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Mensaje |
loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Hay tres ejercicios que piden lo mismo y que no me salen. Son de la práctica 2.
4) Decida para qué valores positivos de ![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]") son verdaderas las siguientes igualdades y demostrarlo:
a) ![[tex]3n<n^{2}-1[/tex]](images/latex/fe63e37b8afe27cd13e9d5d21f353a504c7ec09a_0.png "[tex]3n<n^{2}-1[/tex]")
b) ![[tex]4n<n^{2}-7[/tex]](images/latex/3005e3b779af39617ba2ff481583e5a544686796_0.png "[tex]4n<n^{2}-7[/tex]")
En estos dos no me sale nada, básicamente porque no sé que hacer; en clase hicimos uno parecido y la profesora dijo que en general se te "tiene que ocurrir" una relación que conozcas de antemano y "adaptarla" a tu ejercicio. 
6) Considere la proposición ![[tex]p(n)="n^{2}+5n+1 es par"[/tex]](images/latex/6c402e672892e61c38d4665d133cab36b0c27882_0.png "[tex]p(n)=\"n^{2}+5n+1 es par\"[/tex]")
a) Demuestre que si ![[tex]p(n)[/tex]](images/latex/bb2d734402ea9f0b8202d103aeec7d5f73fb1188_0.png "[tex]p(n)[/tex]") es V, entonces ![[tex]p(n+1)[/tex]](images/latex/069c482a6f9cd5da5523d4b1cde2ba4d27f1acca_0.png "[tex]p(n+1)[/tex]") es V ![[tex]\forall n \in N[/tex]](images/latex/86d9bac2466a94b974b148d786afe74917fb9854_0.png "[tex]\forall n \in N[/tex]") .
b) ¿Para qué valores de es efectivamente verdadera? ¿Qué puede concluir?
La parte a) sí me salió, pero en la parte b) es lo mismo que antes, no sé por donde arrancar.
Graciass
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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respecto al problema 4), te sugeriría lo siguiente:
En general es cuestión de ir probando, y fijarse (quiero decir " a mano").
Si querés hacer algo más serio, capaz lo que podés hacer es pensar que tenés las dos funciones: 3n por un lado, y n^2-1 por otro. Las graficás, y te fijás para qué valores de n pasa que una es menor que la otra (respectivamente). Fijate que estás comparándo una cosa que crece rápido (la parábola) contra otra cosa que crece menos rápido (la recta).
En fin, eso te serviría para estar seguro de lo que vas a mostrar por inducción tiene sentido.
Respecto a "demostrar" el 4)a) y el 4)b), si no me equivoco, debería salir fácil cuando plantees esas inecuaciones para (n+1) [recordar que estamos suponiendo cierto que vale para n y por lo tanto demostrando que vale para n+1]. Entonces, cuando reescribas todo reemplazando donde dice n por n+1, vas a llegar a algo que moviendo cosas para acá y para allá del signo "<", vas a poder usar la "hipótesis inductiva", y voila! debería salir...
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RiaNo
Nivel 8
Edad: 40
Registrado: 19 Mar 2008
Mensajes: 586
Carrera: Electrónica
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Para el 6)b) pensalo partiendo a los naturales como "pares" vs "impares".
O sea, si agarrás un natural, el que quieras, o bien es par, o bien es impar.
Entonces, la proposición p(n) o bien es par, o bien es impar. A vos, justamente, te está diciendo que digas cuándo p(n) es par. Entonces, podés analizar la proposición, por ejemplo, por partes:
n^2 : si n es par, el resultado de elevar al cuadrado dá par. Si n es impar, el resultado de elevar al cuadrado es impar.
5n : Si n es par, estás multiplicando par con impar (el 5 es impar o.O ) y por lotanto el resultado es par. Si encambio, n es impar, entonces el resultado es impar.
1 es impar, por lo cual, si se lo sumás a un par, da impar. Y si se lo sumás a un impar, da par.
