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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Lupin escribió:
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2) Daban un versor u1 y un versor u2 normalizados de R4 (los versores eran (1/raiz de 2).(1 0 -1 0) y (1/2).(1 -1 1 -1) )
Había que hallar las x de R4 tal que la norma de x al cuadrado ( ||x||2 ) era igual a la suma de (x,u1)2 + (x,u2)2 (serían los prod internos de x con los versores al cuadrado).Ah! Se considera el producto interno canónico. (un quilombo este jaja)
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Si me explicas exactamente que dice acá te lo respondo.
Te dicen ||(x,u1)^2|| o (x,u1)^2.???
No me queda claro lo que decis
Saludoss
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Yankey escribió:
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| Lupin escribió:
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2) Daban un versor u1 y un versor u2 normalizados de R4 (los versores eran (1/raiz de 2).(1 0 -1 0) y (1/2).(1 -1 1 -1) )
Había que hallar las x de R4 tal que la norma de x al cuadrado ( ||x||2 ) era igual a la suma de (x,u1)2 + (x,u2)2 (serían los prod internos de x con los versores al cuadrado).Ah! Se considera el producto interno canónico. (un quilombo este jaja)
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Si me explicas exactamente que dice acá te lo respondo.
Te dicen ||(x,u1)^2|| o (x,u1)^2.???
No me queda claro lo que decis
Saludoss
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agregale un quizás entre acá y te pues depende la respuesta 
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| Yankey escribió:
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Si me explicas exactamente que dice acá te lo respondo.
Te dicen ||(x,u1)^2|| o (x,u1)^2.???
No me queda claro lo que decis
Saludoss
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[tex]||x||^2 \leqslant (x,\hat{u}_1)^2+(x,\hat{u}_2)^2[/tex]
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leandrob_90
Revivamos el Chat-FIUBA
¿Qué te pasó foro? Antes eras chévere.
Por un ping-pong libre, popular y soberano.
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Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
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| Pah no me hagas caso cualquier cosa dije ajajajajajaj ya entendi
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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| Matts escribió:
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En el 1 no entiendo algo.
La transformacion (G o F) te quedaba de R2x2-----> R2x2.
Por lo tanto, (G o F)(x) = A.x
Para que el "x" ingresado sea de 2x2 y para que el resultado sea de 2x2, A no tenia que ser de 2x2?
Yo puse una matriz A de 2x2, que era la imagen. Creo que me mande cualquiera... pero no me cierra nada que la matriz sea de 4x4.
Sldos...
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Qué matriz es de 4x4? La de la transformación? Eso es porque por definición la matriz de una TL tiene como columnas a los elementos de una base del espacio de salida puestos en las coordenadas de la base de llegada. Como la transformación es de 2x2 en 2x2, para definir la TL necesitas 4 columnas (la dim de R2x2 es 4, cualquier base tiene que tener cardinal 4) y como la matriz llega a 2x2, necesitas 4 filas (idem).
No es lo mismo la matriz de la transformación (la asociada), que que una matriz esté definida como f(x) = Ax, es decir como un producto del x con una matriz.
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Ignatius
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 20 Ago 2009
Mensajes: 107
Ubicación: Octopus's Garden
Carrera: Electrónica
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| koreano escribió:
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Muestro un poco lo que se me ocurre (Tema 2)
1)
![[tex]h = g \circ f = g(f(X)) = v(Tr(X)v)^T = vv^TTr(X)^T = I Tr(X)[/tex]](images/latex/93bc50d03e65ad42be99890a110f923d032df62f_0.png "[tex]h = g \circ f = g(f(X)) = v(Tr(X)v)^T = vv^TTr(X)^T = I Tr(X)[/tex]")
Como la traza es la suma de los elementos de la diagonal,
![[tex]Nu(h) = gen \{ \left[ \begin{array}{cc}0 & 1 \\0 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}0 & 0 \\1 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array} \right]\}[/tex]](images/latex/b52f14976dc5e6f2b921325350250c8e573b599f_0.png "[tex]Nu(h) = gen \{ \left[ \begin{array}{cc}0 & 1 \\0 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}0 & 0 \\1 & 0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \end{array} \right]\}[/tex]")
![[tex]Im(h) = gen \{ \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array} \right]\}[/tex]](images/latex/4ddff11001c082e1a99dbc78be482701aaae00a8_0.png "[tex]Im(h) = gen \{ \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array} \right]\}[/tex]")
y suman 4 de acuerdo al teorema de la dim. La matriz queda algo así creo:
![[tex]\left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/effb2a06ed132776b0030558c602539f86c8b9aa_0.png "[tex]\left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right][/tex]")
2) Hummm... what
3) Primero: ![[tex]S = gen \{ \left[ 1 \quad 1\right]^T \}[/tex]](images/latex/868caf6f90bc86f4e3b71d426a2d35b385ba0129_0.png "[tex]S = gen \{ \left[ 1 \quad 1\right]^T \}[/tex]")
Pero acá surge una duda: con el PI dado este vector tiene norma 1, por lo tanto forma una ![[tex]BON[/tex]](images/latex/3f15f072ecd4ce37a1ac8bde44193f85a475193c_0.png "[tex]BON[/tex]") de ![[tex]S[/tex]](images/latex/3d152214fba74c1f8a12f3d44452016018239bbf_0.png "[tex]S[/tex]") , por lo que para armar la matriz de proyeccion solo tendriamos que multiplicar:
![[tex][1 \quad 1]^T [1 \quad 1] = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/500d5442f4f19b8ea69b93774051a5f6fb7cdd39_0.png "[tex][1 \quad 1]^T [1 \quad 1] = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 1 \end{array} \right][/tex]")
Y ya está la matriz, que si bien es hermítica, no cumple que ![[tex]P^2 = P[/tex]](images/latex/7b75e848a47f4e9d46246f9f9f8201dbaeb28d27_0.png "[tex]P^2 = P[/tex]") .
