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Guía 11: Transmisión del calor

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koreano
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Publicado: Dom Nov 27, 2011 5:16 pm Asunto:

Guía 11: Transmisión del calor


Guía 11: Transmisión del calor Enunciados: http://materias.fi.uba.ar/6203/Download/Problemas%20y%20Laboratorio/Segunda%20parte%202011bis.pdf 1) Hagamos un esquema cualitativo de lo que esperamos que suceda: Tenemos un corte lateral de la pared en donde ubicamos el sistema de referencia para el cuál solo nos interesa una única dirección (que llamamos x) puesto que al utilizar el modelo plano-infinito se considera que la derivada es nula en cualquier otra dirección para la temperatura en función de la posición y por ende para la transmisión del calor. Llamamos: - $[tex]d[/tex]$ : el espesor de la pared. - $[tex]\theta_1[/tex]$ : la temperatura para $[tex]x<0[/tex]$ . - $[tex]h_1[/tex]$ : el coeficiente de convección para $[tex]x<0[/tex]$ . - $[tex]\lambda[/tex]$ : el coeficiente de conducción de la pared. - $[tex]\theta_2[/tex]$ : la temperatura para $[tex]x>d[/tex]$ . - $[tex]h_2[/tex]$ : el coeficiente de convección para $[tex]x>d[/tex]$ . Y notar que $[tex]\theta_1 > T(a) > \theta_2[/tex]$ , $[tex]\forall a \in (0,d)[/tex]$ . Plantiemos las ecuaciones para cada sección. Utilizamos la notación de Newton $[tex]\dot{Q} = {\partial Q \over \partial t}[/tex]$ : - $[tex]x < 0[/tex]$ : $[tex]T = \theta_1[/tex]$ - $[tex]x = 0[/tex]$ : Tenemos una discontinuidad donde despreciamos el espesor de la llamada capa límite de convección. Sin embargo, la ley de Newton nos permite averiguar los detalles de la discontinuidad. Notar que al plantear la ley de Newton siempre el delta de temperaturas debe ser positivo. $[tex]\frac{\dot{Q}}{A} = h_1(\theta_1 - T(0))[/tex]$ Despejamos las temperaturas: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A}\frac{1}{h_1} = \theta_1 - T(0)[/tex]$ - $[tex]x \in (0,d)[/tex]$ : Aplicamos la ley de Fourier para la conducción: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A} = -\lambda \frac{dT}{dx}[/tex]$ De donde ya despejamos el area que supusimos normal al diferencial de posición y también tomamos la única componente del gradiente que no se anula. Despejamos e integramos: $[tex]\int_0^d \frac{\dot{Q}}{A}dx = -\lambda \int_{T(0)}^{T(d)} dT[/tex]$ $[tex]\frac{\dot{Q}}{A}d = -\lambda(T(d)-T(0))[/tex]$ Nuevamente despejamos las temperaturas: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A}\frac{d}{\lambda} = T(0) - T(d)[/tex]$ - $[tex]x = d[/tex]$ : Nuevamente, tenemos una discontinuidad donde despreciamos el espesor de la llamada capa límite de convección. Aplicamos la ley de Newton: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A} = h_2(T(d) - \theta_2)[/tex]$ Despejamos las temperaturas: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A}\frac{1}{h_2} = T(d) - \theta_2[/tex]$ - $[tex]x > d[/tex]$ : $[tex]T = \theta_1[/tex]$ Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas del cual podemos despejar $[tex]\frac{\dot{Q}}{A}[/tex]$ facilmente si sumamos las ecuaciones. Resulta: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{d}{\lambda} + \frac{1}{h_2} \right) = \theta_1 - \theta_2[/tex]$ $[tex]\frac{\dot{Q}}{A} = \frac{\theta_1 - \theta_2}{\left( \frac{1}{h_1} + \frac{d}{\lambda} + \frac{1}{h_2} \right)}[/tex]$ Luego reemplazando podemos hallar las temperaturas $[tex]T(0)[/tex]$ y $[tex]T(d)[/tex]$ . Conocidas estas podemos hallar el gradiente de temperaturas de la ley de Fourier: $[tex]\frac{\dot{Q}}{A} = -\lambda \frac{dT}{dx}[/tex]$ $[tex]\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot{Q}}{A \lambda}[/tex]$ Como esperabamos este gradiente es constante y por lo tanto T(x) es lineal en el rango de la pared como supusimos. Conocidos sus valores y pendiente en todo el espacio, T(x) queda bien definida. 2) El problema es un bolonqui de cuentas (hay que ser prolijo), básicamente lo que hacemos es lo mismo que en el anterior. Conocemos las temperaturas de los fluidos interiores y exteriores y conocemos tambien los datos de convección/conducción y las superficies y espesores para cada una. Resolvemos para la cantidad de calor por unidad de tiempo y luego sumamos las contribuciones a través de cada superficie y obtenemos la potencia deseada. 