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MarianAAAJ
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Buenas, tengo una duda con la convergencia de la siguiente integral.
![[tex]\int_{- \infty}^{ \infty} \frac{sen( \pi x)}{ x(x-4)} \, dx [/tex]](images/latex/794cfe9ab2b81465599d9ebf62212c06293a7010_0.png "[tex]\int_{- \infty}^{ \infty} \frac{sen( \pi x)}{ x(x-4)} \, dx [/tex]")
Entonces como la función tiene problemas en x=0 y en x=4 separé en intervalos.
 [/tex]](images/latex/db992f6446d7ee02597d727a8616a2fc6e0973a0_0.png "[tex](4, \infty) [/tex]") Por el lema de Abel digo que converge ya que
![[tex]g(x) = \frac{1}{x(x-4)} > 0 \forall x \in (4, \infty )\\g'(x) < 0 \forall x \in (4, \infty )\\\left | \int_{A}^{B} sen( \pi x) \, dx \right | \leq \frac{2}{ \pi} \ \forall A,B \in \Re\\[/tex]](images/latex/18aa341d45cbcb0e889d8d84302cc4520b3755ec_0.png "[tex]g(x) = \frac{1}{x(x-4)} > 0 \forall x \in (4, \infty )\\g'(x) < 0 \forall x \in (4, \infty )\\\left | \int_{A}^{B} sen( \pi x) \, dx \right | \leq \frac{2}{ \pi} \ \forall A,B \in \Re\\[/tex]")
Entonces como la función es par (al menos eso creo)  [/tex]](images/latex/3bb4f0f9df87dc7ea6f55eb4f1189989f09bd71a_0.png "[tex](- \infty, 4) [/tex]") también converge.
Mis dudas son, como hago para averiguar que eso no converge absolutamente; es decir tengo que hacer lo que hice con el lema de Abel pero en módulo?
Y como averiguo la convergencia de del intevalo (-4,4)?
Gracias
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sabian_reloaded
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No te entendí un choto lo que pusiste, así que por ahí bardeo repitiendo algo.
La función no es par creo. En el denominador tenés ![[tex]x^2 - 4x [/tex]](images/latex/70c7c7b6a8c1796265972e7f68383f8e0c42d4d5_0.png "[tex]x^2 - 4x [/tex]") que claramente no es impar, por lo que no tenés producto de impares.
Yo para ver si la integral converge, lo haría a lo antiguo
![[tex]\int_{-\infty}^{0} \left | \frac {sen (\pi x)} {x^2 -4x} \right | dx [/tex]](images/latex/c86665eebc3d7c271771d2da48e9f17c3b752b09_0.png "[tex]\int_{-\infty}^{0} \left | \frac {sen (\pi x)} {x^2 -4x} \right | dx [/tex]")
Lo partís hasta en negativo A cualquiera, y converge, porque va como ![[tex]\frac{1}{x^2} [/tex]](images/latex/777ecb919771f73ff09f95c3194552ee1edf4e9e_0.png "[tex]\frac{1}{x^2} [/tex]")
Entre ese A y 0:
![[tex]\int_{A}^{0} \left | \frac {sen (\pi x)} {x^2 -4x} \right | dx \leq \int_{A}^0 \frac {1} {|x^2 -4x|} dx [/tex]](images/latex/83ba6a54f7df1c88953a800e4d201ec289aa9e37_0.png "[tex]\int_{A}^{0} \left | \frac {sen (\pi x)} {x^2 -4x} \right | dx \leq \int_{A}^0 \frac {1} {|x^2 -4x|} dx [/tex]")
Como A es negativo
![[tex] |(x-4)| > 4 [/tex]](images/latex/85ec595e06435b03b4b2ca80de045e93bd508397_0.png "[tex] |(x-4)| > 4 [/tex]")
Queda entonces todo menor a
![[tex]\int_{A}^0 \frac {1} {4|x|} dx [/tex]](images/latex/a9bef2d3a287b1845bab4ec1eeaf0e0d5b6d368c_0.png "[tex]\int_{A}^0 \frac {1} {4|x|} dx [/tex]")
Que obviamente va como ![[tex] \frac{1}{x} [/tex]](images/latex/eb168bbf90a6feda579b4cd64bdb9967e316de9b_0.png "[tex] \frac{1}{x} [/tex]") y converge en el origen.
Para probar entre 0 y 4 partís entre 0 y 2 por ejemplo, y queda más o menos lo mismo con un 2 en vez de un cuatro creo.
