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Mensaje |
nirvanero2005
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 02 Oct 2008
Mensajes: 16
Carrera: Naval
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Hola,
tengo una duda con el ejercicio 4 del parcial de anaya del 13/05/11:
Estudiar la convergencia absoluta y simple y calcular si es posible integral de 0 a infinito de (sen(x)^2)/ (x^2) dx
La convergencia simple la calcule con el criterio de Dirichlet, pero no me doy cuenta de cómo calcular la absoluta, ¿alguna idea?
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| No podrías aplicar la definición de convergencia absoluta?Tiene algo que ver con que puedas encontrar el delta dado el épsilon no?Como en límites...la verdad que no me la acuerdo, podrías empezar capaz probando que es acotada, por ejemplo acotarla por la de 1/x^2
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Esa integral no converge absolutamente. Fijate que ![[tex]\left| \frac{sen^{2}(x)}{x^{2}} \right| = \left| \frac{sen(x)}{x} \right|^{2}[/tex]](images/latex/1dfeb58608288df3c844c313c2802774309bdf75_0.png "[tex]\left| \frac{sen^{2}(x)}{x^{2}} \right| = \left| \frac{sen(x)}{x} \right|^{2}[/tex]") . Esa función no toma valores negativos. Es MUY parecida a ![[tex]\left| \frac{sen(x)}{x} \right|[/tex]](images/latex/9e376e0883928afd55faef6a5348be3d14df1f48_0.png "[tex]\left| \frac{sen(x)}{x} \right|[/tex]") (que no CA).
Te dejo links con los gráficos:
![[tex]\frac{sen^{2}(x)}{x^{2}}[/tex]](images/latex/66a5efe49ac8c02658852175b61afa030be5339f_0.png "[tex]\frac{sen^{2}(x)}{x^{2}}[/tex]") : http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sen%28x%29^2%29%2F%28x^2%29
![[tex]\left| \frac{sen^{2}(x)}{x^{2}} \right|[/tex]](images/latex/a6a45b353fb706b730ff76e894bad9900c16f715_0.png "[tex]\left| \frac{sen^{2}(x)}{x^{2}} \right|[/tex]") : http://www.wolframalpha.com/input/?i=|%28sen%28x%29^2%29%2F%28x^2%29|
: http://www.wolframalpha.com/input/?i=|%28sen%28x%29%29%2F%28x%29|
Vieron en clase la demostración de por qué no CA?
| gedefet escribió:
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No podrías aplicar la definición de convergencia absoluta?Tiene algo que ver con que puedas encontrar el delta dado el épsilon no?Como en límites...la verdad que no me la acuerdo, podrías empezar capaz probando que es acotada, por ejemplo acotarla por la de 1/x^2
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La integral de ![[tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]](images/latex/c74496bbf2aa8f65a6b88770e329cbfddd6b084d_0.png "[tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]") converge en el intervalo ![[tex][1, + \infty)[/tex]](images/latex/28b14dbed1398e03ea63e16ed9131a8cbb4996ee_0.png "[tex][1, + \infty)[/tex]") y diverge en  . No se si te sirve demasiado en este caso...
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Mmmm que la función mod(sen(x)/x) no CA no quiere decir que su cuadrado tampoco...cuál era la definición de CA?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| gedefet escribió:
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Mmmm que la función mod(sen(x)/x) no CA no quiere decir que su cuadrado tampoco...cuál era la definición de CA?
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No entiendo si es sarcástico o es en serio jajajaja pero el criterio de CA es que converja con módulo. Además, ¿cómo la comparas con ? Planteas el límite:
![[tex]\lim_{x \rightarrow + \infty}{\frac{\left| \frac{sen(x)}{x} \right|^{2}}{\frac{1}{x^{2}}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}{x^{2} \cdot \left| \frac{sen(x)}{x} \right|^{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}{\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \left| sen(x) \right|^{2}}[/tex]](images/latex/bdaf013f2b3c9dc32a6592d1593d0c6b1d612ad5_0.png "[tex]\lim_{x \rightarrow + \infty}{\frac{\left| \frac{sen(x)}{x} \right|^{2}}{\frac{1}{x^{2}}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}{x^{2} \cdot \left| \frac{sen(x)}{x} \right|^{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}{\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \left| sen(x) \right|^{2}}[/tex]")
Límite que no existe (o es oscilante, da igual). Si le sacas el módulo, tampoco existe el límite.
