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karajero
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 15 Nov 2009
Mensajes: 890
Carrera: Sistemas
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Como les fue? Colgué con anotarme las respuestas, tiro aisladamente lo que me acuerdo:
1-El de la derivada direccional de G creo que tenia que el gradiente era (3,-3), el versor (2,1)/raiz de 5 y todo multiplicado da 3/raiz de 5 si no estoy haciendo mal las cuentas.
2-El del hessiano, para anular el gradiente tenia que ser A=-1 y cualquier B. Pero para que el determinante me de positivo B tenia que ser negativo y mayor que 2 o 3, no me acuerdo. g''xx era negativo.
3-La recta me dio que sí estaba en el plano.
4-No lo hice
5-Me cabió la definición de curva regular así que saqué algunas conclusiones de los resultados y chamuyé un poco (al horno). Por lo pronto me acuerdo que armé 2 funciones F(x,y,z) y G(x,y,z), la primera era suma de cosos fundamentales, a la otra le apliqué el teorema de la función implicita y me quedó un numero que no me acuerdo para la derivada parcial respecto a X, 0 para la de Y, y -1 para Z.
Producto vectorial de gradientes y saqué la tangente a la curva interseccion. Después el plano normal salía solo.
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NaruMayase
Nivel 2
Registrado: 23 Nov 2010
Mensajes: 7
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bueh.. me fue bastante mal porq me faltaron unos detalles XDDDD.
1- habia una g(x,y)= F(x-y,y-x) y un plano tangente en (0,0,F(0,0)) que tenia ecuacion 2x-y+3z=3 y te pedian q calcules la derivada direccional de g en el punto (1,1) en la direccion del vector (2,1).
el gradiente de g me dio igual q el chico anterior  (3,-3) pero me olvide de normalizar el vector u.u asi q.. ahi me lo van a poner mal T_T
2-te daban el gradiente de f en el punto (1,-2) y era igual a (2,0), te daban el hessiano de f q era
1 0
0 4
te pedian un valor de a y un valor de b talque g(x,y)= f(x.y) +ax^2 +b (y+2)^2 tenga extermo en el (1,-2).
me dio a=-1 y b<-2. con g''xx<0>=x, -2 si y<x> < esten mal porq no me acuerdo eso)). y te pedian.
a)graficar conjunto de positividad de f y describirlo en coordenadas polares.
b)determinar todos los puntos de f talque en la recta y=x la funcion es continua.. o algo asi
a) hice bien el conjunto de positividad pero grafique la circunferencia entera... y era la mitad u_u.. y lo describi como (raiz de 5 cos tita, raiz de 5 sen tita) pero no puse la restriccion de tita porq mi circunferencia era completa XD haha.
b) lo hice mal.. habia q sacar el limite de las dos partes de la funcion.. uno daba 5-2x^2 y el otro daba -2 entonces se igualaba y se sacaba el valor de x -_-.
5- te daban un sistema de ecuaciones que era: 3x-y+z=2, yz+e^xz-1=0:
a) te pedia demostrar que definen una curva REGULAR XD en un entorno del punto (1,1,0).
b)te pedian el plano normal a la curva.
a) hice bien toda la "demostracion" de implicitas.. pero no hice lo de determinar q es una curva regular.. por si alguien no se acuerda eso se saca sacandole la NORMA a el vector de la derivada de la curva en el punto XD y etnia q dar diferente de cero para q sea normal.. no lo hice porq por motivos extraños pensaba q la curva tenia dos variables -.-
b)este se hacia multiplicando vectorialmente los gradientes de las dos ecuaciones lo cual te daba el vector tangente a la curva q era la normal del plano normal -_- okey escribiendo esto me di ceunta q lo hice al revez HAHA XD..
en sintesis.. me fue para el ORTO...
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Dejo el recuperatorio de hoy, era tema 1 me parece
| Parcial 9/12/2010 escribió:
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1. Sean [tex]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{}\mathbb{R}[/tex] una funcion [tex]C^1(\mathbb{R}^2)[/tex] y ![[tex]g(x,y)=f(x-y, y-x)[/tex]](images/latex/004ccff58bdccace127bbbe05d817f99076dd3da_0.png "[tex]g(x,y)=f(x-y, y-x)[/tex]") .