3) Es idéntico al primer problema excepto que tenemos simetría cilíndrica en vez de plana. La única diferencia que vamos a encontrar es que el gradiente no es constante sino que depende del radio. Tomando un sistema de coordenadas cilíndricas coaxial con el eje del cilindro, la temperatura solo depende de la coordenada radial y no de z o al ángulo. Entonces, con los datos del problema resulta: - $[tex]r < R_1[/tex]$ : $[tex]T = \theta_1[/tex]$ - $[tex]r = R_1[/tex]$ : Tenemos una discontinuidad donde despreciamos el espesor de la llamada capa límite de convección. Sin embargo, la ley de Newton nos permite averiguar los detalles de la discontinuidad. Notar que al plantear la ley de Newton siempre el delta de temperaturas debe ser positivo. $[tex]\frac{\dot{Q}}{2\pi R_1 L} = h_{int}(\theta_{int} - T(R_1))[/tex]$ Despejamos las temperaturas: $[tex]\frac{\dot{Q}}{2\pi R_1 L}\frac{1}{h_{int}} = \theta_{int} - T(R_1)[/tex]$ - $[tex]r \in (R_1,R_2)[/tex]$ : Aplicamos la ley de Fourier para la conducción (notar que ahora la superficie depende del radio): $[tex]\frac{\dot{Q}}{2 \pi r L} = -\lambda \frac{dT}{dr}[/tex]$ $[tex]\int_{R_1}^{R_2} \frac{\dot{Q}}{2 \pi r L}dr = -\lambda \int_{T(R_1)}^{T(R_2)} dT[/tex]$ $[tex]\frac{\dot{Q}}{2 \pi L}\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) = \lambda(T(R_2) - T(R_1))[/tex]$ - $[tex]r = R_2[/tex]$ : Tenemos una discontinuidad donde despreciamos el espesor de la llamada capa límite de convección. Sin embargo, la ley de Newton nos permite averiguar los detalles de la discontinuidad. Notar que al plantear la ley de Newton siempre el delta de temperaturas debe ser positivo. $[tex]\frac{\dot{Q}}{2\pi R_2 L} = h_{ext}(T(R_2) - \theta_{ext})[/tex]$ Despejamos las temperaturas: $[tex]\frac{\dot{Q}}{2\pi R_2 L}\frac{1}{h_{ext}} = T(R_2) - \theta_{ext}[/tex]$ - $[tex]r < R_2[/tex]$ : $[tex]T = \theta_{ext}[/tex]$ Y de aquí ya sabemos como resolver, idéntico al primero, sumando las ecuaciones y demases. Notar que el perfil de temperaturas va a seguir una forma logarítimca decreciente dentro de la pared de la cañería cuando hagamos la integral de $[tex]R_1 \to r[/tex]$ . 4) Igual al anterior pero algunos de los datos ahora son incógnita y viceversa. No presenta ninguna dificultad en particular, solo hay que ser cuidadosos con las cuentas. 5) Mas de lo mismo, excepto que cambian algunas de las cosas que antes eran datos ahora son incógnitas. También es el primer ejemplo con simetría esférica que ya sabemos resolver utilizando coordenadas esféricas. La temperatura ahora en el interior de de la pared de hierro va a seguir un perfil $[tex]\frac{1}{r}[/tex]$ , que resulta de integrar $[tex]\frac{1}{r^2}[/tex]$ . Tener cuidad que cuando tenemos dos sólidos sin fluido entre ellos, no hay convección, solo conducción entre las paredes en contacto por lo tanto sus temperaturas son iguales en la región de contacto. 6) Tenemos un cuerpo que está siendo bombeado con calor a velocidad constante. Por otro lado, se encuentra en contacto con un foco calórico de temperatura constante. Sin embargo, no se cumple el régimen estacionario (se verifica fácilmente) por lo que parte del calor que se está entregando está afectando la temperatura del cuerpo que a su vez afecta la transmisión de calor de parte del sistema al entorno. Se cumple: $[tex]\dot{Q}_e = \dot{Q}_a + \dot{Q}_t + \dot{Q}_r[/tex]$ Donde el primer término es el dato, la cantidad de calor que se le entrega a nuestro sistema. Como el coeficiente de conducción del sistema se asume infinito, esto implica que los cambios de calor y temperatura se transmiten uniforme e instantáneamente en todo su volumen. Por otro lado, si su coeficiente de emisión tiende a 0, de donde deducimos que no puedo transmitir calor por radiación. Como nuestro sistema está inmerso en un fluido, la única manera que puede transmitir calor es por convección. Los términos a la derecha de la igualdad son: $[tex]\dot{Q}_a = cM\dot{T}[/tex]$ : es la potencia que va absorber el cuerpo y proporcional al aumento de su temperatura. Se deduce de diferenciar la expresión de calor $[tex]Q = cM\Delta T[/tex]$ con respecto al tiempo. $[tex]\dot{Q}_t = hS(T(t)-\theta)[/tex]$ : es la potencia que va a transmitir el cuerpo por convección (suponemos $[tex]h[/tex]$ , el coeficiente de convección, dato). La temperatura $[tex]T[/tex]$ depende del tiempo porque el cuerpo está absorbiendo calor y por ende aumentando su temperatura. Como dijimos, $[tex]\theta[/tex]$ , la temperatura del baño exterior, es constante. $[tex]\dot{Q}_r = \epsilon \sigma S (T(t)^4 - \theta^4)[/tex]$ : es la potencia emitida por radiación. Como es lineal con $[tex]\epsilon[/tex]$ , en este caso es 0 pero mas adelante se pide agregar este factor. Ya estamos listos para plantear la ecuación diferencial: $[tex]\dot{Q}_e = \dot{Q}_a + \dot{Q}_t[/tex]$ $[tex]\dot{Q}_e = cM\dot{T} + hS(T(t)-\theta)[/tex]$ Re-ordenamos los términos para llevarla a la forma general: $[tex]\dot{T} + \frac{hS}{cM}T = \frac{\dot{Q}_e + hS\theta}{cM} [/tex]$ Tenemos una EDO de primer orden a coeficientes constantes. La solución la podemos sacar por ejemplo con factor integrante y resulta: $[tex]T(t) = \frac{\beta}{\alpha} + \gamma e^{-\alpha t}[/tex]$ Donde: - $[tex]\alpha = \frac{hS}{cM}[/tex]$ - $[tex]\beta = \frac{\dot{Q}_e + hS\theta}{cM}[/tex]$ - $[tex]\gamma[/tex]$ una constante de integración que se obtiene pidiendo que $[tex]T(0) = T_0[/tex]$ (dato). Con esta ecuación podemos resolver todo lo demás que pide el problema. Notar que cuando $[tex]t \to \infty[/tex]$ la ecuación tiende a una asíntota (la temperatura de equilibrio) como esperabamos. 7) No tiene mayor complicación, luego de plantear todas las leyes y condiciones, deberíamos llegar las siguientes 4 ecuaciones con 4 incógnitas que resolvemos como mas nos plazca: * $[tex]\frac{\dot{Q}}{h_{int} \pi R_1^2} = \theta_1 - T(R_1)[/tex]$ * $[tex]\frac{Q}{\lambda \pi}\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right ) = T(R_1) - T(R_2)[/tex]$ * $[tex]\frac{\dot{Q}}{h_{ext} \pi R_2^2} = T(R_2) - \theta_2[/tex]$ Y el dato del gradiente: * $[tex]\frac{\dot{Q}}{\lambda \pi R_X^2} = - \frac{dT}{dr}\|_{r=R_x}[/tex]$ De aquí podemos despejar $[tex]\dot{Q}[/tex]$ , $[tex]\lambda[/tex]$ , el perfil de temperaturas y demases. El ultimo punto nos pide el calor absorbido de la pared si inicialmente estaba a una temperatura $[tex]T_0[/tex]$ . Primero pongamos los datos que tenemos: - La masa de la pared: $[tex]M = \delta V = \delta \frac{4}{3} \pi (R_2^3 - R_1^3)[/tex]$ , donde $[tex]\delta[/tex]$ es la densidad dato. - El calor específico: $[tex]c[/tex]$ . Sabemos que para llevar la pared de 0 grados (por poner una referencia cualquiera) a T_0 (20 grados en este problema) necesitamos la siguiente cantidad de calor: $[tex]Q_0 = cMT_0[/tex]$ . Solo necesitamos calcular desde la misma referencia cuanto calor es necesario para llevarlo a la temperatura de equilibrio. Como nos piden la cantidad de calor para llevarlo desde la temperatura inicial (no la referencia) hasta la de equilibrio, tenemos que calcular la diferenca de ambas. Calculemos primero la cantidad de calor para un pedazo de sección radial de pared y luego multiplicamos por el volumen para obtener el total: $[tex]q_1 = \delta c \int_{R_1}^{R_2} T(r)[/tex]$ Donde $[tex]T(r) = \frac{\dot{Q}}{\lambda \pi}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_1} \right) + T(R_1)[/tex]$ Acá hay que arremangarse y hacer las integrales, sin confundir lo que ya es dato. Después multiplicamos por el volumen y queda: $[tex]Q_1 = \frac{4}{3} \pi q_1 (R_2^3 - R_1^3)[/tex]$ Entonces la cantidad de calor total entregada para pasar de $[tex]T_0[/tex]$ al equilibrio es $[tex]Q = Q_1 - Q_0[/tex]$ . 8) Llamemos L a la longitud, R al radio. El problema no da muchos datos aparte de la corriente I al momento de fusión. Necesitamos algunos datos mas, a saber: la resistividad eléctrica del níquel $[tex]\rho[/tex]$ , el coeficiente de emisión/absorción, que tomamos como la unidad al tratarse de un hilo ennegrecido (cual cuerpo negro) y también utilizar el dato de que el radio del vidrio envolvente es mucho mayor. Como el hilo actúa como una resistencia eléctrica y toda la potencia es radiada podemos calcular su temperatura: $[tex]R = \rho \frac{L}{A}[/tex]$ (con $[tex]A = \pi R^2[/tex]$ ) La potencia eléctrica es igual a la radiada y es: $[tex]P = I^2 R = \epsilon \sigma S (T_{fusion}^4 - T_{vidrio}^4)[/tex]$ Donde ahora $[tex]S = \pi 2 R L[/tex]$ es la superficie radiante del hilo y ya dijimos $[tex]\epsilon=1[/tex]$ . De aquí podemos despejar la temperatura de fusión: $[tex]T_{fusion} = \sqrt[4]{\frac{I^2 R}{\epsilon \sigma S} + T_{vidrio}^4}[/tex]$ 9) No queda mas que aplicar la ley de Stefan-Boltzmann que es mas dificil de escribir el nombre que la ecuación: $[tex]\dot{Q} = \sigma \epsilon S( T_{amb}^4 - T_{persona}^4 )[/tex]$ Donde: - $[tex]\sigma \simeq 5.67 \times 10^{-8} \frac{W}{m^2 K^4}[/tex]$ , la constante de Stefan-Boltzmann. Notar que debemos pasar las temperaturas a Kelvin. - $[tex]\epsilon[/tex]$ es la emisividad o coeficiente de absorción, que en general se toman iguales. La ley sirve tanto para absorción como emisión. - $[tex]S[/tex]$ es la superficie donde se absorbe/emite. - $[tex]T_{amb}[/tex]$ la temperatura del ambiente en K. - $[tex]T_{persona}[/tex]$ la temperatura de la persona en K. Reemplazando nos queda aproximadamente $[tex]-100 W[/tex]$ , de lo que se deduce que está emitiendo energía mas de lo que absorbe.

