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kyle_k
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Hola a todos; estoy resolviendo la guía de ecuaciones diferenciales de la física:
http://materias.fi.uba.ar/6110I/practica-6.pdf
Tengo problemas con el ejercicio 10:
Ejercicio 10. Una cuerda tensamente estirada pende bajo la acción de su propio peso. Los extremos de la cuerda...
Alguien lo pudo resolver? Que plantearon para llegar a la solución pedida?
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Jackson666
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| Si no me equivoco, te están dando las condiciones iniciales con esa parábola. La "flecha" es la máxima distancia entre la parábola y el eje x (o sea, la distancia del eje al vértice). El resto es resolver la ecuación de onda. Podes hacerlo con transformadas o con separación de variables.
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kyle_k
Nivel 3
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| El tema es que, en este caso no hay una onda. Es simplemente una cuerda tensada la cual por su propio peso adquiere forma de parábola; a mi entender, esto no se relaciona con la ecuación diferencial de onda ∂²y/∂t²=a².∂²y/∂x²
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koreano
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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Asumís que la cuerda tiene densidad uniforme ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") y que la tensión horizontal ![[tex]T_0[/tex]](images/latex/a0e407c4d13a4024d009a3d3080cbd392543c313_0.png "[tex]T_0[/tex]") a lo largo de toda la cuerda es uniforme (caso contrario la cuerda se rompería o estiraría, en contra del modelo). Planteás Newton para un segmento de cuerda (sistema rectangular clásico de coordenadas XY). Descomponiendo la tensión en ese segmento en función del rectángulo de base dx y altura dy (hipotenusa ds):
![[tex]dT_x = T_0 = dT \frac{dx}{ds} [/tex]](images/latex/9d80f4f90b127d79e8a3799e17a82bd17b2dd461_0.png "[tex]dT_x = T_0 = dT \frac{dx}{ds} [/tex]") (por hipótesis y por trigonometría)
Análogamente:
![[tex]dT_y = dT \frac{dy}{ds}[/tex]](images/latex/c8e4d614cb2baa8581ff6b553881daead2ca0fd0_0.png "[tex]dT_y = dT \frac{dy}{ds}[/tex]")
Reemplazando la primera en la segunda despejamos ![[tex]T_y[/tex]](images/latex/1fe65c2171a98f1e0fab31b75f3a47152f1d1e01_0.png "[tex]T_y[/tex]") y lo enchufamos en la ecuación de Newton para la coordenada vertical, igualando el peso del segmento y la tensión, de manera que la resultante sea 0:
![[tex]\lambda g ds = dT \frac{dy}{ds}[/tex]](images/latex/b3b433b77200e6dde0ab18c00181d7ed6ebe330e_0.png "[tex]\lambda g ds = dT \frac{dy}{ds}[/tex]")
Dividimos esta ecuación por la primera de la coordenada horizontal:
![[tex]\frac{\lambda g}{T_0} ds = d \frac{dy}{dx}[/tex]](images/latex/c5afe24e989e3ebf8675470261815f01348447a2_0.png "[tex]\frac{\lambda g}{T_0} ds = d \frac{dy}{dx}[/tex]")
Recordando la definición de arco de curva como módulo del diferencial parametrizado (aplicando pitágoras), calculamos ds tomando x como variable independiente:
![[tex]ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dx[/tex]](images/latex/39f99e643f46c306faf6ff9d5a45980d82548a3f_0.png "[tex]ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dx[/tex]")
Reemplazando:
![[tex]\frac{ \lambda g}{T_0} \sqrt{1 + y'^2}dx = dy'[/tex]](images/latex/ae4dce6600b662a4cea1d117fd319abfa31a02d1_0.png "[tex]\frac{ \lambda g}{T_0} \sqrt{1 + y'^2}dx = dy'[/tex]")
Llamando ![[tex]a = \frac{\lambda g}{T_0}[/tex]](images/latex/83320c057714ba029511d0f347ff987a7cbc6a8b_0.png "[tex]a = \frac{\lambda g}{T_0}[/tex]") y despejando el dx:
