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Magali
Nivel 3
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 27
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Ahora el ej. dice:
Resolver la ecuacion de Laplace en la siguiente region
u(-pi/2, y)=0 u(pi/2,y)=0
u(x,0)=f(x) modulo(u(x,y))<M
[B]Gracias!!
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Se resuelve igual que el anterior, lo planteaste o algo?
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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SorLali
Nivel 9
Edad: 91
Registrado: 01 Jul 2009
Mensajes: 1205
Carrera: Informática y Sistemas
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La condición ![[tex]|u(x,y)|<M[/tex]](images/latex/930f747fa34851bf87e32487992737c10aecc31c_0.png "[tex]|u(x,y)|<M[/tex]") está para saber que ![[tex]u(x,y)[/tex]](images/latex/5a89eceeed2c2ddd35a5418c57d7d863a6340200_0.png "[tex]u(x,y)[/tex]") es acotada en el infinito, se resuelve de manera muy parecida solo que en algún momento te vas a cruzar con algo así:
![[tex]Y(y)=Ae^{y}+Be^{-y}[/tex]](images/latex/3e550b6c916954800372a9a575e76ec3ea7b5dbf_0.png "[tex]Y(y)=Ae^{y}+Be^{-y}[/tex]")
Las condiciones dadas te permiten asumir ![[tex]A=0[/tex]](images/latex/0f381070d5df206a93b0b57568f5360de0291308_0.png "[tex]A=0[/tex]") para que se cumpla la condición
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Foros-FIUBA o muerte
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Magali
Nivel 3
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 27
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Con las dos condiciones que estan igualadas a 0 puedo sacar el valor de lambda y obtengo:
Y(y)= Ae^4ny + be^-4ny
Esta bien??
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Si, pero tenes que proponer A = 0 como ya te explicaron ya que sino la solución no va a ser acotada.
Saludos.
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Magali
Nivel 3
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 27
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Magali
Nivel 3
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 27
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Ultima pregunta, parezco tonta..
si X(x)= c1 e^(raiz(lambda)x) + c2 e^(-raiz(lambda)x)
pongo la misma condicion sobre c1?? porq tengo una sola condicion para ambas.
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Tenés que X(pi/2)=X(-pi/2)=0, te va a quedar el coseno de algo*x.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Magali escribió:
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Ultima pregunta, parezco tonta..
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Tonto es el que se queda con la duda por no preguntar.
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Aleja
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 121
Ubicación: San Martín City
Carrera: Informática
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Este problema me está complicando.
Como las condiciones están en -![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") /2 y /2 resulta que me costó despejar las constantes.
Por separación de variables, planteo que
![[tex]X(y)=A*cos(\sqrt{\lambda}x)+B*sen(\sqrt{\lambda} x)[/tex]](images/latex/e013246658e2e3e58ced0a39f569f6a6619126f6_0.png "[tex]X(y)=A*cos(\sqrt{\lambda}x)+B*sen(\sqrt{\lambda} x)[/tex]")
le enchufo las condiciones de X(/2)=X(-/2)=0, uso que el coseno es función par por lo que cos(x) = cos(-x), hago lo propio con el seno que es impar, osea que sen(-x) = -sen(x).
Sumando las dos ecuaciones termino obteniendo que ![[tex]\sqrt{\lambda} = n[/tex]](images/latex/4aa298730dc7cd7c642a7863023421067875fb07_0.png "[tex]\sqrt{\lambda} = n[/tex]") .
Restandolas, se deduce que B=0 porque sen(n* /2) jamás se anula para n entero.
estoy inventando mucho?
Después planteo que
![[tex]Y(y)=Ce^{\sqrt{\lambda}y}+De^{-\sqrt{\lambda}y}[/tex]](images/latex/1665c7273ed86b4d711f618bc586deb6f178f578_0.png "[tex]Y(y)=Ce^{\sqrt{\lambda}y}+De^{-\sqrt{\lambda}y}[/tex]")
se va la exponencial positiva para que no diverja la solución, etc..
la un(x,y) me queda ![[tex]K * e^{-ny}*cos(nx)[/tex]](images/latex/352889e7f912886a4181487241ce2da436994395_0.png "[tex]K * e^{-ny}*cos(nx)[/tex]") , donde K es C*A.
digo que u(x,y) = sumatoria de las un.
