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Jackson666
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Extendiendo f(x) de manera impar (porque aparece un seno), te queda que su período es T = 40. El único coeficiente de Fourier de f(x) es ![[tex]\frac{2}{40}\int_{0}^{40}{f(x) \cdot \sin\left( \frac{2n\pi}{40} x \right) \; dx} = \frac{200}{40}\int_{0}^{20}{\sin\left( \frac{n\pi}{20} x \right) \; dx} = \frac{100}{n\pi}\cos\left( \frac{n\pi}{20} x\right)\Bigg|_{20}^{0}[/tex]](images/latex/cd071c3fc023bcfb9fb255d6e0f5aaeb312e78b1_0.png "[tex]\frac{2}{40}\int_{0}^{40}{f(x) \cdot \sin\left( \frac{2n\pi}{40} x \right) \; dx} = \frac{200}{40}\int_{0}^{20}{\sin\left( \frac{n\pi}{20} x \right) \; dx} = \frac{100}{n\pi}\cos\left( \frac{n\pi}{20} x\right)\Bigg|_{20}^{0}[/tex]") , que resulta ser ![[tex]\frac{100}{n\pi}\left[ 1 - (-1)^{n} \right] = \frac{200}{(2n-1)\pi}[/tex]](images/latex/4753a596a36b73f4df235252260fae9f8c0de8d8_0.png "[tex]\frac{100}{n\pi}\left[ 1 - (-1)^{n} \right] = \frac{200}{(2n-1)\pi}[/tex]") .
Reemplazando en la serie queda ![[tex]u(x,t) = \frac{200}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin\left[\frac{(2n-1)\pi}{40} \cdot x\right]}{(2n-1)} \cdot \operatorname{exp}\left\{-\left[\frac{(2n-1)\pi}{40}\right]^{2}\cdot kt \right\}}[/tex]](images/latex/393b2a5dd64af65a7a2021fda61b9c6f95834a68_0.png "[tex]u(x,t) = \frac{200}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin\left[\frac{(2n-1)\pi}{40} \cdot x\right]}{(2n-1)} \cdot \operatorname{exp}\left\{-\left[\frac{(2n-1)\pi}{40}\right]^{2}\cdot kt \right\}}[/tex]") . Ahora evaluamos u(20,600). Para ello, podes observar que el seno lo único que hace es, para cada n, variar entre los valores {-1,1}. Ya que al reemplazar por el valor x = 20 se obtiene ![[tex]\sin\left[ (2n-1)\frac{\pi}{2} \right] = (-1)^{n+1}[/tex]](images/latex/c683cc6d83ab257bbe82ebc76a9fc5438a63d864_0.png "[tex]\sin\left[ (2n-1)\frac{\pi}{2} \right] = (-1)^{n+1}[/tex]") .
Resulta ![[tex]u(20,600) = \frac{200}{\pi} \left\{ \operatorname{exp}\left[-\left(\frac{\pi}{40}\right)^{2}\cdot 0,15 \cdot 600 \right] - \frac{1}{3!}\operatorname{exp}\left[-\left(\frac{3\pi}{40}\right)^{2}\cdot 0,15 \cdot 600 \right] + \frac{1}{5!}\operatorname{exp}\left[-\left(\frac{5\pi}{40}\right)^{2}\cdot 0,15 \cdot 600 \right] + \cdots \right\}[/tex]](images/latex/f84549bbc324ee71d7196b13a51ec5e8d867e648_0.png "[tex]u(20,600) = \frac{200}{\pi} \left\{ \operatorname{exp}\left[-\left(\frac{\pi}{40}\right)^{2}\cdot 0,15 \cdot 600 \right] - \frac{1}{3!}\operatorname{exp}\left[-\left(\frac{3\pi}{40}\right)^{2}\cdot 0,15 \cdot 600 \right] + \frac{1}{5!}\operatorname{exp}\left[-\left(\frac{5\pi}{40}\right)^{2}\cdot 0,15 \cdot 600 \right] + \cdots \right\}[/tex]") . Sumando los 50 primeros términos de la serie, el resultado da (aprox) 36,82.
Otra cosa, al final del ejercicio 13 dice que un límite da 0. Esto está mal, debería decir que es constante.
Basta de matemática, me fui a tomar un ferné.
EDIT: Corregido lo de la difusividad al cuadrado.
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Jackson666
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Ahí me di cuenta que la difusividad no va al cuadrado y ahora sí da el resultado  .
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JinnKaY
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| Jackson666 escribió:
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Ahí me di cuenta que la difusividad no va al cuadrado y ahora sí da el resultado .
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Lo arregle en mi primer respuesta ayer a las 4 am y se me corto internet 
Tengo un problema con el siguiente  como cuerno saco la t?!!