![[tex]a\sqrt{1 + y'^2} = \frac{dy'}{dx} = dy''[/tex]](images/latex/cb41eda3e1a170f9f200276dabc3cc6f5721db8c_0.png "[tex]a\sqrt{1 + y'^2} = \frac{dy'}{dx} = dy''[/tex]")
Acá tenemos una ED no lineal, que resolvemos como se pueda. Con wolfram sale que la solucion es:
![[tex]y(x) = \frac{\sinh(c_1) \sinh(a x)}{a}+\frac{\cosh(c_1) \cosh(a x)}{a}+c_2[/tex]](images/latex/0d0f5ee3de38c0c8a75a52688017e67fe95f3123_0.png "[tex]y(x) = \frac{\sinh(c_1) \sinh(a x)}{a}+\frac{\cosh(c_1) \cosh(a x)}{a}+c_2[/tex]")
Podemos despejar las constates exigiendo ![[tex]y(0) = 0[/tex]](images/latex/5eaf52050e964303fe2ab25a5d4d5ffcb8787622_0.png "[tex]y(0) = 0[/tex]") y ![[tex]y(2c) = 0[/tex]](images/latex/60f404588b04ff8e4efa78fccacb084a8342a827_0.png "[tex]y(2c) = 0[/tex]") y con un poco de magia trigonométrica sale. La cuestión es que si después querés hacer la aproximación parabólica podés tomar el primer termino de sinh/cosh.
La otra opción es hacer la aproximación en la ED:
![[tex]y'' = a\sqrt{1 + y'^2} \approx a[/tex]](images/latex/e1783b0f743dcb739e48572e335d70df6ba33861_0.png "[tex]y'' = a\sqrt{1 + y'^2} \approx a[/tex]")
De ahí sale una cuadrática mas fácilucha de resolver y con un poco de condiciones iniciales + probablemente algunos cambios de variables, sale.
EDIT: edité un poco para que se entienda mejor la derivación.
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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
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koreano
Nivel 9
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Carrera: No especificada
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Che, quedé como re groso pero me acordaba de haber leído la deducción, y mas de mas de una manera en libros. La que mas me gusta es la de mecánica lagrangiana, minimizando energía potencial gravitatoria. Pero no tiene un fulbo que hacer en la guía de AMIII : P
Si a alguien le interesa saber más, se llama "catenary" el modelo.
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JinnKaY
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Yo encontre como la "cuerda catenaria" o colgante  con el primer nombre salen MUCHOS pdfs muy interesantes ^^
OFF : me pase toda una noche con eso porque pense que la cuerda estaba vertical T.T
Alguno puede ayudarme con los puntos 11/12/13 de la guia 8? los de conduccion del calor entre 2 cuerpos
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 http://tinyurl.com/8y3ghjg
![[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]](images/latex/effa113548b50017fcbda7adaa849d5f5c6e5965_0.png "[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]")
![[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]](images/latex/f4593c6130a660e6bb7c8bc60c41f8a6a69c572e_0.png "[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]")
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Jackson666
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Para el 11), supone que la distribución de temperatura es uniforme a lo largo de cada placa y que la pérdida de calor es despreciable respecto de los calores involucrados. Una placa esta totalmente a 0°C y la otra tiene una cara a 0°C y la otra (la de contacto) a 100°C. Cada placa tiene 20cm de espesor. También te dicen que las superficies laterales están aisladas (eso quiere decir que la derivada respecto de x es nula en x = 0 y en x = 40). Tenes que resolver la EDDP del calor y obtener la función u(x,y). Luego, evaluas u(20,10) (el 10' pasado a segundos). Fijate que los datos son todos condiciones iniciales y de borde.
El 12) es igual, sólo cambia k. El 13) tenes el mismo dato de las caras aisladas.
