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victorbsd
Nivel 5
Edad: 54
Registrado: 11 Oct 2010
Mensajes: 171
Carrera: Informática y Sistemas
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Creo que sabian esta ansioso y anda por la norma e introduciendo conceptos que se ven en las primeras hojas del Analisis de Apostol. Para viejo vamos armando los conceptos.
Igual, hablas de espacio metrico como en el que se puede medir DISTANCIAS.
y normado como aquel que tiene norma. Pero entiendo por NORMA a un valor > 0 = a la Distancia o Longitud de un segmento de recta.
Cuando hablo de norma 2, me refiero a que necesito 2 puntos para determinar la longitud?
Porque te referis a Norma de un espacio?, se refiere a que es un espacio medible? o metrico?
Aclaramos esto y seguimos
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Quedó muy confuso mi post anterior, pero bueno, haciendo un plotline sería lo siguiente.
Un espacio métrico es aquel que tiene una forma de medir distancias definida. No me parece significativo definir distancia, más o menos todos tienen una idea de que axiomas debe cumplir.
Un espacio normado es aquel que tiene una norma definida. Una norma es una función definida para todos los elementos que siempre arroja un número mayor que 0, excepto para el elemento nulo del espacio.
Como dije antes, lo más común para definir es una distancia es establecer una norma. Una vez hecho eso, siempre podés definir una distancia como ![[tex] d(\vec x , \vec y) = || \vec x - \vec y || [/tex]](images/latex/5da3477f1e8c6d05f67cc4b1f40a9cca8a85a923_0.png "[tex] d(\vec x , \vec y) = || \vec x - \vec y || [/tex]") , es decir, la norma de la resta de los vectores.
Ahora yendo más a los bollos sobre lo que preguntabas vos, para la distancia en [tex] \mathbb {R}^n [/tex] se suele utilizar la denominada "norma-2", es decir
![[tex] ||\vec x - \vec y || = \sqrt {\vec {(x-y)} . \vec {(x-y)} }= \sqrt { (x_1-y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2 } [/tex]](images/latex/2876f81f8db7a4f77ee06a53697b9c3cabb1761e_0.png "[tex] ||\vec x - \vec y || = \sqrt {\vec {(x-y)} . \vec {(x-y)} }= \sqrt { (x_1-y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2 } [/tex]")
Espero que haya quedado un poco más claro ahora. No es mi intención que divaguemos mucho sobre normas y demás, apuntaba más bien a entender un poco más desde la raíz el concepto de distancia
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victorbsd
Nivel 5
Edad: 54
Registrado: 11 Oct 2010
Mensajes: 171
Carrera: Informática y Sistemas
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Bueno. Norma entonces se refiere a longitud de un segmento de recta .En nuestro caso hablamos de segmento orientado (vector). Si anclamos los vectores al origen obtememos el llamado VECTOR DIRECTOR DEL PUNTO. Supongamos:
![[tex]A(a_1,a_2) \ y \ B(b_1,b_2)[/tex]](images/latex/8ec8d83b7d489fff25247a938d191c897d25d647_0.png "[tex]A(a_1,a_2) \ y \ B(b_1,b_2)[/tex]")
Si restamos estos 2 vectores sacamos la longitud entre A y B.
Asi que podemos obtener la longitud de un segmento de recta entre 2 puntos A y B de una manera geometrica (o trigonometrica) por medio de pitagoras o de otra manera vectorial restando los vectores directores de ambos puntos.
Estoy en lo cierto?
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fiw
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 25 Mar 2010
Mensajes: 195
Carrera: Electrónica
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| victorbsd escribió:
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Bueno. Norma entonces se refiere a longitud de un segmento de recta .En nuestro caso hablamos de segmento orientado (vector). Si anclamos los vectores al origen obtememos el llamado VECTOR DIRECTOR DEL PUNTO. Supongamos:
Si restamos estos 2 vectores sacamos la longitud entre A y B.
Asi que podemos obtener la longitud de un segmento de recta entre 2 puntos A y B de una manera geometrica (o trigonometrica) por medio de pitagoras o de otra manera vectorial restando los vectores directores de ambos puntos.
Estoy en lo cierto?
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Emm no se si entendi cualquier cosa que pusiste. Lo veo medio confuso.
Si restas vectores directores no logras nada (al menos no te va a querer decir algo con respecto a la distancia).
Te dejo dos puntos clave:
Distancia puede ser interpretada como norma y viceversa.