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| No, no es sarcástico. Lo que digo es que que si una función no CA, no quiere decir que su cuadrado tampoco lo haga. Lo que te decía era que compares el integrando, o sea, ese seno sobre x al cuadrado es siempre menor a 1/x^2, porque sen(x)<=1, por ende, su integral también será menor. 1/x^2 converge en módulo, por lo tanto la del seno también. Me estoy equivocando en algo?Al menos así podés demostrar que converge en (1,+inf).
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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En mi opinión es como dice Gedefet, en el infinito se porta como 1/x^2 y eso converge en módulo.
No tengo ganas de hacer comparacion para la convergencia en 0. Igual cerca del 0 es como si tuvieras x^2 / x^2 (porque el seno se aproxima con x muy cerca del origen) y sería como integrar 1, por lo que existiría.
No sé, es un vistazo general. Si después de comer pinta intento hacer algo.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| gedefet escribió:
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No, no es sarcástico. Lo que digo es que que si una función no CA, no quiere decir que su cuadrado tampoco lo haga. Lo que te decía era que compares el integrando, o sea, ese seno sobre x al cuadrado es siempre menor a 1/x^2, porque sen(x)<=1, por ende, su integral también será menor. 1/x^2 converge en módulo, por lo tanto la del seno también. Me estoy equivocando en algo?Al menos así podés demostrar que converge en (1,+inf).
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Claro, es lo que decía antes... Convergería para pero no para .
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Creo que podés justificarlo así. Para (1,+inf) converge porque 1/x^2 converge y esa función es siempre menor a 1/x^2. en (0,1), ves que existe el límite cuando x->0 (para todo punto en ese intervalo, más fuerte aún), y también ves que es acotada y que estás integrando en un intervalo acotado. En ese intervalo la función es positiva, por lo que da lo mismo considerar o no el módulo. Por ende, CA
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| O sea, la integral existe en (0,1), te da un número
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Ante todo, dá lo mismo si es (0,1] o (0,45000]. El tema es que pasa con la suma cerca de la singularidad, el resto es integral de una función contínua en intervalo finito.
Y con lo que dije antes del limite en 0 de sen (x) / x =1, justificás que existe una prolongación analítica en 0. Por tanto como es un solo punto (es decir, es numerable) podés integrar la prolongación en lugar de la original y ahí no quedan dudas.
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Última edición por sabian_reloaded el Lun May 23, 2011 7:26 pm, editado 1 vez
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df
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Che pero sen^2(x)/x^2=|sen^2(x)/x^2|..
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
Última edición por df el Lun May 23, 2011 7:26 pm, editado 1 vez
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| df escribió:
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Che pero sen^2(x)/x^2=|sen^2(x)/x^2|..
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No entiendo bien qué queres decir.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| sabian_reloaded escribió:
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Ante todo, dá lo mismo si es (0,1] o (0,45000]. El tema es que pasa con la suma cerca de la singularidad, el resto es integral de una función contínua en intervalo finito.
Y con lo que dije antes del limite en 0 de sen (x) / x =1, justificás que existe una prolongación analítica en 0. Por tanto como es un solo punto (es decir, es numerable) podés integrar la prolongación en lugar de la original y ahí no quedan dudas.
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Si, si. Totalmente de acuerdo con vos y con gedefet también. Me estaba equivocando 
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Jackson666 escribió:
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| df escribió:
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Che pero sen^2(x)/x^2=|sen^2(x)/x^2|..
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No entiendo bien qué queres decir.
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Que te cagues en el módulo
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