Última edición por koreano el Mie Ago 08, 2012 5:54 pm, editado 3 veces

Trigger
Nivel 8

Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524

Carrera: Industrial

Publicado: Lun Nov 28, 2011 2:15 pm Asunto: (Sin Asunto)


En que libro explican este tema bien bien?

Basterman
Nivel 9

Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329

Carrera: Mecánica

Publicado: Lun Nov 28, 2011 2:19 pm Asunto: (Sin Asunto)


Me dijeron que el Greco es bueno. Un ex-profesor de la facultad si entendi bien, y sino no importa, es un dato extra al pedo.

koreano
Nivel 9

Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada

Publicado: Lun Nov 28, 2011 2:32 pm Asunto: (Sin Asunto)


Sí, yo saqué el Greco de la biblioteca (no lo conseguí en internet). Es verdad que está escrito por un ex-profesor de FII y cubre todos los temas muy bien pero en un poco de detalle de mas. Y la notación no me gusta mucho, pero sigue siendo un excelente libro para preparar Termo en FII. Recomiendo las primeros de estos también: http://www.youtube.com/watch?v=kLqduWF6GXE

JinnKaY
Nivel 9

Edad: 32
Registrado: 16 Jul 2010
Mensajes: 1445

Carrera: Electrónica y Mecánica
CARRERA.electronica.5.gif

Publicado: Mie Nov 30, 2011 11:56 pm Asunto: (Sin Asunto)

koreano escribió:

Sí, yo saqué el Greco de la biblioteca (no lo conseguí en internet). Es verdad que está escrito por un ex-profesor de FII y cubre todos los temas muy bien pero en un poco de detalle de mas. Y la notación no me gusta mucho, pero sigue siendo un excelente libro para preparar Termo en FII.