Entre 2 y 4 es más de lo mismo, tenés lo primero pero con un corrimiento, decís que |x|> 2 y te queda de vuelta algo que va como 1/x
Finalmente entre 4 e infinito, converge porque va como x al cuadrado.
Ahora me tengo que ir, cualquier cosa pregunta y más tarde me explayo.
Saludos
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sabian_reloaded
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Bardié con las cotas en el 2do y 3er pedazo, pero MAL, 1/x no converge en el origen.
Después sigo.
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MarianAAAJ
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Creo que puede ser así.
Como se que en x=0 y en x=4 la función no es continua.
![[tex] \mathop{\lim_{x \to 0}} \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} = \frac{- \pi}{4} \\\mathop{\lim_{x \to 4}} \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} = \frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/f0cd39a67b1cea855ad963771ff3421846378f31_0.png "[tex] \mathop{\lim_{x \to 0}} \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} = \frac{- \pi}{4} \\\mathop{\lim_{x \to 4}} \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} = \frac{\pi}{4}[/tex]")
Entonces son singularidades evitables (convergen simplemente)
Ahora como ![[tex]\frac{\sen \pi x}{x(x-4)}[/tex]](images/latex/e5179fb9d2f962d0cdaf3f2cee69a6e29ee018b1_0.png "[tex]\frac{\sen \pi x}{x(x-4)}[/tex]") esta actoado, me fijo si converge absolutamente.
![[tex] \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} \leq \left | \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} \right | \leq \frac{1}{|x(x-4)|} \leq \frac{1}{x^2}[/tex]](images/latex/0d1f8afc0ac15c1e24fd79b371ff746f44f03b7e_0.png "[tex] \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} \leq \left | \frac{\sen \pi x}{x(x-4)} \right | \leq \frac{1}{|x(x-4)|} \leq \frac{1}{x^2}[/tex]")
Entonces como ![[tex] \frac{1}{x^2} [/tex]](images/latex/590e7b33603eb9cdcd6c41c4780d43209505c201_0.png "[tex] \frac{1}{x^2} [/tex]") converge con x tendiendo a infinito y a menos infinito. La integral converge absolutamente para esos valores de x. Entonces en x=4 la integral converge absolutamente, pero en x=0 no.
Entonces en en el intervalo (-oo,0)U(0, +oo) la integral converge absolutamente. En x=0 converge de manera simple.
Creo que es así. Alguno para que me confirme?
EDIT: Ya sabiendo que son sing. evitables la integral converge para esos valores
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sabian_reloaded
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Cuando decís que la singularidad es evitable, no estás diciendo que es integrable?
O sea, podés definir una prolongación analítica que es casi igual, excepto sobre esos dos puntos... y la integral sobre un punto vale 0....
Fijate igual que si x es positivo, la cota ![[tex]|x^2-4x| > |x^2|[/tex]](images/latex/1fdec2f1a01be45cdb64467bf4f2f0ade069d856_0.png "[tex]|x^2-4x| > |x^2|[/tex]") no vale, pero podés poner ![[tex]|x^2-4x| > |x^p| [/tex]](images/latex/cd3dbd6e37402613b0762fa5c21a03a3313c7fa2_0.png "[tex]|x^2-4x| > |x^p| [/tex]") con p tan cercano a dos como quieras (ponele p=7/8 si querés, y a partir de un x finito, esa cota vale) y ahí si probás que converge cuando x se va a infinito.
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Última edición por sabian_reloaded el Vie Oct 15, 2010 6:50 pm, editado 1 vez
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MarianAAAJ
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| sabian_reloaded escribió:
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Cuando decís que la singularidad es evitable, no estás diciendo que es integrable?
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Y si, es lo mismo a decir converga en ese punto; si no me equivoco.
| sabian_reloaded escribió:
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Fijate igual que si x es positivo, la cota ![[tex]|x^2-4x|>|x^2|[/tex]](images/latex/5cda715bd6d90696c8a641b67ca1310c58e4951c_0.png "[tex]|x^2-4x|>|x^2|[/tex]") no vale, pero podés poner con p tan cercano a dos como quieras (ponele p=7/8 si querés, y a partir de un x finito, esa cota vale) y ahí si probás que converge cuando x se va a infinito.
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Es verdad no me di cuenta, probando con 1/x ya esta.
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sabian_reloaded
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| MarianAAAJ escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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Fijate igual que si x es positivo, la cota no vale, pero podés poner con p tan cercano a dos como quieras (ponele p=7/8 si querés, y a partir de un x finito, esa cota vale) y ahí si probás que converge cuando x se va a infinito.