La otra manera de sacarla es poniendo las proyecciones de los vectores de la base canónica sobre S como columnas. Resulta:
![[tex]\left[ \begin{array}{cc}0 & 1 \\0 & 1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/db0f63f82f0b64fd63203adf8595282973c963d4_0.png "[tex]\left[ \begin{array}{cc}0 & 1 \\0 & 1 \end{array} \right][/tex]")
Si bien esta matriz cumple , no es hermítica. No recuerdo cual de las dos propiedades es "mas importante", pero por lo menos con la última matriz se verifica que la proyección de los elementos en son si mismos como debería ser.
4) Muy simple, ![[tex]rg(A) = rg(A^T A)[/tex]](images/latex/34d447c48bb5a720139ee36886cc1fd4e3ec2991_0.png "[tex]rg(A) = rg(A^T A)[/tex]") . Para calcular ![[tex]A^T A[/tex]](images/latex/832c66f5370b312fa91d0ecd14be4cb91030a82e_0.png "[tex]A^T A[/tex]") vemos que resultan operaciones con resultados directamente en los datos que nos dan.
![[tex]A^T A = \left[ \begin{array}{cc}3 & 1 \\1 & 3 \end{array} \right][/tex]](images/latex/ed8f661838b0894591b1921d2684cda831de69af_0.png "[tex]A^T A = \left[ \begin{array}{cc}3 & 1 \\1 & 3 \end{array} \right][/tex]")
Por lo tanto el rango es 2. Para resolver por cuad mínimos simplemente planteamos:
![[tex]A^T A x = A^T b[/tex]](images/latex/8b690a0ae62f9aa6ecb15b1721d074bef210731c_0.png "[tex]A^T A x = A^T b[/tex]")
es dato, al igual que ![[tex]A^T b[/tex]](images/latex/8378b5cd508f9fc4f41acefdc40178e3f852e517_0.png "[tex]A^T b[/tex]") . Sale facilmente con un poco de cuentas.
![[tex]x = {\left[ \frac{5}{8} \quad \frac{1}{8} \right]}^T[/tex]](images/latex/ec3dadeeb4143def9ef9b1d0e9c03f6e73e35c14_0.png "[tex]x = {\left[ \frac{5}{8} \quad \frac{1}{8} \right]}^T[/tex]")
5) a) Verdadero, se prueba rapidamente por el teorema de la dimensión. La igualdad de subespacios supone igualdad de dimensiones como condición necesaria. Pero según el teorema de la dimension resulta ![[tex]Nu(T) + Im(T) = 3[/tex]](images/latex/2c8f28c37f3c7ce9ee72ecafc744cd35269e59d8_0.png "[tex]Nu(T) + Im(T) = 3[/tex]") , como las dimensiones pertenecen a [tex] \mathbb{N}_0[/tex] entonces no existe ninguna TL que cumpla con las condiciones necesarias.
b) Falso,
![[tex]T([1 \quad 0]^T) = [0 \quad 0]^T[/tex]](images/latex/9b037ebcd910f4797a71429111b803f6d0ac5009_0.png "[tex]T([1 \quad 0]^T) = [0 \quad 0]^T[/tex]")
![[tex]T([0 \quad 1]^T) = [1 \quad 0]^T[/tex]](images/latex/8f7ed57b94d12ebdefd832815f1c716f7b5408ac_0.png "[tex]T([0 \quad 1]^T) = [1 \quad 0]^T[/tex]")
Se verifica que las dimensiones son iguales y que el nulo y la imagen generan el mismo subespacio, al mismo tiempo que se define la TL sobre una base de ![[tex]\Re^2[/tex]](images/latex/054c297553f7a0ac43d66b2d8c9702efa1fcc812_0.png "[tex]\Re^2[/tex]") , quedando bien definida.
