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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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En un par de semanas está el parcial de AM3C y ando medio complicado con algunos temas porque anduve faltando y demás, así que inauguro este topic para consultas sobre ejercicios y ese tipo de cosas.
Arranco yo con un par de series que no tengo la más pálida idea de cómo desarrollar:
Práctica 2:
Serie de Taylor, ejercicio f:
![[tex]w=\frac{2z}{z-2};z_0=1[/tex]](images/latex/3b98125de67cb6f631ea8a7534bc55af78c07141_0.png "[tex]w=\frac{2z}{z-2};z_0=1[/tex]")
Yo lo que hago es sacar factor común z en el denominador para poder cancelar con el numerador:
![[tex]w=\frac{2z}{z(1-\frac{2}{z})}=\frac{2}{1-\frac{2}{z}}[/tex]](images/latex/fed2efe7c72e8141094435cbe9e389607a5a3fdd_0.png "[tex]w=\frac{2z}{z(1-\frac{2}{z})}=\frac{2}{1-\frac{2}{z}}[/tex]")
¿Está bien cancelar los z?
Entonces la serie me quedaría una cosa así:
![[tex]w=\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{4}{z^n}(z-1)^n[/tex]](images/latex/ed468a998f6b6efa2c71c225a99a6226e71db1a0_0.png "[tex]w=\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{4}{z^n}(z-1)^n[/tex]")
En la respuesta del ejercicio, que es totalmente diferente, aparece un intercambiador de signo ^n[/tex]](images/latex/6163bc5f4db6da21b8500d5e645bc378ca05ca3d_0.png "[tex](-1)^n[/tex]") 
Y mi otra duda es con el ejercicio g:
![[tex]w=\frac{z}{z^2-2z-3}=\frac{z}{(z-1)^2-4}[/tex]](images/latex/30a42ff9bc70261c22d6a5d5e5598ab88650c20b_0.png "[tex]w=\frac{z}{z^2-2z-3}=\frac{z}{(z-1)^2-4}[/tex]")
¿Cómo hago para encarar el desarrollo de la serie?
Pensé en intentar eliminar el z del numerador como hice en el ejercicio anterior y tratar de que me quede algo de estilo: ![[tex]\frac{1}{1-q}=\sum_{i=0}^{\infty}q^n;|q|<1[/tex]](images/latex/aca343c0397828eeefb1251a86c04a55d52aa414_0.png "[tex]\frac{1}{1-q}=\sum_{i=0}^{\infty}q^n;|q|<1[/tex]") pero no estoy muy seguro... ¿alguna idea?
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leandrob_90
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Yo llegue a algo como esto:
![[tex]w=\frac{2z}{z-2}; z_0=1[/tex]](images/latex/83cac7635c92d2f8803630ee40bce4ea2c7ea7b1_0.png "[tex]w=\frac{2z}{z-2}; z_0=1[/tex]")
Lo unico que hice fue derivar eso un par de veces y hallar la expresion general, pongo las 3 primeras derivadas para explicar mejor el resultado.
![[tex]w'=\frac{-4}{{(z-2)}^{2}};w''=\frac{-8}{{(z-2)}^{3}};w'''=\frac{-24}{{(z-2)}^{4}}[/tex]](images/latex/818db898d07035d6341aaee329d7a74ac626b164_0.png "[tex]w'=\frac{-4}{{(z-2)}^{2}};w''=\frac{-8}{{(z-2)}^{3}};w'''=\frac{-24}{{(z-2)}^{4}}[/tex]")
Hago la formula da Taylor con ![[tex]z_0=1[/tex]](images/latex/8cedb2c151939c009f9308c06eb7cd3658fa0b93_0.png "[tex]z_0=1[/tex]") y me queda algo asi
![[tex]f(z)={-2}-4(z-1)+4(z-1)^{2}-....[/tex]](images/latex/b27a555b96663110567654f9586cb8c75e5ac9d4_0.png "[tex]f(z)={-2}-4(z-1)+4(z-1)^{2}-....[/tex]") y eso equivale a poner la sumatoria
![[tex]f(z)=2-4\sum_{i = 0}^{\infty}(-1)^{n} (z-1)^{n}[/tex]](images/latex/ff7972b376e9432aba4fcee9b0200feb0c9ecbb1_0.png "[tex]f(z)=2-4\sum_{i = 0}^{\infty}(-1)^{n} (z-1)^{n}[/tex]") y pruebo con los primeros valores de n:
para ![[tex]n=0; f(z)=-2[/tex]](images/latex/3e82b6a07914ab8627908125095f39115020d0f5_0.png "[tex]n=0; f(z)=-2[/tex]")
![[tex]n=1; f(z)=-2-4(z-1)[/tex]](images/latex/e92f9cb10e233c6205fdaf68119ccefe1f49f338_0.png "[tex]n=1; f(z)=-2-4(z-1)[/tex]")
y asi.
