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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
Mensajes: 76
Carrera: Industrial
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No sé como plantear este ejercicio, es el 40:
Hallar una matriz A de R3x3 tal que A*2=B
con
-2 -3 3
B= 3 4 -3
-3 -3 4
Por favor ayudaa!
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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SI saca los AVA de B, y los AVE entonces como seguramente será diagonalizable escribís a
B = QD Q^-1
y ahora B^2 es:
B^2= B*B=(QDQ^-1) *(QDQ^-1)= QD(Q^-1 * Q)DQ^-1 = QD*DQ^-1
y listo porque Q es la matriz inversible formada por AVE de B, y D*D es elevar los terminos de la diagonal al cuadrado.
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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
Mensajes: 76
Carrera: Industrial
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Uh lo escribi mal, perdón!
Lo que pide es una matriz A, que elevada al cuadrado sea igual a B!
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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
Mensajes: 76
Carrera: Industrial
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Hasta ahora, pude obtener A(diagonal), pero no sé como llegar desde ahi a A.
Porque Q de A no seria la misma que de B y no se como obtener la de A.
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| meg0178 escribió:
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Hasta ahora, pude obtener A(diagonal), pero no sé como llegar desde ahi a A.
Porque Q de A no seria la misma que de B y no se como obtener la de A.
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Claro lei al reves la consigna, disculpà. Bueno pero los autovalores son 1 (doble) y 4 usa para A 1 y 2 ya que 1^2 =4 y 2^2 =4.
y la Q es la misma
o sea saca Q matriz de autovectores y despues usa
D = diag(1 1 2)
por ejemplo, tambien podrías haber usado -1 o -2 en la diagonal porque lo que usas es que si p(t) = t^2 entonces p(A)=A^2 =B y si & es AVA de p(A) entonces existe algún € AVA de A tal que p(€) =&
y bueno t^2=4, t^2=1 y de ahi sale.
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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
Mensajes: 76
Carrera: Industrial
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O sea que la Q de B, puedo usarla en A también? esa es mi gran duda mi duda!
porque se que A(diagonal)^2 y B son semejantes, no tendrían que serlo A y B también para poder usar la misma Q?
Mil gracias por responder!
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Esto tenés que hallar, no? ![[tex]A^{2} = B[/tex]](images/latex/8d4e909d84c26ef92fbead350e9d406401b8e98e_0.png "[tex]A^{2} = B[/tex]") con ![[tex]B = \left[ \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 3 \\ 3 & 4 & -3 \\ -3 & -3 & 4 \end{array} \right][/tex]](images/latex/300dad085b18ac2c8776b150f553676185d5d961_0.png "[tex]B = \left[ \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 3 \\ 3 & 4 & -3 \\ -3 & -3 & 4 \end{array} \right][/tex]")
Es claro que te pide hallar una matriz. Me parece que acá está el chiste del ejercicio.