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![[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]](images/latex/effa113548b50017fcbda7adaa849d5f5c6e5965_0.png "[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]")
![[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]](images/latex/f4593c6130a660e6bb7c8bc60c41f8a6a69c572e_0.png "[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]")
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Jackson666
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Forma casi imposible: sabes que ![[tex] u(20,t) = \frac{37 \cdot \pi}{200} = \sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n+1} \cdot \operatorname{exp}\left\{-\left[\frac{(2n-1)\pi}{40}\right]^{2}\cdot 0,005 \cdot t \right\}}[/tex]](images/latex/5854983b8278e23656d317938b8d3856d3b6a828_0.png "[tex] u(20,t) = \frac{37 \cdot \pi}{200} = \sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n+1} \cdot \operatorname{exp}\left\{-\left[\frac{(2n-1)\pi}{40}\right]^{2}\cdot 0,005 \cdot t \right\}}[/tex]") y tenes que hallar el t que cumple eso. Magoya te lo despeja de ahí.
Forma fácil (mirar): Dado que el enunciado te pide que determines el tiempo (con un k distinto) que se tarda en llegar a LA MISMA temperatura que antes, el resultado de la suma de la serie es el mismo en ambos casos, ¿eso se entiende?. Dado que lo único que varía entre ambos casos es la intensidad de la exponencial (lo cual es controlado por el número k) lo que hay que hallar es el "nuevo t" tal que las intensidades de las exponenciales son las mismas, ya que la suma converge al mismo número. Se tiene que 0.15 * 600 = 0.005 * t, de donde t = 18000s. O lo que es lo mismo, t = 5hs.
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JinnKaY
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| Jackson666 escribió:
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Forma casi imposible: sabes que y tenes que hallar el t que cumple eso. Magoya te lo despeja de ahí.
Forma fácil (mirar): Dado que el enunciado te pide que determines el tiempo (con un k distinto) que se tarda en llegar a LA MISMA temperatura que antes, el resultado de la suma de la serie es el mismo en ambos casos, ¿eso se entiende?. Dado que lo único que varía entre ambos casos es la intensidad de la exponencial (lo cual es controlado por el número k) lo que hay que hallar es el "nuevo t" tal que las intensidades de las exponenciales son las mismas, ya que la suma converge al mismo número. Se tiene que 0.15 * 600 = 0.005 * t, de donde t = 18000s. O lo que es lo mismo, t = 5hs.
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Carajo aplique un millon de propiedades locas de exponenciales,logaritmos, series y llegue a cualquier cosa.
Eso me parece mucho mas sensato T.T odio estos problemas donde me dan la respuesta y mis resoluciones no encajan ni con rastis jajaja
Muchas gracias ^^ edite la primer respuesta con la solucion por si a otro le sirve
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JinnKaY
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No da hacer otro tema lo pongo aca :
El ejercicio 16) 1) pide resolver laplace en con las siguientes condiciones :
![[tex]U_x(0,y)=0[/tex]](images/latex/03c295757c6e2ef7e8aac1729c86c04f11dc2332_0.png "[tex]U_x(0,y)=0[/tex]")
![[tex]U(\pi,y)=0[/tex]](images/latex/76b8c790fb69e266aa3f4cf20f6596c8ba926eef_0.png "[tex]U(\pi,y)=0[/tex]")
![[tex]U(x,0)=0[/tex]](images/latex/9fee60392b67a0c585b35baf87d8725394807d07_0.png "[tex]U(x,0)=0[/tex]")
![[tex]U(x,2)=f(x)[/tex]](images/latex/ed1a9f753003218b818a293c6d3ff0db56efea34_0.png "[tex]U(x,2)=f(x)[/tex]")
Propuse ![[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}(Acos(\lambda x)+Bsen(\lambda x))(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})[/tex]](images/latex/49d282b7b465f6a5f405e98a18149ac107b82efc_0.png "[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}(Acos(\lambda x)+Bsen(\lambda x))(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})[/tex]")
De la primera condicion :
![[tex]U_x(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}(-\lambda Asen(\lambda x)+\lambda Bcos(\lambda x))(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})[/tex]](images/latex/0bbe7614f00e1467d0352a3d013659e9f80f264b_0.png "[tex]U_x(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}(-\lambda Asen(\lambda x)+\lambda Bcos(\lambda x))(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})[/tex]")
![[tex]U_x(0,y)=\sum^{\infty}_{n=1}(\lambda B))(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})=0 \Rightarrow B=0[/tex]](images/latex/3c55579a58f2f29fdf45918f781244f91b2c04ea_0.png "[tex]U_x(0,y)=\sum^{\infty}_{n=1}(\lambda B))(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})=0 \Rightarrow B=0[/tex]")
![[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\lambda x)(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})[/tex]](images/latex/4e1347827163a44b9ec4556e78023b88fc1ea45d_0.png "[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\lambda x)(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})[/tex]")
De la segunda condicion:
![[tex]U(\pi,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\lambda \pi)(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})=0 \Rightarrow cos(\lambda \pi)=0 \Rightarrow \Lambda \pi = (2n+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2n+1}{2}[/tex]](images/latex/79eb1f6c95ac44354a8c9ec6c38a4fe04b602183_0.png "[tex]U(\pi,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\lambda \pi)(Ce^{\lambda y}+De^{\lambda y})=0 \Rightarrow cos(\lambda \pi)=0 \Rightarrow \Lambda \pi = (2n+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2n+1}{2}[/tex]")
Aca esta mi primera confusion ... debido al tener una sola derivada, generalmente me quedaba algo mas lindo que eso.
