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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Hola.
Les traigo el siguiente problema de parametrización:
El ejercicio (Ejercicio 2 del coloquio) + la forma de resolverlo está en el siguiente Link:
http://materias.fi.uba.ar/6103/coloquios/C9-12-10-RES.pdf
La parte de obtener la función densidad la entendí e hice bien, pero no logro ver cómo parametrizar esa superficie (que tenía una idea mental de su gráfico pero aún así no pude)
Esta es la parametrización que hubiese puesto:
![[tex]x = \rho cos \theta \quad ; \quad y = \sqrt {0.5} \rho sen \theta ; \quad z \in \lbrack \rho ^2 , 2- \rho ^2 cos ^2 \theta\rbrack [/tex]](images/latex/71abeaa206e0ee787870f6f46e6177574df59b6d_0.png "[tex]x = \rho cos \theta \quad ; \quad y = \sqrt {0.5} \rho sen \theta ; \quad z \in \lbrack \rho ^2 , 2- \rho ^2 cos ^2 \theta\rbrack [/tex]")
es decir, que no concuerdo con el que resolvió el ejercicio en el primer límite de z. En la primera ecuación (x^2 + 2y^2 = z como límite inferior) entiendo que z=rho cuadrado
Se aprecia cualquier ayuda
Saludos
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Educ
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 20 Nov 2010
Mensajes: 158
Ubicación: The land of a new Rising Sun
Carrera: Informática
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No le preste mucha atención pero a simple vista usa coordenadas polares.
Vos sabes que:
![[tex]\begin{cases} x=r \cos{\theta}\\y=r \sin{\theta}\\z=z\end{cases} [/tex]](images/latex/49b4142de9427a64d36a4328f8dbac23ac4c8070_0.png "[tex]\begin{cases} x=r \cos{\theta}\\y=r \sin{\theta}\\z=z\end{cases} [/tex]")
Para poder sacar los limites de z, vos tenes ![[tex]2x^2+y^2\leq z[/tex]](images/latex/acf23f7b770bf2d79dd7bc283b9e36a8f88cd54a_0.png "[tex]2x^2+y^2\leq z[/tex]") entonces podes plantear:
![[tex]2r^2 {\cos}^2{\theta} + r^2 {\sin}^2{\theta}\leq z\\r^2(2{\cos}^2{\theta} + {\sin}^2{\theta})\leq z\\[/tex]](images/latex/fed2816e8cef820b962cd1b34b83444fd8602a61_0.png "[tex]2r^2 {\cos}^2{\theta} + r^2 {\sin}^2{\theta}\leq z\\r^2(2{\cos}^2{\theta} + {\sin}^2{\theta})\leq z\\[/tex]")
como vos sabes que ![[tex]{\cos}^2{\theta} + {\sin}^2{\theta}=1[/tex]](images/latex/4594f030d5b4a41e5928d72022c443282de64691_0.png "[tex]{\cos}^2{\theta} + {\sin}^2{\theta}=1[/tex]") , despejas ![[tex]{\sin}^2{\theta}[/tex]](images/latex/85863259aeb0c871e40c436b893f800dfcc1eb51_0.png "[tex]{\sin}^2{\theta}[/tex]") , reemplazas y te queda ![[tex]r^2(1+{\cos}^2{\theta})\leq z\\[/tex]](images/latex/916fc6960cafdb60fcaaab0c66a7982905b54456_0.png "[tex]r^2(1+{\cos}^2{\theta})\leq z\\[/tex]")
CREO que es así, Saludos!
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![[tex]\mbox{\large Let the music be your master.}[/tex]](images/latex/e3a87c6a535556aa0fe8fe5950da6dd436e4e2ba_0.png "[tex]\mbox{\large Let the music be your master.}[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| La pregunta es: ¿para qué querés parametrizarla?. Pareciera necesario parametrizar para calcular un área.
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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Je, iba a poner lo mismo que Jakson666. Hablemos con propiedad. El problema no tiene una superficie que tenés que parametrizar, tiene un... "macizo" sobre el que tenés que calcular una integral triple con un cambio de variables.
| aimac escribió:
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Esta es la parametrización que hubiese puesto:
es decir, que no concuerdo con el que resolvió el ejercicio en el primer límite de z. En la primera ecuación (x^2 + 2y^2 = z como límite inferior) entiendo que z=rho cuadrado
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(Dejando de lado que eso no es una "parametrización", es un "cambio de variables"...)