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JinnKaY
Nivel 9
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| Jackson666 escribió:
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Para el 11), supone que la distribución de temperatura es uniforme a lo largo de cada placa y que la pérdida de calor es despreciable respecto de los calores involucrados. Una placa esta totalmente a 0°C y la otra tiene una cara a 0°C y la otra (la de contacto) a 100°C. Cada placa tiene 20cm de espesor. También te dicen que las superficies laterales están aisladas (eso quiere decir que la derivada respecto de x es nula en x = 0 y en x = 40). Tenes que resolver la EDDP del calor y obtener la función u(x,y). Luego, evaluas u(20,10) (el 10' pasado a segundos). Fijate que los datos son todos condiciones iniciales y de borde.
El 12) es igual, sólo cambia k. El 13) tenes el mismo dato de las caras aisladas.
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![[tex]kU(x,t)_{xx}-U(x,t)_x=0[/tex]](images/latex/cc67dac3c8dd41636d4d069d9348aa0a54c79ef3_0.png "[tex]kU(x,t)_{xx}-U(x,t)_x=0[/tex]")
Propongo ![[tex]U(x,t)=X(x)T(t)[/tex]](images/latex/307f7f03ba86d3a134391c2d26b19e273fa6c35e_0.png "[tex]U(x,t)=X(x)T(t)[/tex]")
Llego al sistema :
![[tex]X^{\prime\prime}(x)+\lambda^2 X(x)=0[/tex]](images/latex/175f4049c66024af39f45dc27bb4768513491807_0.png "[tex]X^{\prime\prime}(x)+\lambda^2 X(x)=0[/tex]")
![[tex]T^{\prime\prime}(t)+k\lambda^2 T(t)=0[/tex]](images/latex/a2d8d550675cbb92ef77ae10af29916ee39d085b_0.png "[tex]T^{\prime\prime}(t)+k\lambda^2 T(t)=0[/tex]")
La solucion de la primera es de la forma :
![[tex]X(x)=Acos(\lambda x)+Bsen(\lambda x)[/tex]](images/latex/1f08e59ad5090472ad8d15021e7893bcc37834cb_0.png "[tex]X(x)=Acos(\lambda x)+Bsen(\lambda x)[/tex]")
![[tex]X(0)=A=0ºC[/tex]](images/latex/a5546523b69501ee815aba976a31f7f53312465c_0.png "[tex]X(0)=A=0ºC[/tex]") (temperatura de un extremo, entonces ![[tex]A=0[/tex]](images/latex/0f381070d5df206a93b0b57568f5360de0291308_0.png "[tex]A=0[/tex]")
![[tex]X(x)=Bsen(\lambda x)[/tex]](images/latex/51d373e699d1e79797e2259d3af558e20a22d39e_0.png "[tex]X(x)=Bsen(\lambda x)[/tex]")
![[tex]X(40)=Bsen(\lambda 40)=0[/tex]](images/latex/68af9c598cb8852770fe1c7ca13190b92c70b1cf_0.png "[tex]X(40)=Bsen(\lambda 40)=0[/tex]") (temperatura en el otro extremo)
![[tex]\lambda_n=\frac{n \pi}{40}[/tex]](images/latex/c8616e51a73d33a2e868c9d73b4cb3a19f9eeb79_0.png "[tex]\lambda_n=\frac{n \pi}{40}[/tex]")
![[tex]\displaystyle X_n(x)=Bsen(\frac{n\pi i}{40}x)[/tex]](images/latex/2a2b91eed2778ce955de3a52d806e54fd8e6006f_0.png "[tex]\displaystyle X_n(x)=Bsen(\frac{n\pi i}{40}x)[/tex]")
La segunda :
