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Ejercicio 25 - Dinámica (tomado en coloquio)

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koreano
Nivel 9

Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

Carrera: No especificada

Publicado: Mar Dic 28, 2010 3:51 pm Asunto: Ejercicio 25 - Dinámica (tomado en coloquio)


Este ejercicio se tomó en uno de los coloquios de las fechas de Julio 2010. Dejo mi resolución para que la verifiquen los que quieran y les sirva a los demás. Enunciado Un hombre de masa $[tex]m_H[/tex]$ está parado sobre un bloque de masa $[tex]m_B = 3 m_H[/tex]$ . Entre ellos el coeficiente de rozamiento es $[tex]\mu[/tex]$ . El bloque está sobre un piso horizontal sin rozamiento. El hombre está tomado de una soga ideal y las poleas también son ideales. Problema (a) Realice el diagrama de cuerpo libre para el hombre, el bloque y las poleas, para un observador inercial e indicar fuerzas exteriores e interiores para el sistema formado sólo por el hombre y el bloque. (b) Calcule, justificando cada paso, la aceleración máxima para que el hombre no deslice sobre el bloque. (c) Analice, si mientras el hombre tira de la soga, varía la energía mecánica del sistema hombre-bloque. Resolución (a) Para el sistema hombre-bloque (H-B), las fuerzas son: $[tex]N_{BH},T_{1H},F_{RH},m_H g,N_{TB},F_{RB},T_{2B},m_B g,N_{HB} [/tex]$ Las fuerzas internas al sistema son aquellas que se presentan junto con su par de interacción acorde a la 3er ley de Newton. El resto son externas. Entonces tenemos: Internas: $[tex]N_{BH} \& N_{HB},F_{RH} \& F_{RB}[/tex]$ Externas: $[tex]T_{1H},m_H g,N_{TB},T_{2B},m_B g [/tex]$ (b) Usando la "ecuación de la soga", sacás la relación entre las aceleraciónes del hombre y el bloque. Planteamos: Sabemos que no hay variaciones en el eje y y que la soga es inextensible, por lo que su longitud se mantiene constante en el tiempo. Entonces la longitud de la soga está dada (con el sistema de referencia elegido en la pared como muestra la imagen) por: $[tex]x_{P2} + (x_{P2} - x_{P1}) + (x_H - x_{P1}) = L[/tex]$ Tenemos las posiciones pero queremos encontrar las aceleraciones. Para esto derivamos 2 veces con respecto al tiempo, por lo que queda. $[tex]a_{P2} + a_{P2} - 0 + a_H - 0 = 0[/tex]$ $[tex]2 a_{P2} = - a_H[/tex]$ Si llamamos $[tex]a_B = a_{sist} = a[/tex]$ tenemos que: $[tex]a_B = a[/tex]$ $[tex]a_H = -2a[/tex]$ El próximo paso simple es establecer las relaciones entre los pares de interacción. Tercera ley de Newton, los módulos son iguales para los pares de ineracción. Entonces: $[tex]F_{RH} = F_{RB}[/tex]$ $[tex]N_{BH} = N_{HB}[/tex]$ $[tex]T_{21} = T_{12}[/tex]$ $[tex]T_{H1} = T_{1H}[/tex]$ $[tex]T_{B2} = T_{2B}[/tex]$ Ahora bien, vamos a analizar primero las ecuaciones dinámicas (2da ley) de las poleas. Pero antes, recordemos lo siguiente. Para esta polea tenemos: $[tex]\sum M_o F = I_o \vec{\gamma}[/tex]$ Como la polea es ideal, su momento de inercia es nulo: $[tex]\vec{r_1} \times \vec{T_1} + \vec{r_2} \times \vec{T_2} = 0 \gamma \hat{k}[/tex]$ $[tex]\vec{r_1} \times \vec{T_1} + \vec{r_2} \times \vec{T_2} = 0 \hat{k}[/tex]$ Tomando datos genéricos $[tex]r[/tex]$ radio de la polea y con cero de coordenadas al centro de la polea tenemos como datos: $[tex]\vec{r_1} = [ r \quad 0 \quad 0 ] = r \hat{i}[/tex]$ $[tex]\vec{r_2} = [ -r \quad 0 \quad 0 ] = - r \hat{i}[/tex]$ $[tex]\vec{T_1} = [ 0 \quad -T_1 \quad 0 ] = - T_1 \hat{j}[/tex]$ $[tex]\vec{T_2} = [ 0 \quad -T_2 \quad 0 ] = - T_2 \hat{j}[/tex]$ Reemplazando en la ecuacion de momentos y realizando los productos vectoriales queda: $[tex]-r T_1 \hat{k} + r T_2 \hat{k} = 0 \hat{k}[/tex]$ $[tex]r T_2 \hat{k} = r T_1 \hat{k}[/tex]$ $[tex]T_2 = T_1[/tex]$ Todo esto para deducir que en una polea ideal los módulos de las tensiones en los lados opuestos de la soga son iguales. Entonces volviendo a las ecuaciones dinámicas de las poleas: De la polea 1 se deduce que $[tex]T_{21} = T_{H1}[/tex]$ . De la polea 2 se deduce que $[tex]T_{B2} = 2 T_{12}[/tex]$ . Notar la falta de notación vectorial; estamos trabajando con magnitudes. De las poleas y las igualdades por pares de interacción planteadas anteriormente tenemos la relación: $[tex]T_{2B} = 2 T_{1H}[/tex]$ . Esta relación nos va a ser útil en un rato cuando terminemos de analizar los sistemas hombre y bloque. Para el hombre tenemos: $[tex]\sum F_y = 0[/tex]$ $[tex]N_{BA} = m_H g[/tex]$ Notar que se trabaja con las componentes en $[tex]y[/tex]$ de los vectores fuerza / gravedad. Por lo tanto son todos escalares, las proyecciones sobre los ejes. Mismo para los demás planteos. $[tex]\sum F_x = m_h (-2a)[/tex]$ $[tex]F_{RH} - T_{1H} = m_H (-2a)[/tex]$ Por definición, $[tex] F_{roz} = N \mu[/tex]$ . Entonces: $[tex]m_H g \mu - T_{1H} = m_H (-2a)[/tex]$ Para el bloque: $[tex]\sum F_y = 0[/tex]$ $[tex]N_{TB} = m_B g + m_H g[/tex]$ De la relación por dato sale que: $[tex]N_{TB} = 3 m_H g + m_H g[/tex]$ $[tex]N_{TB} = 4 m_H g[/tex]$ Luego en el otro eje: $[tex]\sum F_x = m_B a[/tex]$ $[tex]- F_{RB} - T_{2B} = m_B a[/tex]$ $[tex]-4 m_H g \mu - T_{2B} = 3 m_H a[/tex]$ Llegamos al siguiente sistema de ecuaciones de 3x3: $[tex]\begin{cases}T_{2B} = 2 T_{1H} \\ m_H g \mu - T_{1H} = m_H (-2a) \\ -4 m_H g \mu - T_{2B} = 3 m_H a \end{cases}[/tex]$ Reemplazando la primera en la última queda: $[tex]-4 m_H g \mu - 2 T_{1H} = 3 m_H a [/tex]$ $[tex]T_{1H} = \frac{ 3 m_H a + 4 m_H g \mu }{-2}[/tex]$ Reemplazando esto en la segunda: $[tex]m_H g \mu + \frac{ 3 m_H a + 4 m_H g \mu }{2} = m_H (-2a)[/tex]$ $[tex]m_H g \mu + \frac{3}{2} m_H a + 2 m_H g \mu = -2 m_H a[/tex]$ $[tex]3 m_H g \mu = - \frac{7}{2} m_H a[/tex]$ $[tex]3 g \mu = - \frac{7}{2} a[/tex]$ $[tex]a = - \frac{6}{7} g \mu[/tex]$ (c) Si bien hay rozamiento, una fuerza no conservativa, el rozamiento estático no afecta la energía mecánica, ya que $[tex]W = \int \vec{F} dl[/tex]$ y si $[tex]dl = 0[/tex]$ entonces $[tex]W = 0[/tex]$ , por lo que $[tex]\Delta E_m = 0[/tex]$ . \MOD (CrisJ): Edito título

