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nico093
Nivel 0
Registrado: 06 Oct 2011
Mensajes: 1
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Hola! Qué tal? Les comento que el lunes rendí el primer parcial de álgebra, que para mí fue bastante fácil con respecto a lo que me esperaba (por suerte). El tema es que hubo un ejercicio de subespacios medio extraño, procedo a copiárselos:
Sean S = <(1,-1,0,1);(-2,1,1,-3)> y T = {x perteneciente a R4 / x1+x2+x3-2x4 = x2+2x3 = 0}. Hallar, si es posible, un subespacio W de dimensión 2 que verifique simultáneamente:
W intersección con S distinto de {0}
W intersección con T distinto de {0}
W incluido en [(S intersección con T) ortogonal].
Cuestión que me pongo a desarrollar un poco, hago intersecciones, ortogonales, pero me doy cuenta que no puede ser, porque si W está incluido en la intersección ortogonal entre S y T, nunca puede intersecar (distinto de {0}) ni con S ni con T, porque precisamente la intersección entre un subespacio con su ortogonal es {0}, me explico? Por ende mi respuesta fue (en base a justificaciones similares) que no es posible. Estoy en lo cierto o caí en una trampa algebraica?
Muchas gracias a los que me pueden ayudar!
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Eyetz
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 11 May 2009
Mensajes: 164
Ubicación: San Cristobal
Carrera: Informática
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W esta en (S interseccion T) ortogonal. o sea, vos buscas la interseccion de S y T, y luego hallas su ortogonal. Como S es distinto de T, hay elementos de S y T que no viven en la interseccion, por lo cual pueden estar en el ortogonal de la interseccion. vos tenes q buscar la interseccion de W con los elementos de S y de T que viven en dicho espacio.
me explico?
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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Ponele que la interseccion entre S y T es un vector de R4. S y T tienen otro vector, cada uno, l.i con ese vector. Entonces, el subespacio ortogonal de la interseccion, tiene dimension 3, y tanto el vector que "sobro" de T como el que "sobro" de S pueden estar incluido en ese subespacio. Se entendio algo?
No hice ninguna cuenta, pero suena posible.
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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Un ejemplo (es con vectores 'faciles' para que te des cuenta que puede ser posible):
S= (1,0,0,0), (0,1,0,0)
T= (0,0,0,1), (0,1,0,0)
SnT = (0,1,0,0)
SnT(ortogonal)= (1,0,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)
W= (1,0,0,0), (0,0,0,1)
Ahi W esta incluido en S, T, y en SnT(ortogonal).
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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Observá que tenés 2 subespacios de dimensión 2, S = <1> y T generado por la base B={(-1/2, 1,-1/2, 0),(1,0,0,1/2)}.
Se busca un subespacio W, cuyos generadores sean 2, tal que por lo menos uno de las base de S y otro de la base de T. Para saber como elegirlos, basta con hacer:
(S ∩ T)⊥ Como la intersección contiene solo al elemento neutro (por lo menos mediante una aproximación visual), entonces se deduce que es el espacio R^4 y por tanto basta tomar dos elementos de R^4 uno de S y otro de T y tenés a tu subespacio W.
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Fe de erratas: Donde dice S=<1> debe decir S=<1>
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| bueno no importa lo que debía decir porque por alguna razón no aparece jajaja
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Landa
Nivel 6
Edad: 32
Registrado: 14 Feb 2010
Mensajes: 276
Ubicación: En La Ilusión
Carrera: Naval
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Haciendo cuentas, así bien rápido...
SnT= <(-2,1,1,-3> [menos dos, uno, uno, menos 3]
ya que verifica que está en ambos subespacios, por ende
[SnT]ortogonal=<(1,-1,0,1);(2,0,0,1);(0,0,0,1)> [v1=uno, menos uno, cero,uno; v2=dos,cero,cero,uno; v3=cero,cero,cero,uno]
(CREO que dan LI, no tengo ganas de hacer cuentas)
Fijate que el primer vector lo saqué de S, el segundo lo saqué de T y el tercero lo agregué yo.
De esto se obtiene que..
W=<(1,-1,0,1);(2,0,0,1)> [v1=uno, menos uno, cero,uno; v2=dos,cero,cero,uno]
Lo que pasa es que W podría ser más chico, porque dice que W está incluído, pero no te da restricción de dimensión, por lo que otras respuestas correctas serían:
W=<(2,0,0,1> [dos,cero,cero,uno]
W=<(1,-1,0,1)> [uno, menos uno, cero,uno]
Debería estar bien 
P.D.: Tengo que ponerme en campaña para usar Latex.
Edit: no entiendo que se le ocurre a este foro... si me bancas bajo latex...
Edit 2: Lo único que se me ocurrió fue ponerlo en letras
Edit 3: tratando de arreglar los numeros...