![[tex]T(t)=C_ne^{-\lambda^2k t}[/tex]](images/latex/51aae60d2814789250fc07ca5451c9d6b4bcd6ae_0.png "[tex]T(t)=C_ne^{-\lambda^2k t}[/tex]")
![[tex]T(t)=C_ne^{-(\frac{n \pi}{40})^2k t}[/tex]](images/latex/95463454ff357060770d4c7e7b8e5ba73b75963b_0.png "[tex]T(t)=C_ne^{-(\frac{n \pi}{40})^2k t}[/tex]")
Juntando todo :
![[tex]U_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(D_nsen(\frac{n\pi i}{40}x)e^{-(\frac{n \pi}{40})^2k t})[/tex]](images/latex/78368b40015b0011163d4744c535ee7bcb362389_0.png "[tex]U_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(D_nsen(\frac{n\pi i}{40}x)e^{-(\frac{n \pi}{40})^2k t})[/tex]")
![[tex]U_n(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}(D_nsen(\frac{n\pi i}{40}x)=f(x)[/tex]](images/latex/724f45c7b7602d5b1d6f2657e8f99227840d04b3_0.png "[tex]U_n(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}(D_nsen(\frac{n\pi i}{40}x)=f(x)[/tex]")
Si va de -L a L el periodo es 2L ==> L=20
![[tex]D_n=\frac{1}{L}\int^{40}_{0} f(x)sen(\frac{2n\pi}{2L}dx[/tex]](images/latex/ae49de2a60d4a8362f6e0df88dcfbd92843936f0_0.png "[tex]D_n=\frac{1}{L}\int^{40}_{0} f(x)sen(\frac{2n\pi}{2L}dx[/tex]")
![[tex]D_n=\frac{1}{20}\int^{40}_{0} f(x)sen(\frac{n\pi}{20}dx[/tex]](images/latex/47c50718a465da415abca02616fdc49a55a03f27_0.png "[tex]D_n=\frac{1}{20}\int^{40}_{0} f(x)sen(\frac{n\pi}{20}dx[/tex]")
![[tex]D_n=\frac{1}{20}\int^{20}_{0} 100sen(\frac{n\pi}{20}dx[/tex]](images/latex/c3618bef7f33bb6d81389d4ca39004ba3e8c411b_0.png "[tex]D_n=\frac{1}{20}\int^{20}_{0} 100sen(\frac{n\pi}{20}dx[/tex]")
![[tex]D_n=5\frac{20}{n \pi}[1-(-1)^n][/tex]](images/latex/c111c34508ad529a85494c2896d468ab78fb00e0_0.png "[tex]D_n=5\frac{20}{n \pi}[1-(-1)^n][/tex]")
![[tex]U_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{100}{n \pi}(1-(-1)^n)sen(\frac{n\pi i}{40}x)e^{-(\frac{n \pi}{40})^2k t})[/tex]](images/latex/be0c4270c033d950423be22829723824fad6e1da_0.png "[tex]U_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{100}{n \pi}(1-(-1)^n)sen(\frac{n\pi i}{40}x)e^{-(\frac{n \pi}{40})^2k t})[/tex]")
![[tex]U_n(20,600)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{100}{n \pi}(1-(-1)^n)sen(\frac{n\pi i}{2})e^{-(\frac{n \pi}{40})^2 0.15 600})=36,39 aproximadamente 37[/tex]](images/latex/3c7ee8d5ab9dbcc8bb2acc8dbec2e7681a922242_0.png "[tex]U_n(20,600)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{100}{n \pi}(1-(-1)^n)sen(\frac{n\pi i}{2})e^{-(\frac{n \pi}{40})^2 0.15 600})=36,39 aproximadamente 37[/tex]")
El error fue confundir ![[tex]\frac{1}{c^2}=k[/tex]](images/latex/49d93c60e968c1d508c97932d2ecc1649d6cf4c3_0.png "[tex]\frac{1}{c^2}=k[/tex]") , el dato es k, no habia que elevarlo al cuadrado.
Se me complica el 12 no veo como despejar la "t" ...