De la tercera condicion :
![[tex]U(x,0)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)(C+D)=0 \Rightarrow D=-C[/tex]](images/latex/abd0bde18453e54147fedb97d1d34a3b3e641a8f_0.png "[tex]U(x,0)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)(C+D)=0 \Rightarrow D=-C[/tex]")
Entonces tengo :
![[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)(e^{\frac{2n+1}{2} y}-e^{\frac{2n+1}{2} y})=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)2senh(\frac{2n+1}{2} y)[/tex]](images/latex/88905f4ce157dfffd9a614bceb364e7e0601b9f5_0.png "[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)(e^{\frac{2n+1}{2} y}-e^{\frac{2n+1}{2} y})=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)2senh(\frac{2n+1}{2} y)[/tex]") (el 2 ese luego lo tomo como parte de la constante)
![[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)senh(\frac{2n+1}{2} y)[/tex]](images/latex/3cb3f1f72356417e3d0d89607489769e8caa92a6_0.png "[tex]U(x,y)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)senh(\frac{2n+1}{2} y)[/tex]")
Pero de la ultima condicion :
![[tex]U(x,2)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)senh(2n+1)=f(x)[/tex]](images/latex/92620207bfce9903a0a2f576226732b805886925_0.png "[tex]U(x,2)=\sum^{\infty}_{n=1}Acos(\frac{2n+1}{2} x)senh(2n+1)=f(x)[/tex]")
Mi duda puntual es, en todos los libros dice que ![[tex]A_n=\frac{2}{\pi} \int^{\pi}_{0} f(x)cos(\frac{n\pi}{\pi})dx[/tex]](images/latex/601f60f86b07dcc4ff6524e91799fc3b0978a1cc_0.png "[tex]A_n=\frac{2}{\pi} \int^{\pi}_{0} f(x)cos(\frac{n\pi}{\pi})dx[/tex]") y ![[tex]A_0 = \int_0^{\pi}f(x)dx[/tex]](images/latex/c1b3c95f4002ecacf9d001d2c33cba3e307bb2f9_0.png "[tex]A_0 = \int_0^{\pi}f(x)dx[/tex]") Pero en esos casos el coseno dentro de la integral tenia el mismo argumento que el que estaba fuera ... hago la integral con el que tengo afuera? con el de la definicion? le hago algo raro al coseno?
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Última edición por JinnKaY el Lun Ene 23, 2012 6:52 pm, editado 1 vez
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Jackson666
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¿En qué libro/s dice eso?. Fijate que pegaste el mismo mensaje 2 veces.
Hay una incoherencia me parece con lo que escribiste. Ese coeficiente de Fourier es ![[tex]a_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f(t) \cdot \cos \left(\frac{2n\pi}{T} \cdot t\right) \; dt}[/tex]](images/latex/fa8a43c7398482dbc30652ce4415885b202b8243_0.png "[tex]a_{n} = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f(t) \cdot \cos \left(\frac{2n\pi}{T} \cdot t\right) \; dt}[/tex]") . Si miras adentro del coseno de la integral que escribiste ![[tex]T = 2\pi[/tex]](images/latex/9054ec9101a7d10f8ac8f5258e555d9925da2b3a_0.png "[tex]T = 2\pi[/tex]") , pero si miras los límites de la integral y el número de afuera, ![[tex]T = \pi[/tex]](images/latex/10babf912a2152fb41e888aabb67266fe3dbe578_0.png "[tex]T = \pi[/tex]") .
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JinnKaY
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| Jackson666 escribió:
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¿En qué libro/s dice eso?. Fijate que pegaste el mismo mensaje 2 veces.