EDIT: corregí el 1 que me di cuenta de una cosiña
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Me toco el tema 2 también.
Salvo el 1 que lo hice mal por una increible gilada coincido en casi todo:
el punto 2 lo hice muy generico partiendo de la igualdad pitagorica y llegando a la formula que proponia el enunciado, me quedo que se cumple para todo x perteneciente a R4 (muuuuy dudoso).
Ojo, quedaba al revez !
![[tex]x = {\left[ \frac{1}{8} \quad \frac{5}{8} \right]}^T[/tex]](images/latex/00ee2b279556d75d29c7645de39f75610f8de4c4_0.png "[tex]x = {\left[ \frac{1}{8} \quad \frac{5}{8} \right]}^T[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Tenés razón, lo copié mal de la hoja donde lo resolví. Ahí lo edité.
Como puede ser que puedas usar la propiedad pitagórica? No entiendo eso 
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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| koreano escribió:
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Qué matriz es de 4x4? La de la transformación? Eso es porque por definición la matriz de una TL tiene como columnas a los elementos de una base del espacio de salida puestos en las coordenadas de la base de llegada. Como la transformación es de 2x2 en 2x2, para definir la TL necesitas 4 columnas (la dim de R2x2 es 4, cualquier base tiene que tener cardinal 4) y como la matriz llega a 2x2, necesitas 4 filas (idem).
No es lo mismo la matriz de la transformación (la asociada), que que una matriz esté definida como f(x) = Ax, es decir como un producto del x con una matriz.
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Ok, creo que entendi...
Igual, si yo tengo T(x)=A.x
A no es la matriz de la transformacion lineal en coordenadas de la base canonica?
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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[quote="Ignatius"]
| koreano escribió:
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Muestro un poco lo que se me ocurre (Tema 2)
1)
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Che eso creo que esta mal.... V.Vt no da la identidad...
Lo que da la identidad es V.V^(-1), osea V por su inversa...
Hace la cuenta con cualquier matriz, vas a ver que V por V traspuesta no da la identidad...
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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Ah, y te respondo lo del 3.
Que yo sepa la matriz de proyeccion solo para el PIC tiene que ser P=P(traspuesta).
Lo que importaba ahi era que P^2=P.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Sí, ahora estoy casi 100% seguro que tiene que ser hermitica solo si se proyecta sobre una BON con PIC. Significa que la matriz de todos unos queda descartada.
Con respecto a lo otro:
![[tex]v = \left[ \begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/8b05e1111c4871d60c05d6ecffc13b9be3bfae25_0.png "[tex]v = \left[ \begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array} \right][/tex]")
![[tex]v^T = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array} \right][/tex]](images/latex/deea399c7a3d4f8a9e58c5cc330cf1b6e9693ae1_0.png "[tex]v^T = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array} \right][/tex]")
![[tex]v v^T = \left[ \begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] [/tex]](images/latex/fb4e2c8513b9e2a7495602336a337cbde4f23bfd_0.png "[tex]v v^T = \left[ \begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] [/tex]")
![[tex]{v}^{-1}[/tex]](images/latex/94e900373fb8591ce56318b1d6eaf2f65686af28_0.png "[tex]{v}^{-1}[/tex]") no existe, solo las matrices cuadradas tiene inversa. El ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") era dato. o_O
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Ignatius
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 20 Ago 2009
Mensajes: 107
Ubicación: Octopus's Garden
Carrera: Electrónica
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| koreano escribió:
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Como puede ser que puedas usar la propiedad pitagórica? No entiendo eso
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Aviso: lo que escribo a continuación es lo que se me paso por la cabeza en el examen, puede contener pasos que violan propiedades del álgebra, lea bajo su propia responsabilidad .