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Última edición por JinnKaY el Dom Ene 22, 2012 1:28 pm, editado 4 veces
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Jackson666
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Tene en cuenta que la ecuación del calor es ![[tex]k \cdot \nabla^{2}u = u_{t}[/tex]](images/latex/cffdb252eaa13dc5dc8b02c2dd8e984786668bdc_0.png "[tex]k \cdot \nabla^{2}u = u_{t}[/tex]") . Resolviendo por variables separables (realmente es más fácil usando la transformada de Fourier) se tiene que si ![[tex]u(x,t) = X(x) T(t)[/tex]](images/latex/a628dd715afd38c89ea3801725ef9c530a6f5fac_0.png "[tex]u(x,t) = X(x) T(t)[/tex]") , entonces el sistema es:
La primera es la EDO de un M.A.S., que tiene por soluciones ![[tex]X(x) = A\cos\left(\frac{\lambda}{\sqrt{k}} x\right) + B \sin\left(\frac{\lambda}{\sqrt{k}} x\right)[/tex]](images/latex/d648ad3d5ae5ff1d918eb1d29e26b54f66da9e82_0.png "[tex]X(x) = A\cos\left(\frac{\lambda}{\sqrt{k}} x\right) + B \sin\left(\frac{\lambda}{\sqrt{k}} x\right)[/tex]") . La segunda es una exponencial de la forma ![[tex]T(t) = C\operatorname{exp}\left(-\lambda^{2} t \right)[/tex]](images/latex/c294b89f06fd5fd9698f90368e8dcd41ad7bcf11_0.png "[tex]T(t) = C\operatorname{exp}\left(-\lambda^{2} t \right)[/tex]") .
De las condiciones de borde obtenes que A = 0 y, por ende, ![[tex]X(x) = B \sin\left(\frac{\lambda}{\sqrt{k}} x\right)[/tex]](images/latex/0749bd02936597b8311b3d034e4a43781c2e4dd6_0.png "[tex]X(x) = B \sin\left(\frac{\lambda}{\sqrt{k}} x\right)[/tex]") . Luego, ![[tex]X(40) = B \sin\left(\frac{40 \lambda}{\sqrt{k}}\right) = 0 \Longleftrightarrow \lambda_{n} = \frac{n\pi}{40}\cdot \sqrt{k}[/tex]](images/latex/5156d9397f16eb558a22e2d0615e3b2652ace5f6_0.png "[tex]X(40) = B \sin\left(\frac{40 \lambda}{\sqrt{k}}\right) = 0 \Longleftrightarrow \lambda_{n} = \frac{n\pi}{40}\cdot \sqrt{k}[/tex]") (con n entero), pues B es distinto de 0.
Para la otra función, ![[tex]T(t) = C\operatorname{exp}\left[-\left(\frac{n\pi}{40}\right)^{2}\cdot k t \right][/tex]](images/latex/747cfe8f2630c2d04738c7cd649e6855ad88b922_0.png "[tex]T(t) = C\operatorname{exp}\left[-\left(\frac{n\pi}{40}\right)^{2}\cdot k t \right][/tex]") . Superponiendo las soluciones se obtiene que ![[tex]u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty}{D_{n} \cdot \sin\left(\frac{n\pi}{40} \cdot x\right) \cdot \operatorname{exp}\left[-\left(\frac{n\pi}{40}\right)^{2}\cdot k t \right]}[/tex]](images/latex/5aa03e89859c8e6fc7ac271e2d43b16cfaa09feb_0.png "[tex]u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty}{D_{n} \cdot \sin\left(\frac{n\pi}{40} \cdot x\right) \cdot \operatorname{exp}\left[-\left(\frac{n\pi}{40}\right)^{2}\cdot k t \right]}[/tex]") .
Ahora u(x,0) (situación inicial) tiene que cumplir algo también, ¿no?. ¿Hay alguna función que te de la distribución inicial de temperaturas dependiendo de la posición?.
EDIT: La difusividad no va al cuadrado.
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Última edición por Jackson666 el Dom Ene 22, 2012 12:08 pm, editado 1 vez
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Jackson666
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Si aplicas transformada seno de Fourier en x en ambos lados de la EDDP te queda (ya que sabes que las caras están aisladas) ![[tex]F_{t}(\omega, t) + \omega^{2}F(\omega, t) = 0[/tex]](images/latex/3067aefc827e29b110facfa4a45899df245a42f2_0.png "[tex]F_{t}(\omega, t) + \omega^{2}F(\omega, t) = 0[/tex]") , que tiene por solución ![[tex]F(\omega, t) = A(\omega) \cdot \operatorname{exp}\left( -\omega^{2} t\right)[/tex]](images/latex/033498c96bcfd5b07a4f8c44004888060a65c75b_0.png "[tex]F(\omega, t) = A(\omega) \cdot \operatorname{exp}\left( -\omega^{2} t\right)[/tex]") . Transformas la condición inicial ![[tex]\mathcal{F}\left\{u(x,0)\right\}(\omega,0) = F(\omega, 0) = A(\omega)[/tex]](images/latex/b7cd6ff62c717a5e573968584b8a2a6bd92a7545_0.png "[tex]\mathcal{F}\left\{u(x,0)\right\}(\omega,0) = F(\omega, 0) = A(\omega)[/tex]") y listo.