Hay una incoherencia me parece con lo que escribiste. Ese coeficiente de Fourier es . Si miras adentro del coseno de la integral que escribiste , pero si miras los límites de la integral y el número de afuera, .
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Creo que era el Zill, que decia que la funcion iba de -L a L, y usan la L en la definicion del coeficiente. Ademas dice ![[tex]\frac{n \pi}{L}[/tex]](images/latex/574b4b995cbe60532ffc86adfabbf18e3edc73d2_0.png "[tex]\frac{n \pi}{L}[/tex]") en la mayoria de los libros que consulte ... ese 2 no lo tiene en el caso de ,L=\pi[/tex]](images/latex/e5e9f7b1bee8a6cc72898c05c292c025089bc9bd_0.png "[tex](-\pi,\pi),L=\pi[/tex]") y todo bien
Puedo decir que la serie esa es el desarrollo de fourier es una funcion dada ... pero no me coincide el termino trigonometrico (cos o sen) de la definicion con el que tengo en la serie (especificamente el argumento es nada que ver)
Edite el otro mensaje
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Jackson666
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Si cambia el intervalo fundamental, entonces cambian las ecuaciones que definen los coeficientes de Fourier. En el Zill los define para las funciones en [-p,p] y de esa manera el número que multiplica a la integral queda 1/p y no 2/p como ponía yo antes. Pero el coeficiente es el mismo, no puede cambiar si la función no cambia. Lo que yo decía era que, como escribiste el 2/T, creí que se hablaba de la otra definición.
De todas maneras, en la página 501 del Zill podes ver cómo lo resuelve.
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JinnKaY
Nivel 9
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| Jackson666 escribió:
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Si cambia el intervalo fundamental, entonces cambian las ecuaciones que definen los coeficientes de Fourier. En el Zill los define para las funciones en [-p,p] y de esa manera el número que multiplica a la integral queda 1/p y no 2/p como ponía yo antes. Pero el coeficiente es el mismo, no puede cambiar si la función no cambia. Lo que yo decía era que, como escribiste el 2/T, creí que se hablaba de la otra definición.
De todas maneras, en la página 501 del Zill podes ver cómo lo resuelve.
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Mi duda puntual era que, en el paso final que puse ... siempre se resuelve que lo que tenia era una seria de fourier de esta funcion, pero en la seria, el coseno tiene UN argumento y en la definicion tiene OTRO argumento, es valido seguir? o tengo que operar hasta que el argumento coincida?
(Suelo usar L)
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Abelcius
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| No es que hay que operar hasta que coincida. En el cálculo del coeficiente an, vos planteás el producto interno entre la función a representar f(x) y la función/vector correspondiente al coeficiente en cuestión (dividido por la norma al cuadrado, pero esto ahora no importa). Allí es donde SÍ O SÍ el argumento de la función es el mismo que en el que usás para la solución u(x,t). ¿me explico? sencillamente porque no disponés de otras funciones/vectores para representar tu f(x), tenés que usar las que resultan de resolver la EDDP. La pregunta que podrías hacerte es si esas funciones/vectores son ortogonales en el intervalo en cuestión (o en algún otro para "acomodarlo"), sólo así la función estará representada por su S.F., calculando los coeficientes adecuadamente, claro, quedando asegurada su convergencia, etc. Yo me hacía otra pregunta respecto de este ejercicio que aún no fue resuelta satisfactoriamente, a saber: dado que queda representada f(x) con una serie de cosenos, ¿qué pasa con el primer término, a0/2?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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| Abelcius escribió:
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Yo me hacía otra pregunta respecto de este ejercicio que aún no fue resuelta satisfactoriamente, a saber: dado que queda representada f(x) con una serie de cosenos, ¿qué pasa con el primer término, a0/2?
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Es nulo, ¿qué tiene de raro?. Considera la función ![[tex]f(t) = \cos(t), \; 0 \le t \le 2\pi[/tex]](images/latex/562471f61d76d641b4712bfa16d21792f4c0f4dd_0.png "[tex]f(t) = \cos(t), \; 0 \le t \le 2\pi[/tex]") . Calcula el DSF de cosenos.
¿O te pregunta va apuntada a por qué no se calcula ese coeficiente cuando se resuelve una EDDP de esta manera?.
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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| Lo que querés decir es que es el vector 1 no es ortogonal a cos(n + 1/2)x en [0;pi]; con lo cual el primer vector de la base (n=0) no es 1, sino cos x/2 ¿ciero? ¿con lo cual no sería "correcto" decir a0 = 0?
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 28
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| Es más, en este caso, a0 = 2
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Abelcius
Nivel 3
Registrado: 23 Feb 2009
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| perdón, cualquier cosa escribí... igual vale lo de antes, a0 es el coeficiente que acompaña a cos x/2
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