Recomiendo las primeros de estos también: http://www.youtube.com/watch?v=kLqduWF6GXE

El del hilo de niquel lo plantee IGUAL que vos, pero en las guias resueltas aparece un dato extra (el voltaje de la fuente), que me confirmaron en la practica que es el dato faltante

asi que se puede resolver por ese camino sin recurrir al calculo formal de la resistencia.

_________________

http://tinyurl.com/8y3ghjg

$[tex][|0|.................|25|.................|50|.................|75|.................|100|][/tex]$
$[tex][|||||||||||||||||||||||||||||||||||..............................................................][/tex]$

Jas
Nivel 5

Edad: 33
Registrado: 19 Feb 2009
Mensajes: 180

Carrera: Informática
CARRERA.informatica.3.jpg

Publicado: Lun Jul 30, 2012 9:15 pm Asunto: (Sin Asunto)


Una pregunta sobre el ejercicio 7e A lo ultimo decis que el calor absorbido por la pared es Q = Q1 - Q0 No termino de entender por qué le restas Q0. No seria Q1 el calor absorbido?

koreano
Nivel 9

Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada

Publicado: Lun Jul 30, 2012 9:44 pm Asunto: (Sin Asunto)


Ahí cambié un poco la notación y las palabras porque estaba medio confuso. Para contestar tu pregunta, le resto $[tex]Q_0[/tex]$ porque te pide la cantidad de calor que necesita para ir desde los 20°C homogeneos hasta la temperatura de equilibrio. $[tex]Q_1[/tex]$ es la cantidad de calor para llegar a la temperatura de equilibrio desde 0°C (por la manera en que traté la relación calorimétrica). Acordate que la fórmula es: $[tex]Q = cM \Delta T = cM(T_f - T_i)[/tex]$ Si tu $[tex]\Delta T = T_f - T_i[/tex]$ y setéas $[tex]T_i = 0[/tex]$ por conveniencia entonces ese término queda afuera en la resta. En este caso lo hago porque la temperatura no es uniforme para la final y por lo tanto no podés sacar M como factor común. Espero que se entienda

Jas
Nivel 5

Edad: 33
Registrado: 19 Feb 2009
Mensajes: 180

Carrera: Informática
CARRERA.informatica.3.jpg

Publicado: Lun Jul 30, 2012 10:45 pm Asunto: (Sin Asunto)


Entendi para que sirve Q0 pero lo que no termino de entender es en la ecuacion: $[tex]T(r) = \frac{\dot{Q}}{\lambda \pi}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_1} \right) + T(R_1)[/tex]$ en donde esta expresado que empezas desde T = 0°C? Por otro lado, en T(R1) va la temperatura que habias despejado en los puntos anteriores, no?

koreano
Nivel 9

Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada

Publicado: Lun Jul 30, 2012 10:56 pm Asunto: (Sin Asunto)


Sí a lo ultimo. El hecho de que empiece desde T=0°C es porque en la formula para Q, no tomo final menos inicial, calculo solo el final. Igual me quedé pensando si el calculo está bien para la T final... la temperatura depende de la posición, integro la temperatura en todo el radio... creo que tendría que dividir por el radio para que den las unidades y que quede la temperatura "promedio" final y listo. No te compliques mucho con ese ej te diría : P

bdmau
Nivel 2

Registrado: 12 Ago 2010
Mensajes: 15

Publicado: Jue Dic 13, 2012 4:25 pm Asunto: (Sin Asunto)


koreano una pregunta, por qué en el ej. 9 pusiste las temperaturas al revés que en el ej. ? En la teoría habían hecho el 9 y el resultado les dio positivio, porque se puso ( Tcuerpo ^4 - Tamb^4)... sin embargo tu resultado me parece coherente ya que el cuerpo está perdiendo calor. No entiendo!

elbura
Nivel 2

Registrado: 08 Dic 2011
Mensajes: 12

Carrera: Informática

Publicado: Sab Dic 13, 2014 4:30 pm Asunto: (Sin Asunto)


Gracias por la guía, me sacó varias dudas

koreano
Nivel 9

Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada

Publicado: Mar Dic 16, 2014 9:12 am Asunto: (Sin Asunto)

De nada

bdmau escribió:

koreano una pregunta, por qué en el ej. 9 pusiste las temperaturas al revés que en el ej. 8)?
En la teoría habían hecho el 9 y el resultado les dio positivio, porque se puso ( Tcuerpo ^4 - Tamb^4)... sin embargo tu resultado me parece coherente ya que el cuerpo está perdiendo calor. No entiendo!

Por convenciòn nomas, mientras que expliques que hiciste es lo mismo

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