Como la condición final esta dada en u(x,0) = f(x) me queda felizmente un desarrollo con un coseno ahí bonito. Pero no es exactamente lo que leí que le daba al resto.
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i went downtown to look for a job, i had no training, no experience to speak of and when i looked at the holes in my jeans and turned and headed back.. life goes by so fast, you only want to do what you think is right.. close your eyes and then it's past, it's the story of my life ! ♥ ~
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Por qué no hacés u=x+pi/2 y resolvés para u? O buscate otra letra porque u es la solución de la EDDP. Lo que hiciste está bien pero al final tenés c_n cos(nx) para generar una función cualquiera f(x), o sea que tiene que ser a_0=0, no me cierra.
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Aleja
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 121
Ubicación: San Martín City
Carrera: Informática
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Entiendo, osea que le hago un "corrimiento" a x.
resuelvo felizmente con mi nueva variable, si m = x +pi/2:
u(0, y)=0
u(pi,y)=0
u(m,0)=f(m) {supongo..}
en ese caso el desarrollo me queda en senos 
porque
![[tex]M(m)=A*cos(\sqrt{\lambda}m)+B*sen(\sqrt{\lambda} m)[/tex]](images/latex/c046b2733525d84d3e7dbff5e9728b4cc86183b9_0.png "[tex]M(m)=A*cos(\sqrt{\lambda}m)+B*sen(\sqrt{\lambda} m)[/tex]")
![[tex]M(0)=0 -> A=0 [/tex]](images/latex/a07684a2f84cd28a7c5d487d7a206f9ffd867efa_0.png "[tex]M(0)=0 -> A=0 [/tex]") porque el coseno no se anula.
![[tex]M(pi)=0 -> \sqrt{\lambda} = n[/tex]](images/latex/e954cf227492c2890d8fec53c6d9bd53a955d161_0.png "[tex]M(pi)=0 -> \sqrt{\lambda} = n[/tex]") , para anular el seno.
Vuelvo a hacer tender a cero la exponencial positiva de la Y(y).
la un(m,y) me queda ![[tex]K * e^{-ny}*sen(nm)[/tex]](images/latex/8814a3232bc1d662588ef9c3e8694850cde29f9a_0.png "[tex]K * e^{-ny}*sen(nm)[/tex]") , donde K es C*B ahora.
Resuelvo para m.. y lo dejo expresado como coeficientes de m.
Ahora pienso yo.. realicé un corrimiento de pi/2.. y me dio en senos.
Ahora bien, si escribo sen(nm) = sen(n (x+pi/2)) eso es cos(nx).
No es igual? No llego a lo mismo?
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Si, pero el desarrollo en serie de Fourier de f(x) no lo podés hacer en base a {cos(n pi/L x)}, n>0 porque no forma un sistema ortogonal completo en L^2, lo tendría que hacer yo y fijarme pero si resolves para m, hallás el DSF de f(x) y volvés a x=m-pi/2, estás.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Aleja escribió:
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Restandolas, se deduce que B=0 porque sen(n* /2) jamás se anula para n entero.
estoy inventando mucho?
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Si, supone n = 2 y vas a ver que se anula.
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Aleja
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 22 Feb 2010
Mensajes: 121
Ubicación: San Martín City
Carrera: Informática
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Jackson666, tenés razón, de hecho se anula para todo n par.
Supongo que valía la generalización de pedir B = 0 porque B*sen(n pi/2) debía ser igual a cero para todo valor de n.
df vos decís q no lo puedo desarrollar porque me está faltando el coeficiente a0 si lo hago por cosenos?
okey entonces calculo todo para m y dejo todo expresado en x al final.
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