Eso sería si hubieras tenido ![[tex]\textstyle x^2 + 2y^2 \leq z \leq 2 - x^2[/tex]](images/latex/b0528f5cb318435198e81ad65769a1e5110f959f_0.png "[tex]\textstyle x^2 + 2y^2 \leq z \leq 2 - x^2[/tex]") . Acá tenés ![[tex]\textstyle 2x^2 + y^2 \leq z \leq 2 - y^2[/tex]](images/latex/e9ecc3f75af1a10904dcea45897f3b15a80fbac9_0.png "[tex]\textstyle 2x^2 + y^2 \leq z \leq 2 - y^2[/tex]") . La resolución que linkeás utilizó directamente coordenadas cilíndricas de la forma que explicó Educ. Pero en vez de eso, se podría haber hecho un cambio de variables similar al que proponés:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x = \sqrt{\frac{1}{2}} \rho \cos \varphi \\y = \rho \sen \varphi\end{array} \right .[/tex]](images/latex/d02effe5fa45d940fdc14c3f5f7cc727d6d93aab_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x = \sqrt{\frac{1}{2}} \rho \cos \varphi \\y = \rho \sen \varphi\end{array} \right .[/tex]")
Eso hubiera estado bien también. Ahí te hubiera quedado ![[tex]\textstyle \rho^2 \leq z \leq 2 - \rho^2 \sen^2 \varphi[/tex]](images/latex/f9a2fd9e696a8ec480c9a7dcc83a21d5d7da9dcd_0.png "[tex]\textstyle \rho^2 \leq z \leq 2 - \rho^2 \sen^2 \varphi[/tex]") . El integrando hubiera sido otro, el jacobiano hubiera sido otro (![[tex]\textstyle \sqrt{\frac{1}{2}}\rho[/tex]](images/latex/b7d067d61e64de1b714cfe9a8fffb5f4f2d1111b_0.png "[tex]\textstyle \sqrt{\frac{1}{2}}\rho[/tex]") ) pero el resultado numérico de la integral hubiera sido el mismo.
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Excelente huey, jackson y educ. Es cierto. Voy a ver como resulta con ese cambio en las variables de integración. Casi se me olvida el det.jacob.
Saludos
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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Tengo una pregunta.
Se puede realizar este ejercicio parametrizando, y luego haciendo integral doble de norma del producto vectorial de las derivadas de la parametrización?
Para obtener el área de una superficie tengo entendido que es así, por eso la pregunta.
Saludos,
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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| aimac escribió:
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Tengo una pregunta.
Se puede realizar este ejercicio parametrizando, y luego haciendo integral doble de norma del producto vectorial de las derivadas de la parametrización?
Para obtener el área de una superficie tengo entendido que es así, por eso la pregunta.
Saludos,
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Sí, si la parametrización ![[tex]\vec{\sigma}[/tex]](images/latex/bc7c32d5dfedfb278b00c883ca422acfaad35c3e_0.png "[tex]\vec{\sigma}[/tex]") es diferenciable en el recinto D.
por lo que
![[tex]\iint\limits_{D} dS=\iint\limits_{\Sigma} || \vec{\sigma_u} \times \vec{\sigma_v} || dudv[/tex]](images/latex/777fa6e63d61710c6c8ada5ffd40a9585caacc71_0.png "[tex]\iint\limits_{D} dS=\iint\limits_{\Sigma} || \vec{\sigma_u} \times \vec{\sigma_v} || dudv[/tex]") , ![[tex]dS=|| \vec{\sigma_u} \times \vec{\sigma_v} || dudv[/tex]](images/latex/e53355d72b1857eb5aedfafa81af08dd12001315_0.png "[tex]dS=|| \vec{\sigma_u} \times \vec{\sigma_v} || dudv[/tex]") : Elemento escalar de área
Edit: Me confundí con el problema 1
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Última edición por Franzl el Jue Feb 02, 2012 7:15 pm, editado 1 vez
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| No entiendo. El ejercicio 2 no pide calcular área, ese es el 1. Independientemente, para calcular un área no hace falta parametrizar nada.
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Franzl
Nivel 7
Edad: 33
Registrado: 23 Ago 2011
Mensajes: 384
Carrera: Mecánica
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| aimac escribió:
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Tengo una pregunta.
Se puede realizar este ejercicio parametrizando, y luego haciendo integral doble de norma del producto vectorial de las derivadas de la parametrización?
Para obtener el área de una superficie tengo entendido que es así, por eso la pregunta.
Saludos,
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Para obtener el área se puede hacer como mencionaste si la parametrización es diferenciable.
En el caso del ejercicio 2, se está calculando la masa de un macizo por lo que vas a tener un diferencial de volumen, no de área. Igualmente se puede hacer un cambio de variables
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aimac
Nivel 6
Registrado: 22 Ago 2009
Mensajes: 283
Carrera: No especificada y Electrónica
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