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Señor
Nivel 2
Registrado: 19 May 2010
Mensajes: 10
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Tengo dudas de como expresar bien las definiciones de convergencia puntual y uniforme de una serie de Fourier. En mi cuaderno, por un lado tengo que:
Convergencia puntual es cuando existe un epsilon> 0 tal que para todo n>N(epsilon,xo) el modulo de la sucesion de funciones evaluada en xo menos la f evaluada en xo es menor a epsilon.
Y después tengo un teoremita que dice que si la f es continua a trozos en [-L;L], para cada xo perteneciente al intervalo donde existan las derivadas laterales, la serie de Fourier converge puntualemnte al promedio de esos limites.
En caso de que me pidieran definir la convergencia puntual de una serie de Fourier, cual de estas cosas pongo? O sea, si quisiera hacer una mezcla de las dos tengo que empezar a hablar de sucesion de sumas parciales de la SF...Esta bien?
Para convergencia uniforme tengo el mismo dilema, una definicion con epsilons y sucesion de funciones y un teoremita con condiciones para la f.
Muchas graciassssssssss!!!!
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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La diferencia es que si una serie funcional converge a una función, puntualmente, para todo x en un intervalo [a,b], el n_0 tal que si n es mayor que n_0, las sumas parciales de la serie están a epsilon o menos de la función, depende de x. O sea para cada x en [a,b], hay un n_0 distinto, entonces es
![[tex]n_0 = n_0 ( \epsilon, x)[/tex]](images/latex/0da68b6c7fd2f1d00887c060232fe5d157407369_0.png "[tex]n_0 = n_0 ( \epsilon, x)[/tex]")
Si la serie converge uniformemente entonces el n_0 es "general", no depende de que x elijas, va a existir un n_0 tal que para n > n_0 eso vale para todo x en [a,b].
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Claro, lo que pusiste primero es convergencia de series funcionales, como explica df en el post anterior.
Si te preguntan por la convergencia de las series de Fourier, yo pondría los teoremas de convergencia que explicaste antes.
Saludos.
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Sebacuervo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 23 Oct 2006
Mensajes: 107
Carrera: Informática
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Hola!
Como bien dice df, la convergencia uniforme es más fuerte que la convergencia puntual.
Ahora bien, por lo general cuando te piden que hables de convergencia de fourier, tenes que decir a dónde converge puntualmente una serie de fourier, bajo qué condiciones según f(x), cuándo hay convergencia uniforme, etc.
También te pueden preguntar por convergencia de la derivación e intergación de la serie.
Busca en los topics de analisis 3 que creo que había un par en que se trataban estos temas.
Te recomiendo, también, que leas "Series de fourier y problemas de contorno" de churchill. Es medio áspero, pero tiene la posta (Capítulo 4 y 5). Si no lo conseguís avisame que te lo puedo subir
saludos!
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Seba.
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Señor
Nivel 2
Registrado: 19 May 2010
Mensajes: 10
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| Ok, gracias! Sí, la diferencia entre convergenica puntual y uniforme la entiendo, el tema era qué poner cuando me pedian DEFINIR la convergencia puntual de la SF. Pongo las condiciones que tiene que cumplir la f y digo que la serie converge al promedio de blblabla y listo. Gracias, creo que con esto estoy, pero si necesito el libro te chiflo, Sebacuervo.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Separemos las cosas, la convergencia puntal, por definición, en un punto x_0 es, si no me equivoco:
![[tex]\forall \ \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbf {N} \ \ \backslash \ \ si \ n>N \Longrightarrow |f_n (x_0) - f(x_0)| < \epsilon[/tex]](images/latex/8e2b1abeff8eccd1dd90887890ee15535a8926b7_0.png "[tex]\forall \ \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbf {N} \ \ \backslash \ \ si \ n>N \Longrightarrow |f_n (x_0) - f(x_0)| < \epsilon[/tex]")
Eso es convergencia puntual.
Si no me equivoco, el "teorema" de que los coeficientes de la serie de Fourier, cuando los obtenés integrando, si la f del integrando es contínua y derivable a trozos, la serie converge puntualmente a la semisuma de los valores laterales (lo que implica que no converge a la función solo en los puntos de discontinuidad, donde converge a la media aritmética). Bueno, ese teorema, vendría a ser una especie de condición suficiente. Creo que puede darse para funciones no integrables, encontrar con alguna magia una serie de Fourier piola y sin embargo que no cumpla ese teorema.
Después edito y lo escribo un poco más ordenado.
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Señor
Nivel 2
Registrado: 19 May 2010
Mensajes: 10
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| No seria que existe algun epsilon tal que...? En lugar de para todo, porque no necesariamente se cumple para toda distancia mayor a cero.
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Es para todo porque epsilon puede ser arbitrariamente chico.
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Problemas con matemática? Llamá gratis al 0-800-3x²±sen(1/n³)∫∆ƒ dx
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Amintoros
Nivel 8
Registrado: 20 Mar 2008
Mensajes: 533
Carrera: Química
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| Es como te dijo sabian, si te preguntan la definición, encaralo para ese lado. Cuando rendí el final preguntaron esas definiciones (un ítem dentro de uno de los ejercicios), y si encarabas la respuesta para el lado de los teoremas te lo corregían como regular o mal. Recuerdo haberlas estudiado del balanzat. Hacés uso de los teoremas si es que te piden analizar la convergencia, porque te facilitan el laburo.
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| Elmo Lesto escribió:
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| Bistek escribió:
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por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Ahí aplicaron la transformada de Führer
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cuando la yerba mate
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Señor
Nivel 2
Registrado: 19 May 2010
Mensajes: 10
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| Aaah, bueno. Muchas gracias por las respuestaS!!!!
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