Sabés que si ![[tex]\mu[/tex]](images/latex/574918a53740feaf5fa63a5a87357589936a83ba_0.png "[tex]\mu[/tex]") es AVA de ![[tex]p(A)[/tex]](images/latex/0fe71735fa999a8a52b3cbc564a77609b3fe36db_0.png "[tex]p(A)[/tex]") entoces ![[tex]\exists \lambda[/tex]](images/latex/c36f1cf0cba4560c3d6faa9e8faea8bd68ff0c7f_0.png "[tex]\exists \lambda[/tex]") AVA de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") tal que ![[tex]p(\lambda) = \mu[/tex]](images/latex/ab9906fba37ec87a74438d3954b98c18230f1247_0.png "[tex]p(\lambda) = \mu[/tex]") . Pero en este ejemplo ![[tex]B = p(A) = A^{2}[/tex]](images/latex/3f687a0a77e66ac795674145f9356ce340a12948_0.png "[tex]B = p(A) = A^{2}[/tex]") ; entonces, si los AVA de ![[tex]B = p(A)[/tex]](images/latex/0ef780850bfe0b97168e53872256dbb9fb870026_0.png "[tex]B = p(A)[/tex]") son (no los calcule) ![[tex]\mu_{1} = \mu_{2} = 1[/tex]](images/latex/663a43b674034582299c0bfcd67faed2f9206767_0.png "[tex]\mu_{1} = \mu_{2} = 1[/tex]") y ![[tex]\mu_{3} = 4[/tex]](images/latex/7330cfc71d977c8bff4388018dfcc89ad53c2437_0.png "[tex]\mu_{3} = 4[/tex]") , tenés que
![[tex]p(\lambda_{1}) = \lambda_{1}^{2} = 1 \Longleftrightarrow |\lambda_{1}| = 1[/tex]](images/latex/b8e0551b02f5cc91a6ee6dc7ebab37411e4e745f_0.png "[tex]p(\lambda_{1}) = \lambda_{1}^{2} = 1 \Longleftrightarrow |\lambda_{1}| = 1[/tex]") . De donde ![[tex]\lambda_{1} = -1 \quad \lambda_{2} = 1[/tex]](images/latex/0197dd62443b80331ed907e9cbb332d4021877da_0.png "[tex]\lambda_{1} = -1 \quad \lambda_{2} = 1[/tex]") , porque la multiplicidad algebraica de es 2.
Por otro lado ![[tex]p(\lambda_{3}) = \lambda_{3}^{2} = 4 \Longleftrightarrow |\lambda_{3}| = 2[/tex]](images/latex/837963323363f939e52834666f4bab9b4bd748ea_0.png "[tex]p(\lambda_{3}) = \lambda_{3}^{2} = 4 \Longleftrightarrow |\lambda_{3}| = 2[/tex]") . O sea que vas a tener 2 posibles matrices .
No lo dije, pero es claro que los autovectores de las 2 matrices son los mismos. Me parece que esta es tu duda; la demostración es:
Suponete un polinomio matricial cualquiera de coeficientes [tex]k_{i} \in \bold K[/tex] y [tex]A \in \bold K^{n \times n}[/tex] una matriz diagonalizable, o sea: ![[tex]p(A) = \sum_{j = 0}^{n} k_{j} \cdot A^{j}[/tex]](images/latex/7cd229b7571c3de81d4059daddb20fab3a8a4b36_0.png "[tex]p(A) = \sum_{j = 0}^{n} k_{j} \cdot A^{j}[/tex]")
Si multiplicamos en ambos miembros a la derecha por ![[tex]v_{i}[/tex]](images/latex/fb443008303900f416bf72d9c388c087acaa2696_0.png "[tex]v_{i}[/tex]") , el i-ésimo AVE de , queda que ![[tex]p(A) \cdot v_{i} = \sum_{j = 0}^{n} k_{j} \cdot A^{j} \cdot v_{i} = \sum_{j = 0}^{n} k_{j} \cdot \lambda_{i}^{j} \cdot v_{i} = p(\lambda_{i}) \cdot v_{i}[/tex]](images/latex/cb8d17e320327a8dcc6292f6b609d4ed16ef61a3_0.png "[tex]p(A) \cdot v_{i} = \sum_{j = 0}^{n} k_{j} \cdot A^{j} \cdot v_{i} = \sum_{j = 0}^{n} k_{j} \cdot \lambda_{i}^{j} \cdot v_{i} = p(\lambda_{i}) \cdot v_{i}[/tex]") .
Entonces ![[tex]p(\lambda_{i})[/tex]](images/latex/711924226512ac518a2cf5cdba6ebef3ed69e5e6_0.png "[tex]p(\lambda_{i})[/tex]") es AVA de asociado al mismo autovector.
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Última edición por Jackson666 el Vie Ene 07, 2011 1:19 pm, editado 2 veces
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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
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Carrera: Industrial
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| Muchísimas gracias, quedó clarísimo!
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