Si la ecuacion del plano tangente al grafico de f en )[/tex]](images/latex/9363f5d347304e97777691782f7a9d9f74ea0738_0.png "[tex](0,0,f(0,0))[/tex]") es ![[tex]2x-y+3z=3[/tex]](images/latex/2a655f813997740edbb19d0f407646f1d24dbbff_0.png "[tex]2x-y+3z=3[/tex]") , calcular la derivada direccional de g en el punto (1,1) en la direccion del vector ![[tex]\vec{v}=(2,1)[/tex]](images/latex/de8bef93b22ac0d937b0b98ed9744a241e467ba6_0.png "[tex]\vec{v}=(2,1)[/tex]")
2. Sea [tex]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{}\mathbb{R}[/tex] una funcion [tex]C^3(\mathbb{R}^2)[/tex] que satisface ![[tex]\nabla f(1,-2)=(2,0)[/tex]](images/latex/7b0573114c7cda0ee42dbbd51ec5efcababbeb9a_0.png "[tex]\nabla f(1,-2)=(2,0)[/tex]") y cuya matriz Hessiana en (1,-2) es:
![[tex]\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{4}\end{bmatrix}[/tex]](images/latex/cd3f70a1e3a3b0b0199289c24b954ad9b5d9b537_0.png "[tex]\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{4}\end{bmatrix}[/tex]")
Determinar un valor de a y uno de b de manera que la funcion ![[tex]g(x,y)=f(x,y)+ax^2+b(y+2)^2[/tex]](images/latex/3c9e1a36e3fb053a12f3084b300675279be84dcf_0.png "[tex]g(x,y)=f(x,y)+ax^2+b(y+2)^2[/tex]") tenga un extremo en (1,-2) y clasificarlo.
3. Sea L la recta tangente en (1,1,2) a la curva ![[tex]C[/tex]](images/latex/f080822e4599409bd2523af830d42a915043dcd8_0.png "[tex]C[/tex]") definida por la interseccion de las superficies ![[tex]S_1[/tex]](images/latex/04019efb0a69e3bf00b2b26c8385ef6484e24d4a_0.png "[tex]S_1[/tex]") de ecuacion ![[tex]x+y+z=4[/tex]](images/latex/af389b7bef120b7b2b93b7bad79c5a28a0b6f9f4_0.png "[tex]x+y+z=4[/tex]") y ![[tex]S_2[/tex]](images/latex/41e4c302049ba9bdb9fb98c136cf9f4220015b01_0.png "[tex]S_2[/tex]") parametrizada por ![[tex]\bar{X}(u,v)=(u^2,u,v), (u,v)\in{}[0,4]x[0,4][/tex]](images/latex/707604f70c2b59d8c24e6977d9afcca1c8ee3987_0.png "[tex]\bar{X}(u,v)=(u^2,u,v), (u,v)\in{}[0,4]x[0,4][/tex]")
a) Analizar si L esta contenida en el plano de ecuacion ![[tex]3y+z=5[/tex]](images/latex/d9952e858b77e0a2b32607294d4a97be389b50d8_0.png "[tex]3y+z=5[/tex]") .
b) Graficar ![[tex]S_1,S_2[/tex]](images/latex/9eab907cdfa129f7454f9ff5a871fce3f44b087a_0.png "[tex]S_1,S_2[/tex]") y en el mismo grafico
4. Sea![[tex] f(x,y)=\begin{Bmatrix} 5-x^2-y^2 & \mbox{ si }& y\geq x\\-2 & \mbox{si}& y<x\end{Bmatrix}[/tex]](images/latex/47e9a82513567beb1b37302c486bdaad17f4c924_0.png "[tex] f(x,y)=\begin{Bmatrix} 5-x^2-y^2 & \mbox{ si }& y\geq x\\-2 & \mbox{si}& y<x\end{Bmatrix}[/tex]")
a) Graficar el conjunto de positividad de f y describirlo en coordenadas polares.
b) Determinar los puntos de la recta ![[tex]y=x[/tex]](images/latex/9ade6d8f702c509f43e524f6d4e30c085f6a1695_0.png "[tex]y=x[/tex]") donde f es continua.