Fijate.. Norma es la longitud del vector. Entonces, pensalo ahora, no es lo mismo que sacar la distancia entre dos puntos?
La formulita es igual, resta de vectores y sacarle a eso la norma (es decir buscarle la raiz cuadrada a las coordenadas de eso).
Hasta donde yo me acuerdo la primera vez que se habla de vector director en Algebra CBC es en rectas, y tiene sentido, para que queres un director si estas laburando con puntos?
Haceme caso y a Sabian
Si vos hablas de puntos no existe el director, para que necesitas uno? El director es como usar tu brazo para poder "alinear" los puntos, no tiene sentido que hables de director en puntos y mucho menos en vectores cuando hablas de puntos.
Osea si puede existir, pero es al pedo. Es lo mismo que hablar de punto mismo, seria el (0,0) (a,b) para R2 por ej.
O bien el (a,b) y si los restas volves a caer en lo mismo, pero me parece un poco erronea la interpretacion
Si dije cualquiera que alguien me cague a trompadas, pero me parece que esta bien asi como lo dije.
Saludos
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La razón acabará por tener razón
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fedesg
Nivel 3
Registrado: 23 Mar 2009
Mensajes: 33
Carrera: Industrial
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| y la norma infinito es la longitud de un segmento de recta? mmm
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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| victorbsd escribió:
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Bueno. Norma entonces se refiere a longitud de un segmento de recta[...]
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Te aviso una cosa: Vos estás hablando exclusivamente de R^n, mientras que Sabian está hablando en un lenguaje mucho más general, que es el de espacios vectoriales, con producto interno. Es lógico, ya que de entrada te enseñan que un vector es una flecha en R^n y recién en Álgebra II (en FIUBA al menos) aprendés que hay otros espacios vectoriales.
Los espacios vectoriales cumplen cierta cantidad de axiomas, y para que una operación sea un producto interno tiene que cumplir otros tantos. Con todo esto, hay muchos espacios vectoriales que no tienen nada que ver con R^n a los cuales también les podés definir un producto interno y, por lo tanto, norma y distancia. El espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo [a,b], por ejemplo, se le puede definir un producto interno. En estos casos, le llamás vector a un elemento de ese espacio, sin necesidad de que sea necesariamente un "segmento de recta orientado" como decís vos. Por ejemplo, el polinomio p(t)=t^3-2t^2+1 es un vector del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3. La primera vez que ves esto decís "wow, me estuvieron ocultando muchas cosas hasta ahora"...
En el caso de R^n, con el producto interno común y corriente (el producto escalar), se definen tal cual dijo Sabian. Podés definir otro producto interno (tiene que cumplir los axiomas que determinan que una operación sea un producto interno) y con ellos otra norma y otra distancia.
Sabian, qué estudias vos?
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Elmo Lesto escribió:
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| victorbsd escribió:
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Bueno. Norma entonces se refiere a longitud de un segmento de recta[...]
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Te aviso una cosa: Vos estás hablando exclusivamente de R^n, mientras que Sabian está hablando en un lenguaje mucho más general, que es el de espacios vectoriales, con producto interno. Es lógico, ya que de entrada te enseñan que un vector es una flecha en R^n y recién en Álgebra II (en FIUBA al menos) aprendés que hay otros espacios vectoriales.
Los espacios vectoriales cumplen cierta cantidad de axiomas, y para que una operación sea un producto interno tiene que cumplir otros tantos. Con todo esto, hay muchos espacios vectoriales que no tienen nada que ver con R^n a los cuales también les podés definir un producto interno y, por lo tanto, norma y distancia. El espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo [a,b], por ejemplo, se le puede definir un producto interno. En estos casos, le llamás vector a un elemento de ese espacio, sin necesidad de que sea necesariamente un "segmento de recta orientado" como decís vos. Por ejemplo, el polinomio p(t)=t^3-2t^2+1 es un vector del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3. La primera vez que ves esto decís "wow, me estuvieron ocultando muchas cosas hasta ahora"...
En el caso de R^n, con el producto interno común y corriente (el producto escalar), se definen tal cual dijo Sabian. Podés definir otro producto interno (tiene que cumplir los axiomas que determinan que una operación sea un producto interno) y con ellos otra norma y otra distancia.
Sabian, qué estudias vos?
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Geofísica.
Igual si bien me fui un poco de tema, introduciendo las n-ésimas normas, quería que quedara claro el siguiente razonamiento esquematico para definir distancias, que suele ser lo más común en casi cualquier area de la física:
1) Defino una función que devuelva valores mayores que 0 al ser aplicada a un vector.