Alguno que me corrija porque al docente que subio los resultados le quedo
otra cosa, en la que hay 2 sumatorias:
![[tex]f(z)=-2\sum_{i = 0}^{\infty}(z-1)^{n+1}-2\sum_{i = 0}^{\infty}(z-1)^{n}[/tex]](images/latex/47f253b936fd5138f6a41ea9c49cc8ef5f3c3a52_0.png "[tex]f(z)=-2\sum_{i = 0}^{\infty}(z-1)^{n+1}-2\sum_{i = 0}^{\infty}(z-1)^{n}[/tex]")
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| leandrob_90 escribió:
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En un par de semanas está el parcial de AM3C y ando medio complicado con algunos temas porque anduve faltando y demás, así que inauguro este topic para consultas sobre ejercicios y ese tipo de cosas.
Arranco yo con un par de series que no tengo la más pálida idea de cómo desarrollar:
Práctica 2:
Serie de Taylor, ejercicio f:
Yo lo que hago es sacar factor común z en el denominador para poder cancelar con el numerador:
¿Está bien cancelar los z?
Entonces la serie me quedaría una cosa así:
En la respuesta del ejercicio, que es totalmente diferente, aparece un intercambiador de signo
Y mi otra duda es con el ejercicio g:
¿Cómo hago para encarar el desarrollo de la serie?
Pensé en intentar eliminar el z del numerador como hice en el ejercicio anterior y tratar de que me quede algo de estilo: pero no estoy muy seguro... ¿alguna idea?
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Lo primero que obtuviste no es un desarrollo en serie de Taylor, no tiene la forma
![[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-1)^n[/tex]](images/latex/e22b9434dd49a4cedba89e86ad092e96851be175_0.png "[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-1)^n[/tex]")
Tenes potencias de z, negativas encima, y potencias positivas de z-1, o sea, es cualquier cosa eso.
Fijate de hacer esto:
![[tex]\frac{2z}{z-2}=\frac{2z-2+2}{(z-1)-1}= \frac{-2((z-1)+1)}{1-(z-1)} = -2 ( \frac{z-1}{1-(z-1)} + \frac{1}{1-(z-1)}) = \\-2 ( \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n)[/tex]](images/latex/88a4550cd2dab3330819b247f1c59586136d5af6_0.png "[tex]\frac{2z}{z-2}=\frac{2z-2+2}{(z-1)-1}= \frac{-2((z-1)+1)}{1-(z-1)} = -2 ( \frac{z-1}{1-(z-1)} + \frac{1}{1-(z-1)}) = \\-2 ( \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n)[/tex]")
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Se hace como dijo df.
P.D: Emprolijá el [tex] \LaTeX [/tex] hijo de puta.
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leandrob_90
Nivel 9
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Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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alguien me puede dar una mano con el 2 del III de la práctica 2?
obtener los radios de convergencia de las funciones sin calcular las series de Taylor:
![[tex]w_1=\frac{1}{z-4};z_0=3[/tex]](images/latex/6c60f53ff28888dd1ddd6defd00b92e40b87ddca_0.png "[tex]w_1=\frac{1}{z-4};z_0=3[/tex]")
![[tex]w_2=\frac{1}{z^2+1};z_0=1[/tex]](images/latex/52e367d57883fcafa82ea6954df082436bb58ba9_0.png "[tex]w_2=\frac{1}{z^2+1};z_0=1[/tex]")
![[tex]w_3=\frac{1}{\sin z};z_0=1+i[/tex]](images/latex/f3dc5af166f4fa1efccd633a2bc9b5724d85b03b_0.png "[tex]w_3=\frac{1}{\sin z};z_0=1+i[/tex]")
no tengo la más p--- idea de cómo encarar estos ejercicios... 
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leandrob_90
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df
Nivel 9
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Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| El radio de convergencia es el radio del disco centrado en z0, que "llega" hasta la primera singularidad. O sea por ejemplo en el primero tenes una singularidad en 4, para un disco centrado en 3 el radio máximo es 1.