5. Dado el sistema de ecuaciones:
![[tex]\begin{Bmatrix} 3x-y+z=2 \\yz+e^{xz}-1=0\end{Bmatrix}[/tex]](images/latex/de71f64ba8fb4a69fabf69aadc6eaeaa420b3cf8_0.png "[tex]\begin{Bmatrix} 3x-y+z=2 \\yz+e^{xz}-1=0\end{Bmatrix}[/tex]")
a) Probar que el sistema define una curva regular en un entorno de [/tex]](images/latex/838651acbc39d7ea69152c35431f919bde73545d_0.png "[tex](1,1,0)[/tex]")
b) Hallar el plano normal a en dicho punto
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1) pifie cuando saque el gradiente de f porque despues didivi la normal por -3 para que me quede un -1 en z, y la direccional me dio ![[tex]\frac{-1}{\sqrt{5}}[/tex]](images/latex/14810b2d7139370ab4cae7b69246b8ef7dd7352a_0.png "[tex]\frac{-1}{\sqrt{5}}[/tex]")
2) a me daba ![[tex]a= -1[/tex]](images/latex/df7efd64653d8a700cdaf3b6fe2276f9dc8fa93f_0.png "[tex]a= -1[/tex]") , y ![[tex]b<-2[/tex]](images/latex/2199260c7982a4e29338069be1f5e972d896393b_0.png "[tex]b<-2[/tex]") elegi un punto cualquiera y puse [/tex]](images/latex/9a5520284efd18fd8894151f7bb99b1faa91ae7f_0.png "[tex](-1,-4)[/tex]") , y para cualquier punto que cumplia las condiciones de extremo, habia un maximo relativo (porque la ![[tex]f''_{xx}<0[/tex]](images/latex/de3d6d777852aca5ce396e45377bb53bea9755af_0.png "[tex]f''_{xx}<0[/tex]") )
3) a) Arme la ecuacion de la recta tangente, y la unica forma que este contenida en el plano, era que ![[tex]\lambda=0[/tex]](images/latex/7f293e28a908bc8a32834a971f843e0fa98633bd_0.png "[tex]\lambda=0[/tex]") , pero si no era una recta, si no, un punto, asique puse que no estaba incluida (me parece que hice cualquiera...)
b) La primera superficie era un plano, pero la segunda ya entre en duda, y grafique un cilindro parabolico, quedo algo asi
4a) No lo hice
b) me daban 2 puntos ![[tex]P_1=(\sqrt{\frac{7}{2}},\sqrt{\frac{7}{2}})[/tex]](images/latex/d2680bb4af63fa91f91b2e13fc1278323cd41c01_0.png "[tex]P_1=(\sqrt{\frac{7}{2}},\sqrt{\frac{7}{2}})[/tex]") y ![[tex]P_2=(-\sqrt{\frac{7}{2}},-\sqrt{\frac{7}{2}})[/tex]](images/latex/4cce579df5edf4549d211415f6934bf61216718f_0.png "[tex]P_2=(-\sqrt{\frac{7}{2}},-\sqrt{\frac{7}{2}})[/tex]")
5)a) Me mande cualquier cosa como de costumbre y quise demostrar que era diferenciable y que admitia un plano tangente, ni siquiera utilize el teorema de la funcion implicita, entre a derivar directamente para sacar los gradientes, producto vectorial, sarasasasa y a comerla
b) Arrastrando el mamarracho de lo anterior me quedo el plano normal ![[tex]-2x-6y=-8[/tex]](images/latex/985328631f72d259fa3e95cbea2a10d1e518536b_0.png "[tex]-2x-6y=-8[/tex]")
Bueno supongo que tendre que cursarla por 3era vez 
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
Última edición por Fabricio el Jue Dic 09, 2010 9:32 pm, editado 2 veces
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Cachengue
Nivel 4
Registrado: 31 Ago 2009
Mensajes: 112
Carrera: Industrial
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Mi esperanza es tener bien el 1, 2 y 4.
En el 3 tambien me dio que solo incluia en variable=0, y conteste que solo estaba incluido el punto de paso, pero pude haberla pifiado en algo. Mi grafico es inentendible, claramente.
Y el 5 lo hice 3 veces y me dio 3 cosas distintas, deje una cualquiera que no recuerdo
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karajero
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 15 Nov 2009
Mensajes: 890
Carrera: Sistemas
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| El gráfico me quedó igual al de Fabricio.
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matias09
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2009
Mensajes: 43
Carrera: Industrial
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| en el 1 hice lo mismo q vos fabricio, y el grafico tmb me quedo igual
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violethill
Nivel 5
Edad: 36
Registrado: 27 Ago 2009
Mensajes: 152
Carrera: Informática
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ok. Escribo todo lo que hice yo:
1)
g(x,y)=f(u,v). del plano tg a (0,0,f(0,0)) saco que
(z-f(0,0)) = f'x (x-0) + f'y (y-0)
entonces
f(0,0)= 1
f'x=-2/3
f'y=1/3
g es diferenciable porque f pertenece a C1 y u y v son funciones diferenciables por ser polinomios, entonces
g'(A,r) = gradiente g . r
el gradiente salia derivando f de v por f de x etc etc...
2)tambien tenia funcion compuesta, me dio a=-1 y b<2> G(x,y,z)=x-y.y
parametrice C con la otra superficie, me quedo despejando y:
c(t)= (y.y,y,4-y-y.y)
su tangente me dio L(k)=(2k+1,k+1,-3k+2)
que reemplazando en la formula del plano dado terminaba dando una igualdad.
la curva me dio como la del dibujo que hicieron mas arriba.