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Es verdad no me di cuenta, probando con 1/x ya esta.
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![[tex]\int_{A}^{\infty} \frac {dx}{x} = \lim_{x \to \infty} ln (x) - ln (a) = \infty [/tex]](images/latex/9a920cf81f4574da26ac3348c01fdaf6e6f09d12_0.png "[tex]\int_{A}^{\infty} \frac {dx}{x} = \lim_{x \to \infty} ln (x) - ln (a) = \infty [/tex]")
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MarianAAAJ
Nivel 7
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Ah es verdad bardie, pero yo no quiero que sino lo contrario ![[tex]|x^2-4x| \leq |x^2|[/tex]](images/latex/a53e653a1ea28c2e26ffd3526689d525474af2cb_0.png "[tex]|x^2-4x| \leq |x^2|[/tex]") .
Por lo que se puede llegar a decir lo siguiente:
![[tex]\frac{1}{|x^2-4x|} \approx \frac{1}{|x^2|}[/tex]](images/latex/6795dbb19959759a5e9c2c5f5b05dc60da9db331_0.png "[tex]\frac{1}{|x^2-4x|} \approx \frac{1}{|x^2|}[/tex]") .
Entonces como 1/x^2 converge, 1/|x^2-4x| también lo hará.
Entoces la integral converge absolutamente para (-oo,0)U(0, +oo)
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sabian_reloaded
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Si decís al revés, no podés decir que la integral es menor.
Para poder decir que la integral es menor que algo, tenés que buscar un denominador más grande.
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danie87
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Leyendo me quedo una duda, dicen:
1/(x(x-4)) < 1/x^2
Pero no es al reves.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
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| danie87 escribió:
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Leyendo me quedo una duda, dicen:
1/(x(x-4)) < 1/x^2
Pero no es al reves.
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Es lo que puse en los dos últimos posts.
Si vale que
![[tex]\frac {1}{|x(x-4)|} < \frac {1}{|x|^p}[/tex]](images/latex/2b877f99a19d031efbdf7d9018d094dc76bb33da_0.png "[tex]\frac {1}{|x(x-4)|} < \frac {1}{|x|^p}[/tex]") con p < 2
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drakoko
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sabian_reloaded
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Es el famoso seno cardinal ese 
La función es entera si no me equivoco, porque podés redefinir una prolongación analítica entera haciendo F(0) = 1.
Me es anti intuitivo mirando la gráfica pero parecería que esa integral da 0 
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drakoko
Nivel 9
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| la integral da pi sobre 2, por si te interesa, pero vi una demostraciòn en el apunte de AM3B lo cual no entendì un sope.
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sabian_reloaded
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Mirá, yo lo pensé de esta forma
![[tex] sen (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^{2n+1}}{(n+1)!} [/tex]](images/latex/d82aa984d145b2991f68b26410c204e9bd6077b8_0.png "[tex] sen (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^{2n+1}}{(n+1)!} [/tex]")
Entonces queda
![[tex] \frac {sen (x)}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^{2n}}{(n+1)!} [/tex]](images/latex/c40e398b4d7083d212ef23be35429eff0d6eb60e_0.png "[tex] \frac {sen (x)}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^{2n}}{(n+1)!} [/tex]")
Que es una serie de Laurent sin términos negativos (o sea una de Taylor). Por tanto la función es analítica (estrictamente, esta serie de Taylor sería la prolongación analítica del sinc, que es singular en 0, pero esa singularidad es evitable).
Mi error estuvo en que por pensar rápido dije "no tiene residuos, la integral es 0".
Para calcularla o la resolvés sobre el eje Real, o bien armas un camino en el plano complejo, calculás la integral sobre, por ejemplo, un cuarto de circunsferencia y el eje imaginario positivo (cuando R tiende a infinito) y la integral Real va a ser la suma de las dos que calculaste con signo negativo.
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![[tex] \int_{0}^{\infty} \frac{sen(x)}{x} dx [/tex]](images/latex/590d5a8bb439ba3ce4d0a810919fca49293dcead_0.png "[tex] \int_{0}^{\infty} \frac{sen(x)}{x} dx [/tex]")
![[tex] 2 \pi i \sum Res(f(z),z_k) [/tex]](images/latex/0bb767cf3b27e31b34bce75e9e32f33c619d5154_0.png "[tex] 2 \pi i \sum Res(f(z),z_k) [/tex]")
del semiplano superior.