________________________________________________________
Si ![[tex]u_1[/tex]](images/latex/9790df79243ac282fbfc56d45400bef6579418f3_0.png "[tex]u_1[/tex]") ![[tex]\in S[/tex]](images/latex/9b92752fb7a0e4fbe4ab6ade6b65014b77546fe5_0.png "[tex]\in S[/tex]") y ![[tex]u_2[/tex]](images/latex/dcae1a24688ccf325c84559da19c71bb77468cbf_0.png "[tex]u_2[/tex]") a ![[tex]\in S^\bot[/tex]](images/latex/461d041652fa61c16876df57b1bf9e335185047d_0.png "[tex]\in S^\bot[/tex]") . (cosa que se daba porque uno era ortogonal al otro por ser PIC)
entonces se cumple siempre que:
![[tex]\left\| x \right\|^2 = \left\| P_s(x) \right\|^2+ \left\| P_s^\bot(x) \right\| ^2 [/tex]](images/latex/aa866e1f669d8df06afb84b94617270471547b7b_0.png "[tex]\left\| x \right\|^2 = \left\| P_s(x) \right\|^2+ \left\| P_s^\bot(x) \right\| ^2 [/tex]")
vuelan las raices.
![[tex]\left\| x \right\|^2 = \left\langle P_s(x),P_s(x) \right\rangle + \left\langle P_s^\bot(x),P_s^\bot(x)\right\rangle [/tex]](images/latex/dff33ebd8072a5478e906b81af4fe7cbe6c97c02_0.png "[tex]\left\| x \right\|^2 = \left\langle P_s(x),P_s(x) \right\rangle + \left\langle P_s^\bot(x),P_s^\bot(x)\right\rangle [/tex]")
![[tex]\left\| x \right\|^2 = P_s(x)^2 + P_s^\bot(x)^2[/tex]](images/latex/ffdd7fd49d386141bda2b2e7f159cc93cfd5462d_0.png "[tex]\left\| x \right\|^2 = P_s(x)^2 + P_s^\bot(x)^2[/tex]") (por ser PIC)
ahora escribo las proyecciones sobre los subespacios.
![[tex]\left\| x \right\|^2 = (\frac{ \left\langle u_1, x \right\rangle }{\left\langle u_1, u_1 \right\rangle}. u_1)^2 + (\frac{ \left\langle u_2, x \right\rangle }{\left\langle u_2, u_2 \right\rangle}. u_2)^2 [/tex]](images/latex/89d15dbcf1acfecd92b8512d02accb69b47cf414_0.png "[tex]\left\| x \right\|^2 = (\frac{ \left\langle u_1, x \right\rangle }{\left\langle u_1, u_1 \right\rangle}. u_1)^2 + (\frac{ \left\langle u_2, x \right\rangle }{\left\langle u_2, u_2 \right\rangle}. u_2)^2 [/tex]")
aplico los cuadrados.
![[tex]\left\| x \right\|^2 = (\frac{ \left\langle u_1, x \right\rangle }{\left\langle u_1, u_1 \right\rangle})^2. (u_1)^2 + (\frac{ \left\langle u_2, x \right\rangle }{\left\langle u_2, u_2 \right\rangle})^2. (u_2)^2 [/tex]](images/latex/a65574dc3516fb8e1e67620f45bd8eb1e44655be_0.png "[tex]\left\| x \right\|^2 = (\frac{ \left\langle u_1, x \right\rangle }{\left\langle u_1, u_1 \right\rangle})^2. (u_1)^2 + (\frac{ \left\langle u_2, x \right\rangle }{\left\langle u_2, u_2 \right\rangle})^2. (u_2)^2 [/tex]")
como y tienen norma = 1.
llego a la expresión:
![[tex]\left\| x \right\|^2 = \left\langle u_1,x \right\rangle^2 + \left\langle u_2,x \right\rangle^2 [/tex]](images/latex/8e12ae1a51e57ef48a16cf2f2524f0209b396b28_0.png "[tex]\left\| x \right\|^2 = \left\langle u_1,x \right\rangle^2 + \left\langle u_2,x \right\rangle^2 [/tex]") ![[tex]\forall x \in \Re^4[/tex]](images/latex/b7f54d604b8b073239bfcbe0a0bc1ed924b44407_0.png "[tex]\forall x \in \Re^4[/tex]")
El error que para mi tira todo al tacho es que estamos hablando de un subespacio de R4,, y cuando proyecte lo hice asumiendo que S estaba generado solo por u1 y S ortogonal solo por u2.
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Matts
Nivel 9
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Carrera: Industrial y Química
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| koreano escribió:
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Sí, ahora estoy casi 100% seguro que tiene que ser hermitica solo si se proyecta sobre una BON con PIC. Significa que la matriz de todos unos queda descartada.
Con respecto a lo otro:
no existe, solo las matrices cuadradas tiene inversa. El era dato. o_O
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Lo que dije fue para las matrices cuadradas, claro.
Lo de la traspuesta (que existe para todas las matrices) es mentira que A.At da la Identidad... eso es un "invento de parcial ante no saber que carajo hacer" jajaja.
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Matts
Nivel 9
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Carrera: Industrial y Química
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Che, te aviso que la identidad es
(10)
(01)
Por las dudas...
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