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Mensaje |
Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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Hola
Estoy medio confundido con las matrices de proyeccion, de producto interno... a ver si me pueden ayudar.
Cuales tienen que ser definidas positivas? cuales tienen que ser iguales a su cuadrado e igual a su traspuesta?
Y hay alguna otra matriz con la cual deberia tener cuidado? (en algebra II obvio)
Saludos y gracias!!
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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La matriz de producto interno tiene que ser simétrica ![[tex]G=G^T[/tex]](images/latex/e8a937b33b4ff8f10c7202eefaed74e963d9984b_0.png "[tex]G=G^T[/tex]") y definida postivia ![[tex]x^T G x>0[/tex]](images/latex/0e827889ce3ddf866edae51dc7576b32999a6194_0.png "[tex]x^T G x>0[/tex]") .
Y la matriz de proyección: ![[tex]P=P^T=P^2[/tex]](images/latex/7e3bd7e04043ba1fd8adfc0c4c2e9b62d9d3dcd6_0.png "[tex]P=P^T=P^2[/tex]")
T (traspuesta) en reales, si estás en complejos es H (hermítica).
Y otra matriz con la que deberías tener cuidado, podría ser la pseudoinversa (cuadrados mínimos):
![[tex]A^*=(A^T A)^{-1} A^T[/tex]](images/latex/0c898cdeba019ccb375d2da966659afe71c12753_0.png "[tex]A^*=(A^T A)^{-1} A^T[/tex]") (se usa un # en vez de * para la notación, pero Latex no me deja)
Esta matriz existe sii el rango de ![[tex]A \in R^{m \times n} [/tex]](images/latex/c42aa3e94edb8e3543406a166aec5915e2ca681a_0.png "[tex]A \in R^{m \times n} [/tex]") es máximo, es decir n.
Saludos.
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leandrob_90
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Matts
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leandrob_90
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Me olvidé la matriz de Householder (para reflexiones en un plano)
![[tex]H=I-2\frac{w\, w^T}{w^Tw}[/tex]](images/latex/e6c2244493dc24f7e15bde21e01c1adf223a85fc_0.png "[tex]H=I-2\frac{w\, w^T}{w^Tw}[/tex]")
Donde w es la normal del plano sobre el cual querés reflejar.
Y si te llegan a pedir la reflexión respecto de una recta generada por el vector x, la matriz es:
![[tex]H=I-2\left( \frac{y\, y^T}{y^Ty} + \frac{z\, z^T}{z^Tz}\right)[/tex]](images/latex/0cca44341e3d612816dabdce14eddaa52a1bfd35_0.png "[tex]H=I-2\left( \frac{y\, y^T}{y^Ty} + \frac{z\, z^T}{z^Tz}\right)[/tex]")
donde y & z son vectores ortogonales a x (director de la recta) y a su vez ortogonales entre si,
es decir, x y z forman una base ortogonal
Edit: no es necesario que los vectores esten normalizados para esta matriz.
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