2) Defino como distancia entre dos vectores el uso de esa norma aplicada a la resta de ellos.
Este esquema permite entender el concepto de distancia más allá de "la magnitud de la recta que une los puntos".
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fiw
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 25 Mar 2010
Mensajes: 195
Carrera: Electrónica
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| sabian_reloaded escribió:
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| Elmo Lesto escribió:
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| victorbsd escribió:
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Bueno. Norma entonces se refiere a longitud de un segmento de recta[...]
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Te aviso una cosa: Vos estás hablando exclusivamente de R^n, mientras que Sabian está hablando en un lenguaje mucho más general, que es el de espacios vectoriales, con producto interno. Es lógico, ya que de entrada te enseñan que un vector es una flecha en R^n y recién en Álgebra II (en FIUBA al menos) aprendés que hay otros espacios vectoriales.
Los espacios vectoriales cumplen cierta cantidad de axiomas, y para que una operación sea un producto interno tiene que cumplir otros tantos. Con todo esto, hay muchos espacios vectoriales que no tienen nada que ver con R^n a los cuales también les podés definir un producto interno y, por lo tanto, norma y distancia. El espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo [a,b], por ejemplo, se le puede definir un producto interno. En estos casos, le llamás vector a un elemento de ese espacio, sin necesidad de que sea necesariamente un "segmento de recta orientado" como decís vos. Por ejemplo, el polinomio p(t)=t^3-2t^2+1 es un vector del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3. La primera vez que ves esto decís "wow, me estuvieron ocultando muchas cosas hasta ahora"...
En el caso de R^n, con el producto interno común y corriente (el producto escalar), se definen tal cual dijo Sabian. Podés definir otro producto interno (tiene que cumplir los axiomas que determinan que una operación sea un producto interno) y con ellos otra norma y otra distancia.
Sabian, qué estudias vos?
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Geofísica.
Igual si bien me fui un poco de tema, introduciendo las n-ésimas normas, quería que quedara claro el siguiente razonamiento esquematico para definir distancias, que suele ser lo más común en casi cualquier area de la física:
1) Defino una función que devuelva valores mayores que 0 al ser aplicada a un vector.
2) Defino como distancia entre dos vectores el uso de esa norma aplicada a la resta de ellos.
Este esquema permite entender el concepto de distancia más allá de "la magnitud de la recta que une los puntos".
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Yo lo introduje así porque sino es un quilombo, de hecho chequeen wikipedia, lo introduce así. La verdad es muy jodido dar definiciones unicas (a mi juicio siempre algo se te escapa de la bolsa). Pero como buen approach para donde el pibe esta, me parece bien hablar asi.
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La razón acabará por tener razón
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victorbsd
Nivel 5
Edad: 54
Registrado: 11 Oct 2010
Mensajes: 171
Carrera: Informática y Sistemas
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Hola, estoy de vuelta.Volvemos a distancia entre 2 puntos.Es cierto que lo veo mas desde el algebra vectorial y Sabian desde los espacios vectoriales.Pero dejemos esto último por ahora y hagamos algo de geometria analitica.
Cuando dije que al restar 2 vectores directores ( FIW, no me refiero a versores!, sino a los vectores anclados en el origen que indican a los puntos A y B) obtengo la distancia, en realidad me faltaria un paso que seria la obtener la ![[tex] \sqrt[ ]{ } [/tex]](images/latex/f6a7e511dfe4822834b93627242d1b2dde720c56_0.png "[tex] \sqrt[ ]{ } [/tex]") de la suma de los cuadrados de las componentes de ese vector resta.
![[tex]Sea\ A(a_1,a_2)\ y\ B(b_1,b_2) ;[/tex]](images/latex/83401a889d47ac22dbb2b7aec78667f0a8024b84_0.png "[tex]Sea\ A(a_1,a_2)\ y\ B(b_1,b_2) ;[/tex]")
![[tex]||B-A||=\sqrt[ ]{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2};[/tex]](images/latex/c4f931c244398efad521820ece97f6ea99394ccb_0.png "[tex]||B-A||=\sqrt[ ]{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2};[/tex]")
Correcto?, un grafico:
UPS, todavia no le tengo la mano!!!!.PERDONEN!!!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Está bien victor.
En lugar de hablar de vectores directores, podés hablar de vectores directamente. Siempre se considera a un vector como el equivalente que "sale" del origen. Si bien en física podés graficar una fuerza en cualquier lugar, a la hora de los calculos consideras el vector equivalente que sale del 0.