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JinnKaY
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| Jackson666 escribió:
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Si aplicas transformada seno de Fourier en x en ambos lados de la EDDP te queda (ya que sabes que las caras están aisladas) , que tiene por solución . Transformas la condición inicial y listo.
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Ejercicio 11. Dos paralelepípedos de hierro (k=0,15 unidades c.g.s) de
20cm de espesor uno a la temperatura 100◦ C y el otro a 0◦ C se colocan
cara a cara en perfecto contacto, mientras que sus caras exteriores se
mantienen a 0◦ C y las superficies laterales están aisladas. Calcular la
temperatura de la sección común 10min después de comenzar el con-
tacto.
Rta.: aprox 37◦ C
Es de la guia de EDDP que viene DESPUES de la de series de fourier, pero ANTES de la de transformadas asi que ESO no me sirve todavia.
Con tu forma llego a algo parecido a lo mio, solo que no veo cual es la funcion que determina la condicion inicial, y me confunde el tener la serie
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Jackson666
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La función es ![[tex]f(x) = \left\{ \begin{matrix} 100 & \text{si } 0 < x \le 20 \\ 0 & \text{si } 20 < x \le 40 \end{matrix}\right.[/tex]](images/latex/95e522399e6f399a86b00eb425be386933cf4063_0.png "[tex]f(x) = \left\{ \begin{matrix} 100 & \text{si } 0 < x \le 20 \\ 0 & \text{si } 20 < x \le 40 \end{matrix}\right.[/tex]") . Con mi forma llegas a algo totalmente distinto a lo tuyo. Fijate que te apareció la unidad imaginaria adentro del argumento del seno.
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JinnKaY
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 Jul 2010
Mensajes: 1445
Carrera: Electrónica y Mecánica
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| Jackson666 escribió:
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La función es . Con mi forma llegas a algo totalmente distinto a lo tuyo. Fijate que te apareció la unidad imaginaria adentro del argumento del seno.
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Eso fue por hacer copy paste del argumento  en el papel no lo tengo asi ...
En algunos libros suelen igualar a otros a ![[tex]-\lambda^2[/tex]](images/latex/5bc54d23cd94510e22c83f87f33cd243e7e4ab7e_0.png "[tex]-\lambda^2[/tex]") .... otros plantean la solucion general como lo hice yo, y otros a como lo hiciste vos me confunde
Sigo,veamos que sale
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http://tinyurl.com/8y3ghjg
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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La solución a la que llegas es la misma, o por lo menos debería que serlo. Recorda la unicidad de la solución de una EDDP. Es más sencillo, a mi entender, trabajar con ![[tex]-\lambda^{2}[/tex]](images/latex/ee4d08b77d7aed430b4ad4c039afdc82a3ff5c17_0.png "[tex]-\lambda^{2}[/tex]") .
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![[tex]\left\{ \begin{matrix}k \cdot X^{\prime\prime}(x) + \lambda^{2} X(x)=0 \\ T^{\prime}(t) + \lambda^{2} T(t)=0 \end{matrix} \right.[/tex]](images/latex/49f0da03313b8de68375bbd44f6ca9d25e134f84_0.png "[tex]\left\{ \begin{matrix}k \cdot X^{\prime\prime}(x) + \lambda^{2} X(x)=0 \\ T^{\prime}(t) + \lambda^{2} T(t)=0 \end{matrix} \right.[/tex]")