4) el conjunto de positividad CREO que era el semicirculo apoyado sobre el eje x+y, incluyendo los bordes..., lo grafique y pinte.
en polares era r=raiz(5) y pi/4 =< tita <= 5 pi/4
tengo los mismos puntos de continuidad que dijeron antes, mi justificacion fue que para que una funcion sea continua:
a) existe f(xo)
b) existe lim <x> xo> f(x)
c) que las dos anteriores son iguales.
dije que el limite era -2 acercandose por la parte de abajo del grafico (lo explique mejor)
y entonces me bastaba verificar que existia el punto donde valia -2.
5) aca mande sanata:
hay una formula de couchy dini para sistemas de ecuaciones que garantiza lo que se pedia en el ejercicio, habia que usarla. El tema es que no me la acuerdo ni ahi, e invente un poco... creo que era algo asi:
1) el punto pertenece a las ecuaciones dadas
2) el jacobiano de d(f,g)/d(variable1,variable2) es distinto de cero
>>> entonces esas dos funciones pueden escribirse en funcion de la 3ra variable, la necesaria para parametrizar la curva.
la tangente a la curva la saque derivando respecto a x, aca invente mas aun... pero llegue a un valor y lo escribi como la normal del plano normal a C.... me dio:
x+3y=4
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And as i turned to you, you smiled at me, how could we say no?
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Me quedo la re duda ahora con el primero , lo que yo habia hecho primero era definir una F(x,y,z)=0 que iba de ![[tex]R^3\longrightarrow R[/tex]](images/latex/ae648304e403d3631201bee2aae40bbf98532542_0.png "[tex]R^3\longrightarrow R[/tex]") tal que el gradiente era normal a la superficie de nivel ( osea vive en el dominio que era ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") ), pero estuve como 20 min pernsando si la normal la dividia toda por -3 para que me quede un -1 en z, o simplemente dejar los coeficientes de x e y como las componentes del gradiente de f, porque veo que se hicieron de las 2 formas
En el de la recta tangente me quedaba que la igualdad dependia de lamda, por lo tanto no estaba incluida (eso que puse de que para lamnda=0 era un punto fue cualquiera  )
Y en el grafico, en el parcial, la curva que hice en verde, la hice un poco mas derecha (casi como una recta), espero que la tomen como bien 
| violethill escribió:
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tengo los mismos puntos de continuidad que dijeron antes
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a cuales te referis?? a los mios?? decime que si, asi me levantas un poco el animo jajaja
pd.: lo que me habra puteado Baster que lo tenia al lado dando el final, cada vez que yo intentaba borrar la hoja movia toda la mesa, y la puerta molesta que se abria y cerraba con todo cada 2 x 3
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violethill
Nivel 5
Edad: 36
Registrado: 27 Ago 2009
Mensajes: 152
Carrera: Informática
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| sisi, los mismos valores que vos...
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And as i turned to you, you smiled at me, how could we say no?
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torino05
Nivel 2
Edad: 33
Registrado: 14 Oct 2009
Mensajes: 6
Carrera: Informática
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En el primer ejercicio hice una TREMENDA estupidez que no puedo comprender. Habiendo hecho todo, quedaba hacer grad g.v, un producto escalar. Y en vez de hacer (a,b).(c,d)=a.c+b.d hice (a.c;b.d). ¿??¿? No me entiendo la verdad.. Siempre tengo que tener algun raye en los parciales... ¿Cómo será que uno puede hacer 5 productos escalares bien (o los que fueran del resto del parcial) y uno mal?
Tengo un problema. Un serio problema.
En fin, si lo hubiese hecho bien, me daba 3/raiz de 5. (Tal vez está todo mal y no tenía sentido hacerme mala sangre por el resultado )
Después en el 3ero, de tarado también, hice como si fuera y=x^2 en vez de x=y^2, o sea mandé el cilindro parabólico al revés.
Después el resto mas o menos como ustedes lo tengo.
L quedaba todo incluido en el plano.
Del ejercicio 2, a=-1 y b<-2, y puse b=-3 para elegir uno.
Los puntos de continuidad igual a los que pusieron ahi arriba, el conj de positividad, con r<raiz de 5, y tita pi/4 5pi/4 (incluyendo bordes).
Para el 5to puse que F vectorial (A)=0, F vectorial es C1 en entorno de A, GradF1xGradF2 evaluados en A : r0 (vector director de tangente de C en A) distinto de 0.
Me parece que con esto último no hace falta otra cosa para que sea regular. No lo especifiqué, pero ya estoy diciendo que la derivada de C en A existe y es distinta de 0.
Ya tenía el vector tangente a C en A (GradF1xGradF2), así que el plano normal era hacer (X-A).r0=0
Un saludo!
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