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victorbsd
Nivel 5
Edad: 54
Registrado: 11 Oct 2010
Mensajes: 171
Carrera: Informática y Sistemas
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| sabian_reloaded escribió:
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Está bien victor.
En lugar de hablar de vectores directores, podés hablar de vectores directamente. Siempre se considera a un vector como el equivalente que "sale" del origen. Si bien en física podés graficar una fuerza en cualquier lugar, a la hora de los calculos consideras el vector equivalente que sale del 0.
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Correcto.En la practica se evita hablar de vector "asociado a un punto" o vector director como simplemente vector del punto.En el caso de los vectores libres, llevarlo al origen tambien facilita los calculos.
Que dice Fiw a todo esto?Entendes a lo que quiero llegar con la resta de vectores? y luego sacar el modulo de ese vector resta para obtener la distancia entre 2 puntos?.
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isma.pontoriero
Nivel 5
Registrado: 27 Nov 2009
Mensajes: 149
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| victorbsd escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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Está bien victor.
En lugar de hablar de vectores directores, podés hablar de vectores directamente. Siempre se considera a un vector como el equivalente que "sale" del origen. Si bien en física podés graficar una fuerza en cualquier lugar, a la hora de los calculos consideras el vector equivalente que sale del 0.
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Correcto.En la practica se evita hablar de vector "asociado a un punto" o vector director como simplemente vector del punto.En el caso de los vectores libres, llevarlo al origen tambien facilita los calculos.
Que dice Fiw a todo esto?Entendes a lo que quiero llegar con la resta de vectores? y luego sacar el modulo de ese vector resta para obtener la distancia entre 2 puntos?.
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Se entiende bárbaro, ¿pero cual es la gracia de esto?
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victorbsd
Nivel 5
Edad: 54
Registrado: 11 Oct 2010
Mensajes: 171
Carrera: Informática y Sistemas
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Creo que a esta altura no vendría mal aclarar si LONGITUD es lo mismo que DISTANCIA. Desde lo geometrico claro.
Quizas algún geofísico pueda iniciar la discución.
| Cita:
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Se entiende bárbaro, ¿pero cual es la gracia de esto?
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No, ninguna . Pero podes buscar que hay algunos foros bastante graciosos.
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fiw
Nivel 5
Edad: 32
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Mensajes: 195
Carrera: Electrónica
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Insisto, no te sirve para nada ese director..
Recien en rectas tiene utilidad hablar de eso (y planos y etc).
Saludos
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La razón acabará por tener razón
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victorbsd
Nivel 5
Edad: 54
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| Cita:
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Insisto, no te sirve para nada ese director..
Recien en rectas tiene utilidad hablar de eso (y planos y etc).
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Bueno, pero solo digo que TODO PUNTO tiene asociado un vector anclado, que facilita los calculos.
Ese vector lo podes descomponer en multiplos de sus versores. Si dibujo un vector director 3.(1,0) + 4.(0,1), obtengo otro vector (3,4).
Solo podes hablar de la suma de vectores cuando éstos estan expresados en forma CANONICA!.
![[tex] \vec p=x \hat i+y \hat j [/tex]](images/latex/aa59bbdf2830af4c71f6b3163a1cf8ea3536b4c2_0.png "[tex] \vec p=x \hat i+y \hat j [/tex]")
siendo ![[tex] \hat i=(1,0) \quad y \quad \hat j=(0,1) [/tex]](images/latex/defce31df9bbc02fe925a434881df4942aa66cfb_0.png "[tex] \hat i=(1,0) \quad y \quad \hat j=(0,1) [/tex]")
fijate
El vector director o posición de ![[tex] P(-3,5)\quad es \quad \vec p= \vec OP=(-3,5)=-3 \hat i+5 \hat j [/tex]](images/latex/77d4614f1b9c99fbbf629bb6274848e6de69bb7c_0.png "[tex] P(-3,5)\quad es \quad \vec p= \vec OP=(-3,5)=-3 \hat i+5 \hat j [/tex]")
-3 veces (1,0) + 5 veces (0,1)
Osea CONSTRUYO al vector posicion apartir de la suma de los multiplos de los versores.
Correcto, decis que no tiene sentido hablar de vector posicion en el tema distancia. Pero cual es el problema de tomar el MODULO de ese vector para obtener la distancia entre 2 puntos.
Insisto, solo tiene sentido la suma de vectores cuando la demostras por medio de la expresion canonica y esta implica usar vectores directores.
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