}_{z}=(2cos\theta, 2sen\theta,0)[/tex]](images/latex/ae54eebcc8d26262d246d4027d9a0d0e4f4bdb21_0.png "[tex]{{\vec{S}}^{'}}_{\theta} \times {{\vec{S}}^{'}}_{z}=(2cos\theta, 2sen\theta,0)[/tex]")
![[tex]\hat{n}=(cos\theta, sen\theta,0)[/tex]](images/latex/213a68fb605e7acdd43af0d7047ccd4abe39babf_0.png "[tex]\hat{n}=(cos\theta, sen\theta,0)[/tex]")
![[tex]\nabla \times \vec{F} = (x,y,1-2z)[/tex]](images/latex/4cfbbd6275ded1206d36b5b5b62f9f77ec5cdbde_0.png "[tex]\nabla \times \vec{F} = (x,y,1-2z)[/tex]")
![[tex]\iint\limits _{S} \nabla \times \vec{F} \cdot \hat{n} ds=\iint\limits _{S} (2cos\theta,2sen\theta,1-2z) \cdot (cos\theta,sen\theta,0)ds=\iint\limits _{S} 2ds[/tex]](images/latex/5b0ba51351436287deb15f219a24bfa97202624e_0.png "[tex]\iint\limits _{S} \nabla \times \vec{F} \cdot \hat{n} ds=\iint\limits _{S} (2cos\theta,2sen\theta,1-2z) \cdot (cos\theta,sen\theta,0)ds=\iint\limits _{S} 2ds[/tex]") ![[tex]=2[/tex]](images/latex/052f8778d83f6d24f0d58154de87cb53913c21d8_0.png "[tex]=2[/tex]") ![[tex]Area(S)=10[/tex]](images/latex/6c107a30303356d0f91502631b26987198cc34b0_0.png "[tex]Area(S)=10[/tex]")
Por lo tanto: ![[tex]\oint\limits_{\mathcal{C}} \vec{F}d\vec{r}=10[/tex]](images/latex/604f93389e3f100a190ead70c6866469058c7e16_0.png "[tex]\oint\limits_{\mathcal{C}} \vec{F}d\vec{r}=10[/tex]")
con ![[tex]\mathcal{C}[/tex]](images/latex/49ae27566c3e3ab5472a9bbb9e8de5411211149b_0.png "[tex]\mathcal{C}[/tex]") una curva orientada positivamente
El dibujo del cilindro sería este:
(?)
jajajaj es este:
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Última edición por Franzl el Mar Feb 14, 2012 5:41 pm, editado 1 vez
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