Entonces, podés separar en casos:
Si n es par. tendrás "par" + "par" + 1 = impar
Si n es impar, tendrás "impar" + "impar" + 1 = impar
Entonces, salvo que la haya pifiado por ahi (fijate, habría que chequear todo lo que puse, pero la idea anda), los valores de n para los que se cumple la proposición, son: ¡¡ningún n!!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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El 6.b) Pienso igual que RiaNo, si tenés un par, entonces su cuadrado es par, 5 veces esa cantidad tambien es par, par + par es par (fácil de demostrar) y sumandole uno te queda impar.
Lo mismo con los impares, tienen cuadrado impar, al sumarle su quíntuple (también impar) obtenés como resultado un par, y sumandole uno tenés un impar de vuelta.
Esa proposición es falaz 
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Amadeo
Nivel 9
Registrado: 20 Oct 2008
Mensajes: 1436
Carrera: No especificada
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Hago el 4)a) porque estoy medio al pedo, y capaz que a alguien que la este cursando le sirve.
Para demostrar que ![[tex]P(n): 3n<n^{2}-1[/tex]](images/latex/9d615c4945ca0731e87b37f1adba1b389c25a670_0.png "[tex]P(n): 3n<n^{2}-1[/tex]") por inducción, hay que comprobar que se cumplan 2 cosas:
1) ![[tex]P(n_{0})[/tex]](images/latex/155af82e67940afb541c9f21244c80fe2ea8e1e0_0.png "[tex]P(n_{0})[/tex]") es verdadera para algún ![[tex]n_{0} \in N[/tex]](images/latex/b8b3f31761b4b4193a95a8d1cd075e3047a0d6a4_0.png "[tex]n_{0} \in N[/tex]")
2)![[tex]P(n) \Longrightarrow P(n+1) \quad \forall n \in N / n \ge n_{0}[/tex]](images/latex/62590575a1e70a43caa9e2dd9dcec6d5dd88e5af_0.png "[tex]P(n) \Longrightarrow P(n+1) \quad \forall n \in N / n \ge n_{0}[/tex]")
(En realidad este es un principio de inducción "corrido", ya que en general se pide que ![[tex]n_{0} = 1[/tex]](images/latex/4150b1216aff122aa891e1ecd8ea4f6d0c6febaa_0.png "[tex]n_{0} = 1[/tex]") ).
Para probar 1), te vas fijando y sale que vale para ![[tex]n_{0} = 4[/tex]](images/latex/f721b4e21485ac4633c8d8b0f98c47b2c4117619_0.png "[tex]n_{0} = 4[/tex]")
Para probar 2), supones que ![[tex]P(n)[/tex]](images/latex/4522f29a69ebd6e3aa0d71e6b98a72861659a974_0.png "[tex]P(n)[/tex]") es verdadera (hipótesis), y tratas de llegar a que ![[tex]P(n+1)[/tex]](images/latex/20b230b41744df09a4b3b952fd414b4a88db0d68_0.png "[tex]P(n+1)[/tex]") es verdadera también. Entonces:
![[tex]P(n+1): 3(n+1) = 3n + 3[/tex]](images/latex/4c43dfc21e2ca5760a8e5907e5f279049cbdd86c_0.png "[tex]P(n+1): 3(n+1) = 3n + 3[/tex]") (entonces, por hipótesis) ![[tex] < n² - 1 + 3 = n² + 2 < (n+1)² + 2 - 3 = (n+1)² - 1[/tex]](images/latex/2765e79e5fe5b19549b427831e42161938ce29fa_0.png "[tex] < n² - 1 + 3 = n² + 2 < (n+1)² + 2 - 3 = (n+1)² - 1[/tex]") que es a lo que se quería llegar.
Entonces es verdadera ![[tex] \forall n_{0} \ge 4[/tex]](images/latex/5cf4afe60752aea8a738c54301a9411183a79ac7_0.png "[tex] \forall n_{0} \ge 4[/tex]")
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Probar está bueno pero si se cumple para n>120 estás un poco jodida, resolvé las cuadráticas pensando que n es real y listo, tomás el natural siguiente al que hallás (fijate que seguro tendrás que descartar alguna de las raíces). Luego lo probás por inducción como te dice Amadeo
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Y lo que te dijo la profesora es la posta
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