Elmo Lesto
Nivel 8

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Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
CARRERA.mecanica.3.jpg

Publicado: Mie Dic 29, 2010 11:49 am Asunto: (Sin Asunto)


Hola Koreano En general, está bien, pero te marco algunas cosas. (1) Si te dicen que la polea es ideal, esto indica también que su masa es despreciable, entonces, en el DCL, no pongas su peso como una fuerza a considerar, si no tendrías que considerar una aceleración en el eje y (según tu sistema de referencia). Otra cosa que podés hacer es, para simplificar las cosas y no escribir tanto sobre los torques de las poleas, plantear luego del diagrama de cuerpo libre las ecuaciones de Newton sobre las poleas, te quedarían las tensiones igualadas a la masa por la aceleración, y como la masa es considerada despreciable por ser polea ideal, podés igualarlo a cero. Igual creo que está bien lo que hiciste, sólo que yo nunca lo hice así, pero si te sirve, adelante. (2) OJO con los pares de interacción; las relaciones entre los módulos es correcta, peeeero, por ejemplo, Th1 NO ES par de interacción de T1h. Tenés que considerar las soga: El par de interacción de la tensión que sufre el hombre se encuentra en la soga, el de las poleas también. Te conviene para eso hacer el DCL de las sogas, y utilizar que su masa es despreciable para poder igualar los módulos de las diferentes tensiones, y recién ahí podés decir que como los pares de interacción de las tensiones aplicadas a las sogas tienen respectivamente los mismos módulos, el módulo de la tensión sobre el hombre es igual al de la polea. Explicado así sin ningún dibujito es medio quilombo, cualquier cosa avisame, porque suelen joder MUCHO con estas cosas. (3) No podés usar sólo por definición que la fuerza de rozamiento sea igual al producto del coeficiente de rozamiento por la normal. Es FUNDAMENTAL que aclares que vos querés averiguar la aceleración máxima del caso estático, la aceleración límite, por lo que en ese caso la fuerza de rozamiento estático también es la máxima posible, y sólo en este caso en que el cuerpo está en el límite antes de deslizarse la fuerza de rozamiento es μN. En otro caso, el módulo de la fuerza de rozamiento estático toma valores menores. Es muy importante que expreses esto. Si no ahí sí te la ponen. Claro, en el caso dinámico (en el que hay desplazamiento relativo entre las dos superficies en contacto), vale siempre que el módulo de la fuerza de rozamiento es el producto de la normal por el coeficiente de rozamiento dinámico. (4) En el último punto, vale que aclare que lo de adentro de la integral es un producto escalar, siendo el diferencial de línea un vector también. También hay algunos profesores algo quisquillosos con estas cosas. Por ahora no encontré nada más, cualquier cosa que no se entienda avisame, cualquier cosa que no haya visto te digo, y cualquier error que tenga se agradece que me lo corrijan a mí también. Saludos! PD: le pido a un moderador que cambie el título, el ejercicio vendría a ser de dinámica (admito que la primera vez que entré pensé que era de Química, jaja)

_________________
$[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]$

koreano
Nivel 9

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Carrera: No especificada

Publicado: Mie Dic 29, 2010 12:10 pm Asunto: (Sin Asunto)


Gracias Lenny!

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