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Última edición por Landa el Jue Oct 06, 2011 11:51 pm, editado 1 vez
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| Yankey escribió:
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bueno no importa lo que debía decir porque por alguna razón no aparece jajaja
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| Landa escribió:
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Edit: no entiendo que se le ocurre a este foro... si me bancas bajo latex...
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Hay que tildar "Deshabilitar HTML en este mensaje" cuando hay símbolos mayor y menor, sino se rompen algunos posts si hay un símbolo menor y más adelante un mayor...
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Landa
Nivel 6
Edad: 32
Registrado: 14 Feb 2010
Mensajes: 276
Ubicación: En La Ilusión
Carrera: Naval
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| Huey 7 escribió:
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| Yankey escribió:
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bueno no importa lo que debía decir porque por alguna razón no aparece jajaja
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| Landa escribió:
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Edit: no entiendo que se le ocurre a este foro... si me bancas bajo latex...
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Hay que tildar "Deshabilitar HTML en este mensaje" cuando hay símbolos mayor y menor, sino se rompen algunos posts si hay un símbolo menor y más adelante un mayor...
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Gracias por el tip, ahora pruebo de arreglar el post.
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Landa escribió:
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Haciendo cuentas, así bien rápido...
SnT= <2> [menos dos, uno, uno, menos 3]
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Me lo mostrás eso, porque no lo vi de entrada y no lo veo ahora.
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Ahí lo hice.
Primero, vemos que ![[tex]Dim(S)=Dim(T)=2[/tex]](images/latex/2b119319f5ce24afcacabf3cf749613b71115597_0.png "[tex]Dim(S)=Dim(T)=2[/tex]") y, haciendo las cuentas correspondientes, hallamos que ![[tex]Dim[S \cap T]=1[/tex]](images/latex/4303b367a7c10951e518ac7f9293269ff5e18ec3_0.png "[tex]Dim[S \cap T]=1[/tex]") .
Entonces, por el teorema de las dimensiones, ![[tex]Dim[S \cap T]^\perp=3[/tex]](images/latex/7d08039e1f162082b78df107915c4499c48fdf29_0.png "[tex]Dim[S \cap T]^\perp=3[/tex]")
Me piden un subespacio ![[tex]W[/tex]](images/latex/c112fb04d72bce771a70358852e2dd3f1888132f_0.png "[tex]W[/tex]") de dimensión 2 que esté todo incluído en ![[tex][S \cap T]^ \perp[/tex]](images/latex/6745a3e029afe4f20ff600e1dcd6285250911435_0.png "[tex][S \cap T]^ \perp[/tex]") , y que además tenga intersección no nula con S y con T. Acá hay que analizar a ver si se puede o no:
tiene dimensión 3. Como S y T tienen dimensión 2, esto nos dice que sí o sí existe intersección entre y S, y entre ambas distintas del nulo. ¿Por qué? Suponete que la intersección entre S y fuera el nulo solamente. Entonces, están en suma directa. Pero entonces la dimensión de R4 es al menos 5, lo cual es absurdo. El mismo razonamiento con T.
Ahora que vimos que existe intersecciones no nulas entre y S y entre y T, podemos leer distinto las condiciones: W está incluído en ![[tex][S \cap T] ^\perp[/tex]](images/latex/f801859fe58c2c0fc6935ec8af31b0f6803b31a9_0.png "[tex][S \cap T] ^\perp[/tex]") y tiene intersección no nula entre S y T. Tal cual , pero de dimensión 2 nomás. Así que para hallar una base de W, podemos buscar la intersección entre y S, la intersección entre y T, agarrar un vector de cada uno, decir que son LI (Esto va a pasar sí o sí, porque si no lo fueran, ese vector pertenecería a la intersección de S con T, lo cual es imposible porque pertenece a ), y listo.
Listo, se puede hacer. Lo demás son cuentas. Igual fijate que una vez finalizadas las cuentas se verifiquen todas las condiciones que le pedía al principio.
De todos modos para mí lo más importante es darse cuenta de lo que puse arriba. Igual, si tenés problemas con las cuentas, preguntá, que las hice, pero me da fiaca pasarlas a la PC.
Por favor avisame si se entendió todo lo que puse, que así aprendo yo a ser más claro también. Cualquier duda que tengas preguntá.
Saludos y éxitos con la devolución del parcial!
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Landa
Nivel 6
Edad: 32
Registrado: 14 Feb 2010
Mensajes: 276
Ubicación: En La Ilusión
Carrera: Naval
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| Yankey escribió:
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| Landa escribió:
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Haciendo cuentas, así bien rápido...
SnT= <2> [menos dos, uno, uno, menos 3]
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Me lo mostrás eso, porque no lo vi de entrada y no lo veo ahora.
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Ese vector pertenece a S (esta en la base dada) y además pertenece a T (verifica la restricción dada en T), por ende si V pertenece a S y a T, pertenece a SnT.
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