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Mensaje |
Hermitico
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 19 Nov 2011
Mensajes: 68
Carrera: Industrial
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En este coloquio el punto 1 a) dice:
Sea A perteneciente a C(2x2) con 2 autovalores distintos. Probar que si B pertenece a C(2x2) es tal que AB=BA entonces B es diagonalizable.
Con el primer dato saco que por A pertenecer a C(2x2) y tener 2 autovalores distintos es diagonalizable. Pero no se me ocurre como relacionarlo con los autovalores y autovectores de B.
Si alguien tiene una idea le agradezco.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Sean ![[tex]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/tex]](images/latex/18a310a3b44174b3da8238d9d0810b722f44d0cc_0.png "[tex]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/tex]") los AVAs de A asociados a los AVEs ![[tex]v_{1}, v_{2}[/tex]](images/latex/c70655ba6edb637f661b64b637e73312791728a9_0.png "[tex]v_{1}, v_{2}[/tex]") respectivamente.
Considera lo siguiente. Como ![[tex]AB = BA[/tex]](images/latex/79794384848d6666912be69dac4216231f5dd191_0.png "[tex]AB = BA[/tex]") , entonces ![[tex]BAv_{1} = ABv_{1} \Longleftrightarrow \lambda_{1}Bv_{1} = ABv_{1}[/tex]](images/latex/5e011aa4dbcda5fd685e12d5b776598b5eae8b57_0.png "[tex]BAv_{1} = ABv_{1} \Longleftrightarrow \lambda_{1}Bv_{1} = ABv_{1}[/tex]") .
Llamemos ![[tex]u = Bv_{1}[/tex]](images/latex/ecc954d2e99f2a69acf931ae3deb62057c6be311_0.png "[tex]u = Bv_{1}[/tex]") . De la ecuación anterior se deduce que ![[tex]Au = \lambda_{1}u[/tex]](images/latex/318f0f5267b60a222c4f52478f9b30343fd87ea0_0.png "[tex]Au = \lambda_{1}u[/tex]") , con lo cual, ![[tex]u[/tex]](images/latex/c0a8c2cb7cac5d96b201825d488d0e85101ddfa1_0.png "[tex]u[/tex]") es AVE de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") asociado a ![[tex]\lambda_{1}[/tex]](images/latex/24484928611783cb669059a796502a4085af3029_0.png "[tex]\lambda_{1}[/tex]") .
Por ende, pertenece al autoespacio generado por ![[tex]v_{1}[/tex]](images/latex/9475db80aa812fee766a94532507abedb8ec7d2a_0.png "[tex]v_{1}[/tex]") , por ser el asociado a ese AVA. Por ende, tiene que ocurrir que ![[tex]Bv_{1} = \alpha_{1} v_{1}[/tex]](images/latex/1cc45217c0fcfb472047b1a8b81537d601c2358b_0.png "[tex]Bv_{1} = \alpha_{1} v_{1}[/tex]") , con ![[tex]\alpha_{1}[/tex]](images/latex/ebe4348a180daf38be1f47848d3a2c918f215856_0.png "[tex]\alpha_{1}[/tex]") un escalar complejo.
Haces lo mismo con el otro AVE y concluís que ![[tex]B[/tex]](images/latex/133465fc3d126a47593d2ffc76426cb2e5e9437d_0.png "[tex]B[/tex]") es diagonalizable por tener los mismos AVEs que (son 2 y LI).
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Hermitico
Nivel 4
Edad: 32
Registrado: 19 Nov 2011
Mensajes: 68
Carrera: Industrial
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| Muchas gracias Jackson ! Hasta en febrero estas al pie del cañon, jajaja
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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| Jackson666 escribió:
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Considera lo siguiente. Como , entonces .
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No entiendo eso... alguno me lo explica plis? :$
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Multiplicó por ![[tex]v_1[/tex]](images/latex/1d09daaea7af8b91c3ff8eda63dcda6a4a279549_0.png "[tex]v_1[/tex]") ambos miembros y reemplazó que ![[tex]A v_1 = \lambda_1 v_1[/tex]](images/latex/c28485591d0b27fd5ad1c5e4c086608d74f06f3c_0.png "[tex]A v_1 = \lambda_1 v_1[/tex]") por hipótesis. Los escalares pueden moverse libremente entre los operadores, al contrario de los operadores que no son en general comutativos.
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