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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en ![[tex]w_2[/tex]](images/latex/bba3e6c47ee7b294f7bf9c90b2b2966978ebf632_0.png "[tex]w_2[/tex]") tengo las singularidades en ![[tex]i[/tex]](images/latex/a4c1c5aa2403f597f891e4ee97abe072c60a5117_0.png "[tex]i[/tex]") y ![[tex]-i[/tex]](images/latex/dc95cf330f49dfc8e2576ee0b7a4dcd4799ebaa8_0.png "[tex]-i[/tex]") , y como tengo el centro en , el radio sería la distancia hasta llegar a dichas singularidades... ![[tex]R=\sqrt{2}[/tex]](images/latex/d4ef37b3581c05549020751a333575744b14388c_0.png "[tex]R=\sqrt{2}[/tex]") puede ser?*
y en ![[tex]w_3[/tex]](images/latex/a893a45a50d6c35fb2ae16105798d76a199557df_0.png "[tex]w_3[/tex]") las singularidades serían en ![[tex]0+2k\pi[/tex]](images/latex/846c7e633914c45592e09c7e7b015a3584bec025_0.png "[tex]0+2k\pi[/tex]") y el radio va desde ![[tex]z_0=1+i[/tex]](images/latex/3c45130e6fa667d68e36e635e8461b7e759f0178_0.png "[tex]z_0=1+i[/tex]") hasta la singularidad más cercana, en este caso ![[tex]0[/tex]](images/latex/cd18b8378b63fe64b1accfa94a1abaf6069863ff_0.png "[tex]0[/tex]") y el radio sería
*no me convence el radio de jaja, el resultado oficial es: ![[tex]R=\sqrt{ 2-\sqrt{2} }[/tex]](images/latex/e1a027a1939cb741411018a6979acc2ac0ad77b1_0.png "[tex]R=\sqrt{ 2-\sqrt{2} }[/tex]") pero la distancia ![[tex]d(1;i)=\sqrt{2}[/tex]](images/latex/30cc7c0501e5e5787ff32c27067b3382247c3ef5_0.png "[tex]d(1;i)=\sqrt{2}[/tex]")
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leandrob_90
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df
Nivel 9
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Carrera: Civil
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| En w3 las singularidades son z=k*pi pero si, es raiz de 2. Y en w2 a menos que tenga alguna otra singularidad mística oculta deberia ser tambien raiz de 2.
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
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Carrera: Mecánica
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| df escribió:
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En w3 las singularidades son z=k*pi pero si, es raiz de 2. Y en w2 a menos que tenga alguna otra singularidad mística oculta deberia ser tambien raiz de 2.
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Es verdad, la periodicidad es ![[tex]2\pi[/tex]](images/latex/fb54408201a51ac17484f390075f878f8f12bf85_0.png "[tex]2\pi[/tex]") pero las raices están cada ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") , no me di cuenta jaja, me dio el resultado de pedo porque se me ocurrió graficar la función y el punto y saqué la distancia por trigonometría.
Y bueno, con respecto a le debe haber pifiado el profesor al momento de escribir el resultado, que se yo.
Muchas gracias por la ayuda df. En cualquier momento vuelvo con más jajaja.
Saludos.
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leandrob_90
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sabian_reloaded
Nivel 9
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Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Si te interesa la justificación del radio de convergencia, viene por el lado del Lema de Abel.
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| sabian_reloaded escribió:
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Si te interesa la justificación del radio de convergencia, viene por el lado del Lema de Abel.
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Gracias por el dato Sabian, ahora me pongo a buscar sobre eso.
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leandrob_90
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Pave
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Ubicación: A la Izq. de la tortuga
Carrera: Mecánica
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Tengo una consulta boluda de la práctica 1 que realmente no me acuerdo y no tengo muchas ganas de andar leyendo los libros :p
cuando hago una transformación:
w=1/z de una circunferencia con centro en el origen, en qué se convierte esa circunferencia?
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Basterman
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Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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Es re cabeza lo que hice, pero si no lo entendes seguilo a Boogie.
El primero es la preimagen centrada en el origen con los elementos dentro de la circunferencia, el segundo es la imagen tambien centrada en el origen, y como se puede ver, incluye a todos los elementos fuera de la circunferencia, es clarisimo.`
Fuente: Churchill.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Pave escribió:
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Tengo una consulta boluda de la práctica 1 que realmente no me acuerdo y no tengo muchas ganas de andar leyendo los libros :p
cuando hago una transformación:
w=1/z de una circunferencia con centro en el origen, en qué se convierte esa circunferencia?
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![[tex]z= \rho e^{i \theta}\\\frac{1}{z}= \frac{1}{\rho} e^{-i \theta}[/tex]](images/latex/7d2ed384da20a5236723b7436903447bb4b4f4a3_0.png "[tex]z= \rho e^{i \theta}\\\frac{1}{z}= \frac{1}{\rho} e^{-i \theta}[/tex]")
Basicamente en una circunferencia con radio 1/r, si la original tenia radio r.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
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Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Y si la curva estaba orientada, cambia el sentido.
Siempre para analizar que pasa con circunsferencias, usá polares y sale fácil.
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