Hola tengo una duda sobre la calculadora que resuelve ecuaciones cubicas. Por ejemplo en el curso de algebra 2, nos muestran que despues de calcular el determinante de una matriz de 3x3 para hallar los autovalores, el polinomio caracteristico queda con la forma de una ecuacion cubica igualada a 0, cosa que con Ruffini le bajamos el grado y lo resolvemos como una cuadratica comun.
Pero esa ecuacion cubica mi calculadora la puede resolver en dos patadas, pero en el curso no dijeron nada acerca de esto, entonces no se si da exactamente lo mismo que haciendo ruffini, o si hay que hacer ruffini para que lo vean en el coloquio que uno lo sabe hacer..
No se, algun comentario al respecto..
Gracias, Gonzalo.
Si pones el desarrollo del polinomio y después pones los AVEs, no creo que te pongan "mal" eso. Igualmente, en general, los autovalores salen mirando la matriz simplemente, al igual que los autovectores (si no es que ya te los dan como dato). Pensa que la idea no es que uses la calculadora ni Ruffini (cosa que jamás entendí ni supe usar), la onda es que aprendas los "truquitos" para sacarlos sin tanto cuenterio.
La idea es que al calcular la ecuacion caracteristica, casi siempre te queda factorizada con alguna raiz a la vista... si te llega a qedar desarrollada, alguna raiz es 1 2 o -1 -2 casi siempre.... porqe sino los q no tenemos esas calculadoras como hacemos ?.. De todas maneras para hacer ruffini alguna raiz tenes q tener si mal no recuerdo..
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Pequeño detalle a tener en cuenta... que yo sepa la calculadora no te dice la multiplicidad de la raíz, por lo que te pude dar de resultado "2" y "3" (hablando siempre de las cubicas) y tenés dos opciones... que sean "2", "2" y "3" o "3" "3" y "2".
Por eso te recomiendo le des una repasada a Ruffini, no es la muerte de nadie... y con la calcu tenés alguna de las raíces (que necesitás para Ruffini) y blabla listo...
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yo tengo una calculadora que también saca raíces, y lo que yo hago (me lo enseñó un amigo, ni idea del sustento teórico) es derivar el polinomio. si la raíz anula la derivada de primer orden, es doble. si la anula la derivada de segundo orden, es triple, y así hasta orden n con n tendendiendo a infinito (?)
La demostración es realmente compleja. Considerá , con raíz de orden n del polinomio. Derivas 1 vez y obtenes que se anula en el mismo punto. Hacelo n veces y se concluye lo que mencionas.
ah, y respecto a tu pregunta entiendo que no es necesario escribir lo que hiciste para llegar a la conclusión de que los autovalores son a, b y c (a menos que hayas factoreado el polinomio característico)
PD: gracias Jackson666 por la microdemostración (?)
bueno gracias por las respuestas.. el problema es q no me se los truquitos para ver los AVAS rapidamente, lo unico q se es que si la matriz tiene rango menor al numero de columnas un AVA es igual a cero, despues que la traza es la suma de los AVAS y que el determinante es el producto de los AVAS, pero creo q falta un par mas que no me acuerdo ni tengo de donde sacar..
Por lo general tanto en los ejercicios como en los parciales/finales, los autovalores tienden a ser bastante sencillos ( -5 < Autovalores< 5)
Una de los pocas formas que te queden cosas raras es si tenes fracciones en la matriz.
De topdas formas, cuando resolves estos ejercicios casi siempre te piden que encuentres el polinomio característico (ya que es propiedad de la matriz) después "como" es que halles los autovalores es cosa de cada uno, hay diferentes métodos. Yo cuando la hice los calculaba con la calculadora (igual que vos, que resuelve sistemas cuadráticos y cúbicos).
Otra forma es tantear con números "al azar" (enteros entre -5 y 5) a medida que te vas acercando el resultado del pol característico es 0.
Podes hacer ruffini.
De nuevo, para hacer ruffini hay que concocer alguna raiz del polinomio.
preguntale al profesor en clase, y si es que ya terminaron, mandale un mail.
cuando yo la cursé nadie te preguntaba "como" los calculaste, simplemente te pedian polinomio carac, autovectores, autovalores, etc.
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goonzalo escribió:
bueno gracias por las respuestas.. el problema es q no me se los truquitos para ver los AVAS rapidamente, lo unico q se es que si la matriz tiene rango menor al numero de columnas un AVA es igual a cero, despues que la traza es la suma de los AVAS y que el determinante es el producto de los AVAS, pero creo q falta un par mas que no me acuerdo ni tengo de donde sacar..
hay otra que dice (con mis palabras ), si en todas las filas de la matriz A, sumando las componentes te da "s", entonces "s" es AVA de A
Si la sumas de las componentes de las filas de una matriz es constante en todas las filas, digamos , entonces es autovalor de la matriz asociado al autovector que tiene todos 1 como componentes.
Si la matriz es simétrica y tenes 1 autovector, automáticamente tenes los demás. Sacas el complemento ortogonal a ese y con Gram-Schmidt ortogonalizas y listo. Los autovectores los sacas jugando con el determinante y la traza, por ejemplo.
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![[tex]P(x) = (x-x_{0})^{n}[/tex]](images/latex/c687c50562d428e3bb385ad25fd6176e939a1c5c_0.png "[tex]P(x) = (x-x_{0})^{n}[/tex]")
, con ![[tex]x_{0}[/tex]](images/latex/408476cb71c6900a1677df172eaee149cf35f1b4_0.png "[tex]x_{0}[/tex]")
raíz de orden n del polinomio. Derivas 1 vez y obtenes ![[tex]P^{\prime}(x) = n(x-x_{0})^{n-1}[/tex]](images/latex/0c38f81022553942798e0f73fdb2845f514e2a89_0.png "[tex]P^{\prime}(x) = n(x-x_{0})^{n-1}[/tex]")
que se anula en el mismo punto. Hacelo n veces y se concluye lo que mencionas.
![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
), si en todas las filas de la matriz A, sumando las componentes te da "s", entonces "s" es AVA de A![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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, entonces 
